人教新课标版数学高二选修2-1课时作业13抛物线的简单几何性质

一、选择题
1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )
A ．y 2＝20x
B ．x 2＝20y
C ．y 2＝120x
D ．x 2＝120y
【解析】 由题意p 2＝5，∴p ＝10，且焦点在y 轴的正半轴上，顶
点为原点，故抛物线的方程x 2＝20y .
【答案】 B
2．(2013·佛山高二检测)P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A ，B ，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|，|BB 1|，|PP 1|，则有( )
A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|B
B 1|
B ．|PP 1|＝12|AB |
C ．|PP 1|＞12|AB |
D ．|PP 1|＜12|AB |
【解析】 如图所示，根据题意，PP ′恰巧是梯形AA ′B ′B
的中位线，故|PP 1|＝12|AB |.
【答案】 B
3．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( )
A.18
B.14
C.12 D ．1
【解析】 由⎩⎨⎧ y ＝ax 2＋1，y ＝x ，
消y 得ax 2－x ＋1＝0.
∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切，
∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.
【答案】 B
4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎨⎧ y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，①－②得
(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)
又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2
＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2 ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1.
【答案】 B
5．(2011·课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
【解析】 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，依题意，l ⊥x
轴，且焦点F (p 2，0)，∵当x ＝p 2时，|y |＝p ，
∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，
又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6，
故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离
为：x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝
x 2＋(x )2，
∴x ＝18，∴此点坐标为(18，±24)．
【答案】 (18，±24)
7．(2013·蒙阴高二检测)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有
一个公共点，则k ＝________.
【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得：k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.
【答案】 0或1
8．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段
AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴
x 1＋x 2＝4－12＝72，
∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋
12＝94.
【答案】 94
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知
M (0，－p 2)．
∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，
∵|AM |＝17，
∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，
∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，
8＝2p (3－p 2)，解得p ＝2或p ＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .
10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB
→＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为坐标原点)．
【解】 (1)由题意可得
PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8.
化简得x 2＝2y .
(2)证明 将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)，整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.因为y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，所以y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2
＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.因为OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝0，所以OC ⊥OD .
11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．
(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°
＝ 3.又F (32，0)，所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，
消去y 得x 2－5x ＋94＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝5，
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，
所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.
又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.。