【人教版】2020学年高二数学上学期质量检测试题(Ⅰ) 新人教版

2020（高二）上学期质量检测（I ）
数 学
（时长：120分钟，满分:150分 ）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A ．1，12，13，1
4
，…
B ．－1，－2，－3，－4，…
C ．－1，－12，－14，－1
8，…
D ．1，2，3，…，n
2.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形
D. 钝角三角形
3．历届现代奥运会召开时间表如下：
则n A.27 B.28 C.29
D .30
4.在中,若,则C 的值为( )
A. B. C. D.
5.等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝27，a 3＋
a 6＋a 9＝39，则数列{a n }前9项的和为( ) A ．297 B ．144 C ．
99 D ．66
6．设各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为
S n ，若S 10＝10，S 30＝
70，则S 40等于( ) A ．150 B ．－200 C ．150或－200 D ．400或－50
7.在△ABC 中，1,AB AC ==∠A ＝30︒，则△ABC 的面积等于 ( )
D.
12
8．数列{a n }中，a n ＝
1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 015
2 016
，则项数n 为( )
A ．2 014
B ．2 015
C ．2 016
D ．2 017
9.各项均为正数的等比数列{}n b 中，若78
9b b ⋅=，则3132314log log .....log b b b +++=（ ）
A.7
B.9
C.14
D.18
10. 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.a=7，b=14，A=30° B.a=30，b=25，A=150° C.a=72，b=50，A=135° D.a=30，b=40，A=26°
11.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )
A ．n －1
B ．n
C ．2n －1
D ．2n
12.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ⩽2m ,a 1,a 2…ak
中0的个数不少于1的个数。

若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A ．13 B.14 C.15 D.16
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（ 本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答a 案填在题中的横线上．）
13．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b, 2013年产生的垃圾量为a 吨．由此预测，该区2018年的垃圾量为________吨．
14. 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AC 的长度等于_____．
15.在数列{a n }中，前n 项和Sn =+p (p 为常数)，若{a n }是以q 为公比的等比数列，则p +q 的值是______. 16.如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．
三、解答题 （ 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）成等差数列的三个数的和等于18，并且这三个数分别加上1，3，17 后成等比数列，求这三个数排成
的等差数列．
18. （12分）记Sn 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a1 = -7，s3 = -15。

(Ⅰ)求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)求Sn ，并求Sn 的最小值。

19.（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75︒
，距离为；在A处
看灯塔C在货轮的北偏西30︒
，距离为货轮由A处向正北航行到D处时，
再看灯塔B在北偏东120︒，
求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；
（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离.
20. （ 12分）设数列{a n}的前n项和为
2
2
n
S n
=
，{b n}为等比数列，且11
a b
=
，2211
()
b a a b
-=
(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(Ⅱ)设
n
n
n
a
c
b
=
，求数列{c n}的前n项和T n
21．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且3b＝2a·sin B.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a＝7，△ABC的面积为103，求b2＋c2的值．
22. （12分）设{a n}是公差大于零的等差数列,已知
a1=2,a 3=−10.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若f(n)= ++…+ (n∈N,且n⩾2),求函数f(n)的最小值。

2020（高二）上学期质量检测（I ）
数学试卷答案
一、 选择题
CDCBCABBCDCB
二、 填空题
13.a (1＋b)5
14.2
15.2
16. n 2
－2n ＋3 三、解答题
17. （10分）解：设这三个数为,,a d a a d -+，则
2
()()18(1)(17)(3)a d a a d a d a d a -+++=⎧⎨-+++=+⎩，解得
66
420a a d d ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或
所以这三个数为2,6,1026,6,14-：或
18. （12分）（1）因为为等差数列，设其公差为，
则。

由可得：，
将代入解得。

所以，。

即等差数列的通项公式为：，。

（2）因为为等差数列，
，。

则，。

此时
可写作：
，。

则当
，即
时，
有最小值为。

19. （12分）解：（Ⅰ）在△ABD 中，由已知得 ∠ADB =60，B =45． 由正弦定理得
sin 24sin AB B
AD ADB
=
=
=．………………5分
（Ⅱ）在△ADC 中，由余弦定理得
2
222c o s 30C D A D A C A D A C =
+-⋅︒，解得CD
=所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D
处之间的距离为 20．（12分）解：（1） ∵2
2n S n = ∴
112
a S == ；
当n ≥2时， 22122(1)42
n n n a S S n n n -=-=--=-
又
12
a = 适合上式，
所以数列
{}
n a 通项公式为
42
n a n =-.
设数列
{}
n b 的公比为q ，则由已知得
12
b =，
11
4b q b = ∴
1
4q =
∴
12
4n n b -=
（n ∈N ※）
（2）由（1）得1(21)4n n
n n
a c n
b -=
=-
∴
0121
143454(21)4n n T n -=⨯+⨯+⨯+
+-
12314143454(23)4(21)4n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+-
两式相减得
21312(444)(21)4n n
n T n --=+++
+--：
由此得1
[(65)45]
9n n T n =-+ （n ∈N ※
）
21. （12分） 解:(Ⅰ),
由正弦定理知:
,
是三角形内角
,
,
,
或,,
是锐角,
.
(Ⅱ),的面积为,
,
;
由余弦定理得,
.
22. （12分）解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，则，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵f（n）=++…+，
∴f（n+1）=++…+++，
∴f（n+1）-f（n）=+-＞+-=0，∴f（n）单调递增，故f（n）的最小值是f（2）=．。