[数学]-专项10 分式方程篇(原版)

专题10 分式方程
考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程
1.分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：
使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：
①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程
2
2
3
-
=
x
x
的解是（）
A．x＝2B．x＝﹣6C．x＝6D．x＝﹣2
2．（2022•海南）分式方程
1
2
-
x
﹣1＝0的解是（）
A．x＝1B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝﹣3
3．（2022•毕节市）小明解分式方程
3
3
2
1
1
+
=
+x
x
x
﹣1的过程如下．
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（）
A．①B．②C．③D．④
4．（2022•无锡）分式方程
x x 132=-的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1
C ．x ＝3
D ．x ＝﹣3 5．（2022•济南）代数式
23+x 与代数式1
2-x 的值相等，则x ＝ ． 6．（2022•绵阳）方程1
13-+=-x x x x 的解是 ． 7．（2022•盐城）分式方程1
21-+x x ＝1的解为 ． 8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b
1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 ． 9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ． 10．（2022•常德）方程()x
x x x 25212=-+的解为 ． 11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b
1．若（x +1）⊗x ＝x
x 12+，则x 的值为 ． 12．（2022•成都）分式方程x
x x -+--4143＝1的解为 ． 13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程1
1--x mx ＝3无解，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．1或2 D ．2或3
14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣
221--x k ＝x -21的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ＞﹣1 D ．k ＞﹣1且k ≠0
15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程
x x m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞4 B ．m ＜4 C ．m ＞4且m ≠5 D ．m ＜4且m ≠1
16．（2022•德阳）如果关于x 的方程
12-+x m x ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1 B ．m ＞﹣1且m ≠0
C ．m ＜﹣1
D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2 17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x
x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+13
2229＞a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13 B ．15 C ．18 D ．20
18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a
x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程
1
11+=+-y a y y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣26 B ．﹣24 C ．﹣15 D ．﹣13
19．（2022•遂宁）若关于x 的方程
122+=x m x 无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．6 D ．0或4
20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()
1111++=++x x a x x x 的解为负数，则a 的取值范围是 ． 21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程
4222212-+=++-x m x x x 的解大于1，则m 的取值范围是 ．
22．（2022•泸州）若方程
x
x x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是 ．
考点二：分式方程之分式方程的应用
1. 列分式方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程：根据等量关系与未知数列出分式方程。

④解方程——按照解分式方程的步骤解方程。

④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

23．（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min
后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x km /h ，下列方程正确的是（ ）
A ．2021010=-x
x B ．2010210=-x x
C ．3110210=-x x
D ．3121010=-x x 24．（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（ ）
A ．()10
%1512000020000--⨯=x x B ．
()x x %151200*********-⨯=- C ．()10%1512000020000+-⨯=x x D ．()x x %151200*********-⨯=+ 25．（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A ．202.13030=-x
x B ．
2.1203030=--x x C ．20302.130=-x x D ．2.1302030=--x x 26．（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）
A ．1
90023900+⨯=+x x B ．
190023900+⨯=-x x C ．390021900+⨯=-x x D ．390021900-⨯=+x x 27．（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm ，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A ．
60
305.16060=-x x B ．
6030605.160=-x x C ．305.16060=-x x D ．30605.160=-x x
28．（2022•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（ ）
A ．x
x 302436⨯=- B ．
x x 302436⨯=+ C ．430236-⨯=x x D ．430236+⨯=x x 29．（2022•济宁）一辆汽车开往距出发地420km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km ，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm /h ，根据题意所列方程是（ ）
A ．110
420420+-=x x B ．10420420+=+x x C ．110420420++=x x D ．10
420420-=+x x 30．（2022•辽宁）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm ，所列方程正确的是（ ）
A ．22428+=x x
B ．x x 24228=+
C ．x x 24228=-
D ．2
2428-=x x 31．（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km /h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km /h ，则符合题意的方程是（ ）
A ．v
v -=+309630144 B ．
v v 9630144=- C ．v v +=-309630144 D ．v v +=3096144 32．（2022•绥化）有一个容积为24m 3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm 3，由题意列方程，正确的是（ ）
A ．3041212=+x
x B ．2441515=+x x
C ．2423030=+x x
D ．3021212=+x x 33．（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km 和10km 的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min 到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm /h ，则依题意可列方程为（ ）
A ．x x 4103136=+
B ．x x 4102036=+
C ．3141036=-x x
D ．2041036=-x
x
34．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为．
35．（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为．
36．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为．
37．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．。