人教A版高中数学必修二 4-1-1 圆的标准方程 教案 精品

必修二第四章 4.1.1 圆的标准方程
教学目标
1.知识与技能：
（1）掌握圆的标准方程的形式；；
（2）能够根据题目给定条件求圆的标准方程；
（3）能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。

使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力
3.情感态度价值观：
（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；
（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想
重点难点
1.教学重点：圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程；
2.教学难点：根据条件求圆的标准方程
一、引入新课
知识链接：
1．两点间的距离公式？
2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.
圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？
师生活动：若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来.正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸.
【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫. 问题1：什么是圆？
问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？
【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．
问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 二、探究新知
问题4：已知圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r
是常数，0r ），如何确定圆的方程？
方程的一般步骤．
(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意点M (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；
(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．
师生活动：师生共同完成圆的标准方程推导
（1）建系设点：由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C 是定点，可设(,)C a b 、半径r ，且设圆上任一点M 坐标为(,)x y ． （2）写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
（3r =. （4）化简方程：将上式两边平方得：222)()(r b y a x =-+-．
方程222
()()x a y b r -+-=就是圆心是(,)C a b 、半径是r 的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法,有学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．
三、理解新知
圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．
特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r
+= 强调：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且0r >，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 基础检测：
1. 说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3 (2) 圆心在点C (3, -4), 半径为7 (3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8,-3)
2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y - 4)2 = 36 (2) (x - a )2 + y 2 = m 2 （0≠m ） (3) x 2 + y 2 - 4x + 10y + 28 = 0
【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．
四、运用新知
例1 写出圆心为)3,2(-A ,半径长等于5的圆的方程，并判断点)1,5(),7,5(21---M M 是否在这个圆上．
分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 解：圆心是(2,3)A -，半径长等于5的圆的标准方程是 22
(2)(3)25
x y -++= 把点1(5,7),M -的坐标代人方程22
(2)(3)25x y -++=，左右两边相等，点1(5,7)M -的
坐标适合圆的方程，所以点1(5,7)M -在这个圆上；把点2
1)-的坐标代人方程22
(2)(3)2x y -++，左右两边不相等，点2
1)-的坐标不适合圆的方程，所
以点2
1)- 不在这个圆上． 【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．
探究：怎样判断点),(00y x M 在圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-上？圆内？还是圆外？
（1r >⇔222
()()x a y b r -+->⇔点在圆外
（2r =⇔222
()()x a y b r -+-=⇔点在圆上
（3r <⇔222()()x a y b r -+-=⇔点在圆内 【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论,培养学生分析问题、解决问题的能力． 变式训练：
1.点)5,(m P 与圆252
2
=+y x 的位置关系（ ）
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．
3.求圆心为)1,2(-且与直线0543=+-y x 相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．
例2 ABC ∆的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程2
2
2
)()(r b y a x =-+- 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定r b a ,,三个参数．还可以先求圆心（是线段AB 和线段BC 的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标
准方程．
解法一：设所求圆的方程是222)()(r b y a x =-+- (1)
因为)8,2(),3,7(),1,5(--C B A 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
⎪⎩
⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-2
222
22222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒532
r b a
所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ． 解法二：（师生共同完成）
因为)3,7(),1,5(-B A ，所以线段AB 的中点D 的坐标为)1,6(-，直线AB 的斜率2-=AB k ， 因此线段AB 的垂直平分线1L 的方程是 )6(2
1
1-=
+x y ， 即 082=--y x ， 同理可得线段BC 的垂直平分线2L 的方程是 01=++y x
圆心M 的坐标是方程组 ⎩⎨
⎧=++=--0
10
82y x y x 的解．
解此方程组，得 ⎩
⎨⎧-==32
y x ，
所以圆心M 的坐标是)3,2(-． 圆心M 的圆的半径长 5)31()25(||22=++-=
=AM r ．
所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ．
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出ABC ∆外接圆的标准方程的两种求法：
方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．
【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．
例3 已知圆心为C 的圆经过点)2,2()1,1(-B A 和，且圆心C 在直线上01:=+-y x l ，求
L 1
圆心为C 的圆的标准方程．
解法一：因为(1,1)A ，(2,2)B -，所以线段AB 的中点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，直线AB 的斜率21
321
AB k --=
=--． 因此线段AB 的垂直平分线m 的方程是
y x +=- 即330x y --=．
圆心C 的坐标是方程组330
10x y x y --=⎧⎨-+=⎩
的解．
解此方程组，得3
2
x y =-⎧⎨
=-⎩ ，所以圆心C 的坐标是()3,2--
圆心为C 的圆的半径长5r AC ===．
所以圆心为C 的圆的标准方程是22
(3)(2)25x y +++=． 解法二：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=．
由题意得 222
222
(1)(1)(2)(2)10a b r a b r
a b ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+=⎩
， 解得23225a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 所以所求圆的方程是22
(3)(2)25x y +++=．
【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．
教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】加强对学生学习方法的指导．
六、布置作业
1.阅读教材 P118-120；
2．书面作业
必做题：P124 习题4.1 A组2，3
选做题：P124 习题4.1 B组 3
七、板书设计。