安徽省象牙塔学校2009届高三第二次月考(数学理)

安徽淮南市象牙塔学校2009届高三第二次月考
数学（理）试题
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．设全集R U =，{}2≥=x x M ，{
}50<≤=x x N ，则)(N M C U
⋂是 （ ）
A ．{}52<≤x x
B ．{}5≥x x
C ．{}2<x x
D ．{}52≥<x x x 或
2．函数4-=ax y 在[]0,1上的最大值与最小值的和为3，则a = （ ）
A ．10
B ．-10
C ．11
D ．-11
3. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1， 则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( ) A ．223 B ．23 C ．24 D ．1
3
4．已知23:,522:>=+q p ，则下列判断中，错误．．的是( ) A p 或q 为真，非q 为假 B p 或q 为真，非p 为真
C p 且q 为假，非p 为假
D p 且q 为假，p 或q 为真 5． 函数 1
11
y x =-
- 的图象是( )
6．已知映射f ：A B →，其中集合A B N ==（
N 是自然数集），且对任意的x A ∈，在
B 中和它对应的元素是2x x +，则集合B 中元素6的原象是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．不等式()()042222
<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 （ ） A ．()2,2- B ．(]2,2- C ．(]2,∞- D ．()2,-∞-
8. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 内的射影为 ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13 B ．3 C D ．23 9．设c b a ,,是常数，若不等式02>++c bx ax 的解集为{}12<<-x x ，则不等式02
≤+-c bx ax
的解集为( )
A ． {}
12-≤≥x x x 或
B ．{}
21≤≤-x x
D 1
C 1
B 1
A 1
D C A
C ．}121
|{-≤≥x x x 或 D ．{}12≤≤-x x 10． 函数[)()2
0,y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( )
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
11． 若函数 m x x y +-=
25()2
m
x ≠-的图象关于直线x y =对称，则实数m 的值为 （ ）
A ．21
B ．2
1
- C ．1 D ．1-
12．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为
21.0203000x x y -+=()N x x ∈<<,2400，若每台产品的售价为25万元，则生产
者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
()A 100台 ()B 120台 ()C 150台 ()D 180台 二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）．
13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直
线l 与平面α垂直”的___________条件； 14．下列命题
○1 p ：.N a ∈q ：.Z a ∈ ○2 p ：.1>x q ：.12
>x ○3 p ：.3>x q ：.5>x ○4 p ：两个三角形全等.q ：两个三角形面积相等. 其中p 是q 的充分条件的是 15．已知12)1(+-=-x x f ，则=)(x f
16．已知集合{}a A ,1,0=，{}
2,0a B =，若A B A = ，则a 的值是___ ___ ___. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是1BC 的中 点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结
果用反三角函数值表示）．
18.（本小题满分12分）用函数单调性的定义判断：()f x 1
3
x x -=+在区间(,3)-∞-上的的单调性。

19.（本小题满分12分）已知：集合},2{2
R x x x x A ∈≤=，函数2()4f x x x =-()x A ∈
求：（Ⅰ）函数()f x 的值域； （Ⅱ）函数()f x 的反函数。

20. （本小题满分12分）解关于x 的不等式： 0222
>++mx x
21.（本小题满分12分）已知函数b ax x x f ++=2)(，且0)1(=f ，0)2(=f 。

求 （1）函数)(x f 的解析式； （2）函数)(x f 在[]1,1-上的最大值和最小值。

22. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD ，侧棱
PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD， AB⊥AD，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点。

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离。

P
O D C
B A
参考答案
二、填空题：(4’*4=16’)
13、充要； 14、①②④； 15、-2x-1； 16、1- 三、解答题：(74分)
17．解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ． ∵EF ⊥平面ABCD
∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． …… 4分 由题意，得11
12
EF CC ==． ∵1
12
CF CB =
=，∴DF =． …… 8分 ∵EF DF ⊥，∴tan 5
EF EDF DF ∠==
……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan 5
． …… 12分
18、解：取任意的()1212,,3,x x x x ∈-∞-<且，则
()()12f x f x -()
()()
12121212411
33
33x x x x x x x x ---=
-==
++++
∵12x x <， ∴120x x -<，故()124x x -0<
又∵()1212,,3,30,30x x x
x ∈-∞-+<+<，∴()()12330x x ++> ∴()()12f x f x -0<，从而()()
12f x f x <
根据定义知：()f x 1
3
x x -=
+在区间(,3)-∞-上是增函数. 19、略解：{}02A x x =≤≤,由函数2
()4f x x x =-()x A ∈得：
⑴ 函数2
()4f x x x =-()x A ∈的值域为[]4,0-； ⑵由()2
402y x x
x =-≤≤得：()240x y =-≤≤，
故函数2
()4f x x x =-()x A ∈的反函数为：()2
40y x =-≤≤.
20、分析：方程0222
=++mx x 的实数根情况不清楚，因此需要对△的符号分类讨论。

解：△=162
-m 。

①当时或即440162>-<>-m m m ，△＞0。

方程0222
=++mx x 有二实数根：.4
16
,4162221-+-=---=m m x m m x
∴原不等式的解集为.
416416|22⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+->---<m m x m m x x 或 ①当m =±4 时，△=0，两根为.4
21m
x x -
== 若,4=m 则其根为－1。

∴原不等式的解集为{}1,|≠∈x R x x 且。

②当 －4＜4<m 时，方程无实数根。

∴原不等式的解集为R 。

点评：引起分类讨论的原因是对相应方程的实数根的判别，故需对△的符号分类讨论。

. 21、解：23)(2+-=x x x f 最大值为：6； 最小值为：0。

22、解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD . 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =2AB =2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.
由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.
因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP , cos ∠PBO =
36
3
2=
=PB OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为3
6
. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，
所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=2
3. 又S △=
,12
1
=∙AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ， 由V P-ACD =V A-PCD ， 得
31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ，即31×1×1＝31×23×h ，解得h ＝3
32. 解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O 为坐标原点，、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz . 则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0），D （0，1，0），P （0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t ，-1，-1），
cos 〈PB 、CD 〉3
62
311-
∙--＝＝
， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
3
6， （Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知CP =（-1，0，1），CD ＝（-1，1，0）， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为3
6
. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，
所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=2
3. 又S △=
,12
1
=∙AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ，由V P-ACD =V A-PCD ，得31S △ACD ·OP ＝3
1
S △PCD ·h ， 即
31×1×1＝31×23×h ，解得h ＝3
3
2. 解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O 为坐标原点，OP OD OC 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz . 则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0），D （0，1，0），P （0，0，1）. 所以CD ＝（-1，1，0），＝（t ，-1，-1）， cos 〈PB 、CD 〉3
6
2
311-
∙--＝＝
， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
3
6， （Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则
n ·＝0，所以 -x 0+ x 0=0,
n ·CD ＝0， x 0+ y 0=0， 即x 0=y 0=x 0, 取x 0=1，得平面的一个法向量为n =(1,1,1).
又AC =(1,1,0).从而点A 到平面PCD 的距离d .3
3
23
2=
=。