八年级数学竞赛题：梯形

八年级数学竞赛题：梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形与直角梯形是常见的梯形，等腰梯形的基本性质有：等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形的对角线相等．把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，而完成这一转化需通过作辅助线来实现，平移腰、平移对角线、过底的顶点作另一底的垂线是，常用的辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：
问题解决
例1 （1）如图①，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，则AB=___________．
（2）如图②，在梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8cm，BD=6cm，则此梯形的高为___________cm．
例2 若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（）．
A．21 B．29 C．21或29 D．21或22或29
例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB<CD，且∠ABC为锐角，若AD=4，BC=12，E为B C上一点．问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形?直角梯形?请分别说明理由．
例4如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由四个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．
例5如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（14，0），B（14，3），C（4，3），四边形OABC是梯形，动点P和Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中，动点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，动点Q沿OC、CB向终点B运动，
速度为每秒2个单位．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设动点运动了t秒，试写出点Q的坐标，并写出t的取值范围．
（2）设动点运动了t秒，P、Q两点所走路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半．问：这个时刻的直线PQ是否也把梯形分成面积相等的两部分?如果可能，请求出相应的t值；如果不可能，请说出理由．
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD=4，BC=8，∠B=60°，那么这个等腰梯形的周长为_____________．
2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠B=2∠D，已知AB=3，BC=5，则CD=___________．
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=45°，则该梯形的面积是___________．
4．如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯髯的上底与下底长的比是___________．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为（）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F．若AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）．
A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b
7．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连结AE，则△ADE的面积为（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A’处，若∠A’BC=20°，则∠A’BD的度数为（）．
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线x从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB 交直线x于点E，设直线x的旋转角为α．
（1）①当α=_________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为___________；
②当α=_________度时，四边形EDBC是直角梯形；此时AD的长为____________．（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，AE=GF=GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC=2∠EFB，求证：四边形AEFG是矩形．
12．梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为___________．13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF=___________．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD2∠B=45°．直角三角板含45°
角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于_______________．
15．已知一个梯形的4条边的长分别为1，2，3，4，则此梯形的面积等于（）
A．4 B．6 C．82
D．
10
2
3
16．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①如果AB+DC=BC⇒∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°⇒AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分线⇒∠BEC=90°；④如果AB+DG=BC⇒CE是∠DCB平分线．其中真命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个
17．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△AC D≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH
BE
=2；④EBC
EHC
S AH
S CH
∆
∆
=．其中结论正确的
是（）．
A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④
18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD，
（1）求BC、AD的长度；
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD 边向点D以1cm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：57若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm／s的速度向右移动，直到点N与点B 重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由__________变化为______________；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数表达方式；
（3）当x=4（s），求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．
20．如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD 于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB 交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图②），△PMN的形状是否发生改变?若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图③），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。