人教B版(19)高中数学必修第四册素养突破关键能力·素养形成 11.4.2 平面与平面垂直

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关键能力·素养形成
类型一二面角的概念以及大小的计算
【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.
世纪
【思维·引】
一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.
【解析】取AD中点M,连接MO,PM,
因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OM⊥AD,
因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,
所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,
所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,因为PO⊥底面ABCD,
所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,
所以tan∠PAO=,
设正方形ABCD的边长为a,则AO=a,
所以PO=AO·tan∠PAO=a×=a,
所以tan∠PMO==,所以∠PMO=60°.
故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.
【素养·探】
在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.
将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30°”,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,
因为E为PC的中点,
所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO, 因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD, BD⊂平面ABCD,所以EF⊥BD,
因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,
所以BD⊥平面EOF,OE⊂平面EOF,
所以BD⊥OE,
所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,
所以∠EOF=30°,
因为OF=OC=AC=a,
所以在Rt△EOF中,
EF=OF·tan 30°=a,
所以OP=2EF=a,
故V P-ABCD=×a2×a=a3.
【类题·通】
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.作二面角的平面角的方法
方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
【习练·破】
1.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小等于________.
【解析】因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,
又∠BAC=90°.
所以所求二面角的大小为90°.
答案:90°
2.如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
【解析】如图,取CD的中点M,连接AM,BM,
则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
设点H是△BCD的重心,
则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=×2=,
HM=×2×=,
则cos∠AMB==,
即二面角A-CD-B的余弦值为.
【加练·固】1.如图所示的二面角可记为( )
A.α-β-l
B.M-l-N
C.l-M-N
D.l-β-α
【解析】选B.根据二面角的记法规则可知B正确.
2.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
【解析】因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.
因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.
即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.
类型二平面与平面垂直的判定
【典例】1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有
________.
2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.
世纪
【思维·引】1.分这两点的连线与平面之间的关系讨论,得出不同的结论.
2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C1CA.
【解析】1.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B 恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B 不是垂足,则l与点B确定唯一一个平面与α垂直.
答案:1个或无数个
2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A.
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,
所以BD⊥AC.
因为AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C1CA.
因为BD⊂平面BDD1B1,所以平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.
【内化·悟】
证明平面与平面垂直的关键是什么?
提示:找到其中一个平面中与另一平面垂直的直线.
【类题·通】
证明平面与平面垂直的两个常用方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
【习练·破】
1.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面( )
A.有一个
B.有两个
C.有无数个
D.不存在
【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直.
2.如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又
SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
【证明】方法一:(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,
连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
所以SD=a,BD== a.
在Rt△ABD中,AD=a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,
故平面ABC⊥平面SBC.
方法二:(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.
【加练·固】如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA 的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.
因为O为AC中点,E为PA的中点,
所以EO是△PAC的中位线,所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.
类型三面面垂直的性质定理的应用
【典例】1.如图,在多边形PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,
PA=AB=AD=2BC,∠PAD=60°,M是线段PD上的一点,且DM=2MP,若将△PAD沿AD折起,得到几何体P-ABCD.
(1)证明:PB∥平面AMC.
(2)若BC=1,且平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-ACM的体积. 世纪
2.(2018·北京高考改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD,PA⊥PD.
(1)求证:DC⊥平面PAD.
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
世纪
【思维·引】1.(1)用线面平行的判定定理证明.
(2)一方面要注意由平面PAD⊥平面ABCD推出BA⊥平面PAD;另一方面要注意V P-ACM=V C-PAM.
2.(1)依据平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC证明;
(2)转化为证明PA⊥平面PCD.
【解析】1.(1)连接BD,交AC于点O,连接MO.
因为AD∥BC,所以△BCO∽△DAO,
因为AD=2BC ,所以DO=2BO,因为DM=2MP ,
所以PB∥MO,
因为PB⊄平面AMC,MO⊂平面AMC,
所以PB∥平面AMC.
(2)因为平面 PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面 ABCD=AD ,
AB⊂平面ABCD, AB⊥AD ,
所以BA⊥平面PAD.因为BC∥AD ,
BC⊄平面PAD, AD⊂平面PAD,
所以BC∥平面PAD,则三棱锥 C-PAM 的高等于点B到平面PAD的距离,即BA=2 , 因为S△PAM=S△PAD=××AP×AD×sin60°=,所以V P-ACM=V C-PAM=S△PAM·BA=.
2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,且DC⊂平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.
(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD,所以DC⊥PA,又因为PA⊥PD,DC ∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
【内化·悟】
折叠后,若两个平面互相垂直,则应注意什么问题?
提示:折叠问题,即由平面图形经过折叠成为立体图形,在立体图形中解决有关
问题.折叠后,若两个平面互相垂直,一方面要注意抓住折叠前后的变量与不变量,另一方面要注意面面垂直性质定理和面面垂直定义的应用.
【类题·通】
1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点
(1)一个意识
若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为
线面垂直.
(2)三个注意点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面
内;③直线必须垂直于它们的交线.
2.证明线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).
3.解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
【习练·破】
如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.
求证:平面VBC⊥平面VAC.
【证明】因为平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.
所以BC⊥平面VAB,
又VA⊂平面VAB,所以BC⊥VA,
又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,
又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,
因为VA⊂平面VAC,所以平面VBC⊥平面VAC.
【加练·固】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:BC⊥AB.
【证明】如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.
因为平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊥PB,AD⊂平面PAB,
所以AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC.
又因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,
又因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,所以BC⊥AB.
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