东北三省三校高三数学3月第一次联合模拟考试试题 文(扫描版)新人教A版

东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2013届高三第一次联合模拟数学文试题
2013年三省三校第一次联合模拟考试文科数学答案一．选择题（每小题5分，共60分）
1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 9．C 10．A 11．D 12．B 二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 14 14. 3242π-
15. ⎛⎫
⎪⎝⎭
10,4 16. 2131+
三．解答题
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件，423,3,q q q 成等差数列，
4326q q q +=∴……2分
解得2,3=-=q q 或……4分 数列{}n a 的通项公式为……6分
（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ ……7分 若0,0,2===n n S b λ不符合条件； ……8分 若2≠λ， 则21
=+n
n b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2 此时)12)(2()21(2
1)
2(--=---=
n n n S λλ ……10分 Θ*)(12N n S n n ∈-=∴1=λ ……12分
18.（本小题满分12分） 解：（I ）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88 平均数为824
88
847977=+++=x ……2分
方差为5.18])8288()8284()8279()8277[(4
1
22222=-+-+-+-⨯=
s ……4分 （II ）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68 任取两个有十种可能结果：｛47，50｝，｛47，53｝，｛47，57｝，｛47，68｝，｛50，53｝，｛50，57｝，｛50，68｝，｛53，57｝，｛53，68｝，｛57，68｝， 两个数据和小于100的结果有一种：｛47，50｝ 记“两个数据和小于100”为事件A ，则P(A)=
10
1
即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为
10
1
……8分 （III ）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为
32
128= ……10分 2443
2
366=⨯
，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天． ……12分
19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG ，
ΘF 、G 分别是AB 、AB 1中点，111
//,2
FG BB FG BB ∴=
E Θ为侧棱1CC 的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，
所以四边形FGEC 是平行四边形 ……4分
EG CF //∴，ΘCF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E //CF ∴平面AB 1E . ……6分 （Ⅱ）Θ三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱ABC AA 底面⊥1，⊥∴1BB 面ABC . 又ΘAC ⊂平面ABC ， 1BB AC ⊥∴ ， Θ∠ACB ＝90°, BC AC ⊥∴，
.1B BC BB =⋂Θ ⊥∴AC 平面EB 1C , ⊥∴AC 1CB ……8分
6
1
1)1121(313111=⨯⨯⨯⨯==
∴∆-AC S V C EB C EB A ……10分 2
3
,6,2111=
∴===∆E AB S AB EB AE Θ C EB A E AB C V V 11--=Θ∴三棱锥E AB C 1-的高为
3
3
311=
∆-E
AB E AB C S V ……12分 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当1m =时，E 为抛物线2
4y x =的焦点，
∵121k k =-，∴AB ⊥CD
设AB 方程为1(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y
由12(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，得2
11440k y y k --=，121214,4y y y y k +==-
AB
中点1212(
,)22x x y y M ++，∴211
22
(1,)M k k +，同理，点211(21,2)N k k +- ……2分
∴
22222211122111
11221
||||()()(2)(2)2222EMN S EM EN k k k k k k ∆=
⋅=+⋅+-=++…4分 2224≥+=
当且仅当2121
1
k k =
，即11k =±时，△EMN 的面积取最小值4． ……6分 （Ⅱ）证明：设AB 方程为1()y k x m =-，1122(,),(,)A x y B x y
G
由12
()
4y k x m y x
=-⎧⎨
=⎩，得2
11440k y y k m --=，12121
4
,4y y y y m k +=
=- AB 中点1212(
,)22x x y y M ++，∴21122(,)M m k k +，同理，点222
22
(,)N m k k + …8分 ∴121212
M N MN M N y y k k
k k k x x k k -=
==-+ ……10分
∴MN ：12211
22
[()]y k k x m k k -
=-+，即12()2y k k x m =-+ ∴直线MN 恒过定点(,2)m ．……12分 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）)1()(',02a
x ax ax x x f a --=-=∴>Θ
a
x x x f 1
,00)('=
=⇔=∴或 )0,(-∞∴上，0)('<x f ；)1,0(a 上0)('>x f ；),1
(+∞a
上0)('<x f ……2分
)(x f ∴的极小值为0)0(=f ；函数)(x f 的极大值为261
)1(a
a f = ……4分 （Ⅱ）e a =Θ)1(3
121)(3
2-+-=
∴x e ex x x g x ，)1()('+-=ex e x x g x （ⅰ）记e e x h ex e x h x x -=+-=)(',1)(，
)1,(-∞上，0)('<x h ，)(x h 是减函数； ),1(+∞上，0)('>x h ，)(x h 是增函数， 01)1()(>=≥∴h x h ， ……6分
则在),0(+∞上，0)('>x g ；在)0,(-∞上，0)('<x g ，
故函数)(x g 的单调递增区间是),0(+∞，单调递减区间是)0,(-∞ ……8分 （ⅱ）0>x 时，x
x
ex e x ex e x x g x x ln 11ln 1)1()('+≥+-⇔+≥+-= 由（ⅰ）知，11)(≥+-=ex e x h x 记)0(ln 1)(>-+=x x x x ϕ，则x
x
x -=
1)('ϕ， 在区间)1,0(上，0)('>x ϕ，)(x ϕ是增函数；在区间),1(+∞上，0)('<x ϕ，)(x ϕ是减函数，
0)1()(=≤∴ϕϕx ，1ln 1,0ln 1≤+∴
≤-+∴x
x
x x ……10分 x
x
ex e x ln 111+≥
≥+-∴，即x x g ln 1)('+≥成立。

……12分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的的普通方程分别是4)2(22=+-y x 和1)1(2
2=-+y x ，
所以圆1C 和2C 的的极坐标方程分别是θρcos 4=和θρsin 2=. ……5分 （Ⅱ）依题意得，点Q P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,cos 4αθαρ和⎩
⎨⎧==.,
sin 2αθαρ
所以|cos 4|||α=OP ，|sin 2|||α=OQ . 从而|||||4sin 2|4OP OQ α⋅=≤ （4
π
α=
时即可取等）.
即||||OP OQ ⋅的最大值是4. ……10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）2a =时，2221x x x -+≥+21,3x x ∴-≥∴≥或1x ≤，
∴解集为(][),13,-∞+∞U ……5分
（2）3(),x a x a
f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩
，
0a >∴Q ),[+∞a 上02)()(>=≥a a f x f ，),2(a -上a f x f +-=->2)2()(
∴若(2,)x ∈-+∞，当且仅当20a -+≥时
()0f x >恒成立，
2a ∴≥ ……10分。