高考理科数学专题二 复数、程序框图与平面向量

回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.终边相同角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k ·360°，k ∈Z }. (2)终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z }. (3)终边在x 轴上的角的集合：{α|α＝k ·180°，k ∈Z }. (4)终边在y 轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }. (5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k ·90°，k ∈Z }. (6)终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }. (7)终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α＝－45°＋k ·180°，k ∈Z }. (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k ·45°，k ∈Z }. 3.1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示. 4.正角、负角和零角的弧度数
一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝
π
180
rad. (2)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫
180π°.
6.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r .
相关公式：(1)l ＝n πr
180＝|α|r .
(2)S ＝12lr ＝n πr 2360＝12
|α|r 2
.
7.利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x .
(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y
x (x ≠0). 8.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin α
cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 9.三种三角函数的性质
正弦函数y ＝sin x
余弦函数y ＝cos x
正切函数y ＝tan x
图象
定义域 R
R
{x |x ≠π
2
＋k π，k ∈Z }
值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R
零点 {x |x ＝k π，k ∈Z }
{x |x ＝π
2
＋k π，k ∈Z }
{x |x ＝k π，k ∈Z }
最小正周期 2π 2π π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间
⎣⎡⎦
⎤
-π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )
[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) ⎝
⎛⎭⎫
-π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )
减区间
⎣⎡⎦
⎤π2＋2k π，3π2＋2k π
(k ∈Z )
[2k π，π＋2k π](k ∈Z )
对称性 对称轴 x ＝π
2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )
对称中心
(k π，0)(k ∈Z )
⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z ) ⎝⎛⎭
⎫k π2，0(k ∈Z )
10.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换
y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位长度
y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1
ω
(ω>0)倍
纵坐标不变
y ＝sin(ωx ＋φ)
―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍
横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 11.准确记忆六组诱导公式
对于“k π
2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象
限.
12.三角函数恒等变换
(1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
⎝⎛⎭
⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，
tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
⎝⎛⎭
⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α－β≠k π＋π2，k ∈Z ，
sin 2α＝2sin αcos α，
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
⎝⎛⎭
⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，2α≠k π＋π2，k ∈Z ，α≠k π±π4，k ∈Z .
(2)辅助角公式 a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ，
令sin θ＝
a a 2＋
b 2，cos θ＝b a 2＋b 2
， ∴a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)， 其中θ为辅助角，tan θ＝a
b .
13.正弦定理及其变形
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
.
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 14.余弦定理及其推论、变形
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 15.面积公式
S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2
ab sin C .
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.
3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移量为
⎪⎪⎪
⎪φω，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.。