人教新课标版数学高二-人教A版必修5第一章 解三角形 章末综合能力测试

答案：2
16．在锐角△ABC中，若BC＝1，B＝2A，则 的值等于________，AC的取值范围为________．
解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .∴ ＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0<A< ，0<2A< ，0<π－3A< ，解得 <A< .由AC＝2cosA得AC的取值范围为( ， )．
答案：2( ， )
C．在x轴下方D．与x轴交于两点
解析：(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccosA)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)．
∵0<∠A< ，
∴cos2A－1<0.
∴(b2＋c2－a2)2－4b2c2<0，即抛物线开口向上与x轴没有交点．
答案：B
10．在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是()
解得cosC＝ ，
故sinC＝ .
根据余弦定理有cosC＝ ＝ ，
ab＝a2＋b2－7，
3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，
ab＝6.
所以S＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：A
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝ a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为()
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
答案：D
4．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2 －cos2C＝ ，且a＋b＝5，c＝ ，则△ABC的面积为()
A. B.
C. D.
解析：因为4sin2 －cos2C＝ ，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝ ，
2＋2cosC－2cos2C＋1＝ ，cos2C－cosC＋ ＝0，
当c＝1时，两直角边长分别为sinA，cosA，则△ABC的周长l＝1＋sinA＋cosA＝1＋ sin .
而0<A< ，当sin ＝1，即A＝ 时，周长l取得最大值为1＋ .
20．(本小题满分12分)
如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？
章末综合能力测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝()
A．5 B．10
C. D．5
解析：由正弦定理得， ＝ ，
∴b＝ ·10＝ ×10＝5 .
A. B.
C. D.
解析：由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又因为b＋c＝2a，所以可令a＝5t，b＝3t，c＝7t(t>0)，可得cosC＝ ＝－ ，故C＝ .
答案：B
9．若锐角△ABC的三边a，b，c满足f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则f(x)的图象()
A．与x轴相切B．在x轴上方
答案：B
11．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，AD＝4(3－ )， ＝λ ，则λ的值为()
A. B.
B＝60°，C＝45°，∴∠BAC＝75°.
由正弦定理，得 ＝ ＝ ，
即AB＝ ＝8( －1)，
AC＝ ＝4(3 － )．
∵AC>AB>AD，且 ＝λ ，0<λ<1，
＝ － sin2x.
∴f(x)的最小正周期T＝ ＝π.
当2x＝－ ＋2kπ，k∈Z，即x＝－ ＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值 .
(2)由f ＝－ ，即 － sinC＝－ ，
得sinC＝ .
∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0.
由 ＝ ，得b＝2a.①
当C为锐角时，C＝ .
∵c＝3，∴9＝a2＋b2－2abcos .②
答案：D
2．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()
A. B．2
C．2 或 D．3
解析：根据余弦定理可得：
( )2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，
即x2－3 x＋6＝0.∴x＝2 或 .
答案：C
3．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，则这个三角形是()
13．△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．
解析：∵cosC＝ ，且∠C为钝角，
∴cosC<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.
答案：a2＋b2<c2
14．在△ABC中，A满足 sinA＋cosA＝1，AB＝2，BC＝2 ，则△ABC的面积为________．
在△ABC中，由余弦定理的推论，
得cosA＝ ＝ ＝ ，∴A＝60°.
(2)在△ABC中，由正弦定理得sinB＝ ，
∵b2＝ac，A＝60°，∴ ＝ ＝sin60°＝ .
18．(本小题满分12分)
f(x)＝ sin ，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝ ，a＝2，B＝ ，求△ABC的面积．
A．底角不等于45°的等腰三角形
B．锐角不等于45°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：由正弦定理得asinB＝bsinA.
故asinBcosB＝csinAcosC，
sinAsinBcosB＝sinCsinAcosC，
∴sin2B＝sin2C.故B＝C或2B＝π－2C，
即B＋C＝ .
由此知△ABC为直角三角形．
证法二：由证法一知b＝ccosA，由正弦定理得sinB＝sinCcosA.
由sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.
因为sinA≠0，所以cosC＝0，
即C＝ ，故△ABC为直角三角形．
(2)由(1)知c为Rt△ABC的斜边．
解析：由 得
∴A＝120°.由正弦定理得 ＝ ，∴sinC＝ .
∴C＝30°，∴B＝30°，
∴S＝ AB×BC×sinB＝ ×2×2 ×sin30°＝ .
答案：
15．△ABC中，∠B＝60°，AC＝ ，则AB＋2BC的最大值为________．
解析：在△ABC中，根据 ＝ ＝ ，得AB＝ ·sinC＝ sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA.所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(120°－C)＝4sinC＋2 cosC＝2 sin(C＋φ) .又0<∠C<120°，故AB＋2BC的最大值为2 .
∴ <x<1.在△CDB中，过点C作CE⊥BD于点E.∵CD＝CB＝1，∴DE＝BE＝x，∴CE2＝1－x2，
∴T2＝ 2＝x2(1－x2)．
又S2＝ 2＝ 2
＝ (1－cos2A)＝
＝ －(1－x2)2，
∴S2＋T2＝x2－x4＋ －(1－x2)2
＝－2 2＋ ≤ ，
∴当x2＝ 时，S2＋T2取最大值 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc.求：
(1)角A的大小；
(2) 的值．
解析：(1)∵b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且sin2 ＝ .
(1)试判断△ABC的形状并加以证明；
(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．
解析：(1)△ABC为直角三角形．证明如下：
证法一：由已知，可得 ＝ － ，
即cosA＝ .又由余弦定理，得
cosA＝ ＝ .化简得c2＝a2＋b2，
A．4 B．5
C．5 D．6
解析：∵S△ABC＝2，∴ acsinB＝2.
∴ ×1×c× ＝2，∴c＝4 .
∵b2＝a2＋c2－2accosB，
∴b2＝12＋(4 )2－2×1×4 × ＝25，∴b＝5.
∵ ＝2R，∴2R＝ ＝5 ，故选C.
答案：C
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝ ， ＝2，且S△ABC＝ ，则b＝()
21．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝sin2x－sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，f ＝－ ，若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．
解析：(1)f(x)＝sin2x－sin
＝ －
＝ － sin2x＋ cos2x
A. B.
C. D.
解析：在△ABC中，由正弦定理，可得sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ (其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cosA＝ ≥ ，∴0<A≤ .
答案：C
二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
∴BD＝8λ.
在△ABD和△ADC中，
由余弦定理的推论，得
cos∠BDA＝ ，
cos∠ADC＝ .
∵cos∠BDA＝－cos∠ADC，
将已知代入化简，得
2λ2＋(2－2 )λ－( －2)＝0，
解得λ＝ ，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则∠A的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：∵2A＝B＋C，∴A＝ ，B＋C＝ ，A为中间角，不妨设B≥A≥C.设方程的两根即△ABC的最大边和最小边分别为b，c，则 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝81－32＝49，∴a＝7.由 ＝2R，知R＝ ＝ .∴S外接圆＝πR2＝ .
解析：在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝ ＝ ＝－ ，所以cos∠ADC＝ ，sin∠ADC＝ ，
在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，
所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 ＝ ，
所以AD＝ × ＝15，
故这时此车距离A城15千米．
又 <x<1，∴1－ <x2<1，
当x2＝1－ 时，S2＋T2＝ ；
当x2＝1时，S2＋T2＝ ，
∴ <S2＋T2≤ .
(2)当S2＋T2＝ 时，x＝ ，BD＝ ，
此时cos∠BCD＝ ＝ ＝－ ，∴∠BCD＝120°.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：依题意得c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a× ＝4a2，所以b＝c＝2a，sinB＝ ＝ .又因为S△ABC＝ acsinB＝ × ×b× ＝ ，所以b＝2.
答案：C
8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()
解析：∵f(x)＝ sin ，
∴f(A)＝ sin ＝ ，
∴sin ＝ .
∵B＝ ，∴0<A< π，∴ <2A＋ < π，
∴2A＋ ＝ π，∴A＝ .
由正弦定理 ＝ ，得b＝ ＝ ＝ .
由A＝ ，B＝ 得C＝ π，
∴sinC＝sin π＝ .
∴S＝ absinC＝ ×2× × ＝ .
19．(本小题满分12分)
由①②得a＝ ，b＝2 .
当C为钝角时，C＝ π，a＝ ，b＝ .
22．(本小题满分12分)
在四边形ABCD中，A，B为定点，C，D是动点，且AB＝ ，BC＝CD＝AD＝1，若△BCD与△BAD的面积分别为T与S.
(1)求S2＋T2的取值范围；
(2)求S2＋T2取最大值时，∠BCD的值．
解析：
(1)如右图，设BD＝2x，则 －1<2x<2，
A. B．－
C. D．－
解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可．
由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝ c.
又b－c＝ a，∴ c＝ a，即a＝2c.由余弦定理得
cosA＝ ＝ ＝ ＝－ .
答案：B
6．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()