贵州省遵义航天高级中学高三数学第一次模拟考试试题理

贵州省遵义航天高级中学高三数学第一次模拟考试试题理
全卷满分150分 考试时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合M ＝{x |x 2
＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ． B ．(0，1] C ．
2、已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }， 则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3、
()|1|2(0x f x a a a =-->,且1a ≠)有两个零点，则a 的取值范围是( )
A. 0<a<
21 B. 2
1
<a<1 C. 1<a<2 D. 0<a<2 4、函数f (x )＝2x
－x －2的一个零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
5、已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的（ ）条件． A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要
6、曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 1 B.
31 C 6
1
D 91 7、若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12
恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. （0，1）
B. （1，2）
C. （1，2]
D.
8、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函数，则( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
9、f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 3
＋3x 2
＋1
x ≤0，
e ax
x >0上的最大值为2，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12ln 2，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12ln 2
C ．(－∞，0]
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，12ln 2
10、已知1|,,11M y y x x R x x ⎧
⎫
==+
∈≠⎨⎬-⎩⎭
，{}2|230N x x x =--≤，则（ ）
A ．M
N =∅ B ．R M C N ⊆ C ．R M C M ⊆ D ．M N R ⋃=
11、设函数f ＇
(x)是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ＇
(x)－f (x )<0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(－1，0)
D ．(0，1)∪(1，＋∞) 12、设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），
，有f （－x ）＋f （x ）＝2x 2
，在（0，
＋∞）上f ′（x ）＞2x ，若f （2－m ）＋4m －4≥f （m ），则实数m 的取值范围为（ ） A ．－1≤m ≤1 B ．m ≤1 C ．－2≤m ≤2 D ．m ≥2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知f(x+199)=4x 2
＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为_ 14、已知f(x)=x 3
+3ax 2
+bx+a 2
在x=-1时有极值0，则a=
15、当0,1a a >≠时,函数()log (1)1a f x x =-+的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx -y +n =0上，则42m n
+的最小值是
16、定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且在上是增函数，给出下列关于f （x ）的判断：
①f（x ）是周期函数；②f（x ）关于直线x=1对称；③f（x ）在上是增函数；④f（x ）在上是减函数；⑤f（2）=f （0），其中正确的序号是 ．
三．解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分） 17、已知P:x ∈A={x|x 2
-2x-3≤0}； q:x ∈B={x|x 2
-2mx+m 2
-4≤0,m ∈R}
若P 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围。

18、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，曲线3C 的极坐标方程为6
π
θ=
．
（1）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线3C 与曲线1C 交于O 、A ，曲线3C 与曲线2C 交于O 、B ，求AB ．
19.在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为：2cos (sin x t t y t α
α
=+⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数，其中0)2πα<<，椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ
=⎧⎨=⎩为参数)，圆C 的标准方程为()2
211x y -+=.
（1）写出椭圆M 的普通方程；
（2）若直线l 为圆C 的切线，且交椭圆M 于,A B 两点，求弦AB 的长. 20、已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．
(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．
21、 已知定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.
22、已知函数f （x ）=x
e ﹣ax ﹣2（e 是自然对数的底数a ∈R ）． （1）求函数
f （x ）的单调递增区间； （2）若k 为整数，a=1，且当x ＞0时，1)(1
<'+-x f x x
k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值．
数学参考答案
1.A
2.D 3A. 4.B 5.D 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11、A 12、B
12解析：令，
，
∴函数F （x ）为奇函数．
时，
，函数F （x ）在
上为增函数，
又由题可知，，所以函数F （x ）在R 上为增函数．
由可知
，
即
，所以
．
13. 2 14. 2 15 22 16 ①②⑤
17. 解由条件化简得
：
是
的充分条件
或
得
或
．
18.（1）曲线1C 的普通方程为()2
211,x y -+=即2
2
20x y x +-= 由cos ,sin x y ρθρθ==，得2
2cos 0ρρθ-= 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ= （2）设点A 的极坐标为1,
6πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，点B 的极坐标为2,
6πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
， 则12132cos
3,sin
cos
6
6
6
22
π
π
π
ρρ===+=
+ 所以1231
2
AB ρρ-=-=
19.（1）椭圆M 的普通方程为2
214
x y +=. （2）将直线的参数方程C
得()
2
2cos 30t t αα+++=， 由直线l 为圆C 的切线可知0∆=
即()
2
2cos 430αα+-⨯=
解得6
π
α=
，
所以直线l
的参数方程为：212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩， 将其代入椭圆M
的普通方程得2
7480t ++=，
设,A B 对应的参数分别为12,t t ，
所以
12121248
,77
7
t t t t AB t t +=-
=-=-==
. 20、解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a
x
.
(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2
x
(x >0)，
因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，
所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝
x －a
x
，x >0知：
①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，
又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；
当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值
21.解 : （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a
b f 解得即
从而有.212)(1a
x f x x
++-=+ 又由a a f f ++-
-
=++---=11
21412)1()1(知，解得2=a ……6分
（2）由（1）知,121
212
212)(1++-=++-=+x x x x f
由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式
0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-
因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222
2k t t t +->-
即对一切,0232
>--∈k t t R t 有从而3
1,0124-<<+=∆k k 解得…………12分
22.解：（1）f ′（x ）=e x
﹣a ．
若a ≤0，则f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增， 若a ＞0，当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（lna ，+∞）上单调递增． 综上，当a ≤0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a ＞0时，f （x ）的增区间为（lna ， +∞）；
（2）由于a=1，所以
f ′（x ）＜1⇔（k ﹣x ）（e x
﹣1）＜x+1，
当x ＞0时，e x
﹣1＞0，故（k ﹣x ）（e x
﹣1）＜x+1⇔k ＜+x ﹣﹣﹣﹣①，
令g （x ）=
+x （x ＞0），则g ′（x ）=+1=
函数h （x ）=e x
﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0， 所以h （x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点， 即g ′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点， 设此零点为a ，则a ∈（1，2）．
当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0； 所以，g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （a ）．由g ′（a ）=0可得e a
=a+2， 所以，g （a ）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k ＜g （a ）． 故整数k 的最大值为2．。