西北工业大学矩阵论课件PPT第二章例题 范数理论

1
则 A0 1 1， x0 1，但是
A0 x0 (n,0,,0)T
从而
A0 x0 n 1 A0 1 x0
故矩阵1-范数与向量的∞-范数不相容。
例 已知
0 Ai
i 1
1i ，
x
1 0
(i 1)
1 i 0
1
则 A ( 3 )， A 2 (1 2 )， Ax 1 ( 4 )。
第二章 范数理论
§1 向量的范数
例1 对 x (x1, x2,, xn )T Cn，规定
n
x 2
xi 2 xH x
i 1
则它是一种向量范数，称为向量2-范数。
注 直接证明第三条公理时要用到Cauchy
-Schwarz不等式
n
n
n
( xi yi )2
xi 2
yi 2
x
2 2
y
2 2
A F 1 4 2 9 25 11 4 111 4 16
70
A m 45 20， A 1 max6, 8, 5, 5 2 8， A max3 2, 9, 4, 8 9
例 判断矩阵1-范数与向量的∞-范数是否相容?
解取
1
A0
0
1 0
1
0
，
x0
1 1
0 0 0
U使得
U H AU diag(1,2,,n ) (i 0，i 1,2,,n)
于是
A U diag(1,2,,n )U H
U diag( 1, 2 ,, n ) diag( 1, 2 ,, n )U H PHP
其中 P diag( 1, 2 ,, n )U H是可逆矩阵。
从而
x A xH Ax xHPHPx (Px)H (Px) Px 2 由例5知， x A 是Cn上的向量范数。
A
m
n max aij
i, j
则 A m是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m-范数。
n
n
证
AB
m
n
max
i, j
aikbkj
k 1
n max( aik bkj )
i, j k 1
n
n max aik max( bkj )
i,k
i, j k 1
n max aik n maxbkj
分析 A max{2,3,2} 3
A为Hermite矩阵，可求得A的特征值为
1, 1 2, 1 2 故 A 2 1 2 。又 Ax (1,2i,1)T，故 Ax 1 4。
例 已知矩阵S可逆，试推导由向量范数
x S Sx 2
导出的矩阵范数 A S。
解
A
S
max
x0
Ax S xS
max
x0
S ( Ax) Sx 2
即有
1 n
x1
x2
n x1
于是向量的2-范数与1-范数等价。
例 向量序列 x(k) (2 1 , (1 1)k , 2)T， kk
当 k 时，收敛于向量 x (2, e, 2)T；
而向量序列 x(k) (1 1 , sin k)T 是发散的，因为 1
i 1
i 1
n
n
n
或
xi yi
xi 2 yi 2 x 2 y 2
i 1
i 1
i 1
则有
n
n
x
y
2 2
xi yi 2 ( xi yi )2
i 1
i 1
n
n
n
xi 2 2 xi yi yi 2
i 1
i 1
i 1
x
2 2
2
x
2
y2
y
2 2
(
x
2
y 2)2
例2 对 x (x1, x2,, xn )T Cn，规定
i,k
x2
A m
x2
n
n
Ax
max aik xk
i k 1
max aik
i k 1
xk
n
max
k
xk
max
i
k
1
aik
x
n
max
i,k
aik
A m x
例 求与矩阵 m -范数相容的向量范数。
解 取 a (1 , 1 , , 1)T，对于任意 nn n
x (x1, x2,, xn )T Cn
i1 j1 k 1
n nn
n
( aik bkj )
i1 j1 k 1 k 1
nn
nn
(
aik )(
bjk )
i1 k 1
j1k 1
A m1
B m1
例 对于 A (aij) Cnn，规定
A F
n
n
aij 2
[tr(
AH
1
A)]2
i1 j1
则
A
是
F
Cnn上的矩阵范数，称之为
Frobenius范数。
( x p
n
y p )(
xi
yi
p
1
)q
i 1
p
( x
p
y
p)
x
y
q
p
整理得
p p
x y p q x p y p
即
x y p x p y p
例5 设A是n阶可逆矩阵， • a是Cn上的向量范数
(不一定是 p-范数)。 规定 x b Ax a x Cn
证明 • b是 Cn上的向量范数。 证 (1) 若 x 0，则 0 b A0 a 0 a 0；
i 1
i 1
例3 对 x (x1, x2,, xn )T Cn，规定
x
max
i
xi
则它是一种向量范数，称为向量-范数。
证 (1) 0 0； 当 x 0 时，必有分量不为0，
于是 x 0；
(2)
kx
max
i
kxi
k
max
i
xi
k
x
(3)
x
y
max
i
xi
yi
max( xi
i
yi )
max
xk
i,k
i1 k 1
n max aik xk
i,k
k 1
A m x 1
nn
2
nn
Ax 2
aik xk
( aik xk )2
i1 k 1
i1 k 1
nn
n
( aik 2 xk 2 )
i1 k 1
k 1
(利用C-S不等式)
nn
aik 2
i1 k 1
x2
n max aik
简称 F-范数。
证
n nn
2
AB F aikbkj
i1 j1 k 1
n nn
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
n
nn
[(
n
aik 2 )(
bkj 2 )]
i1 j1 k 1
k 1
nn
aik 2
nn
2
b jk
i1 k 1
j1k 1
AF BF
例 对于 A (aij) Cnn，规定
有
x1 n
xv
xaT
m
xn
n
x1
n
n max xi
xn
in
n m
max
i
xi
x
例 已知矩阵
1 0 2 1 i
A
3 1
5 1 20
0 1
i 1 2 4
求 m1 ， F-，m ，1-，∞-范数。
解 A m11 2 2 3 5 11 2 111 2 4 24 2
则当 p 1 时，
x
y
p p
n
xi yi p
n
xi yi xi yi p1
i 1
i 1
n
n
xi xi yi p1 yi xi yi p1
i 1
i 1
n
(
xi
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
)
1 q
i 1
i 1
n
(
yi
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
1
)q
i 1
i 1
aik )( xk ) A m1 x 1
i1 k 1
k 1
例 矩阵F-范数与向量2-范数相容。
证 设 A (aij )nn，x (x1, x2,, xn )T，则
Ax 2
nn
2
aik xk
nn
( aik xk )2
i1 k 1
i1 k 1
nn
n
[( aik 2)( xk 2)] (利用C-S不等式)
n
x 1 xi
i 1
则它是一种向量范数，称为向量1-范数。
证 (1) 0 1 0；当 x 0 时， x 1 0；
n
n
(2) kx 1
kxi k
xi
k
x
；
1
i 1
i 1
n
n
(3) x y 1 xi yi ( xi yi )
i 1
i 1
n
n
xi yi x 1 y 1
i1 k 1
k 1
nn
n
aik 2
xk 2 A F x 2
i1 k 1
k 1
例 矩阵 m -范数与向量1-，2-，∞ -范数均 相容。
证 设 A (aij )nn，x (x1, x2,, xn )T，则
nn
nn
Ax 1
aik xk
aik xk
i1 k 1
i1 k 1
nn
n
max aik
1 n
A m1
A m
n A m1
故方阵的 m -范数与 m1 -范数等价；
3) 即
A m1 n A m n2 A F n2 A m n3 A m1
1 n2
A m1
AF
n A m1
故方阵的 m1 -范数与F-范数等价。
§3 长方阵的范数
例 对于 A (aij) Cmn，规定
AG
mn max aij
例 证明向量的1-、2-、-范数等价。
证 因为
n
x
max
i
xi
xi
i 1
x
1
n
max
i
xi
n x
所以向量的1-范数与2-范数等价；又有
n
x
max
i
xi
xi 2 x 2
i 1
n max xi
i
n x
于是向量的2-范数与-范数等价。结合诸不等式得
x 1 n x n x 2 n n x n n x 1
§2 方阵范数
例 对于 A (aij) Cnn，规定
nn
A m1
aij
i1 j1
则 A m1是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m1-范数。
证 前三条公理必成立，只证公理(4)。 设
B (bij)nn，则
n nn
n nn
AB m1
aikbkj
( aik bkj )
i1 j1 k 1
矩阵 A diag(1, 2, , n)，则
n
n
x b Ax 1 ixi i xi
i 1
i 1
x1 2 x2 n xn
这是一种新的向量范数。
例6 设A是n阶Hermite正定矩阵，规定
x A xH Ax (x Cn ) 则 x A 是Cn上的向量范数，称之为椭球范数。
证 由于A是Hermite正定矩阵，所以存在酉矩阵
i, j
证明： 1) A G 是Cmn上的矩阵范数；
2) A G 与向量2-范数相容。
证 1) 只证相容性公理。设B (bij) Cns，则
AB G
n
n
ms max aikbkj i, j k 1
ms max( aik bkj )
i, j k 1
n
ms
max
i,k
aik
max(
i, j k
2
SAS 1( Sx)
max
2
x0
Sx 2
SAS1 y
令y Sx max
2
y0
y2
SAS1
2
例 设A可逆，• 是由向量范数 • v 导出的 矩阵范数。 证明
证 因为
A1 1 min Ax v x0 x v
A1x
A1 max
v 令y A1x max
yv
x0 x v
y0 Ay v
所以
A1
1
i1 k 1
k 1
mn
n
aik 2
xk 2
i1 k 1
k 1
mn max aij
i, j
x
2
AG x2
§4 范数的应用
5 7 6 5
例1
矩阵
A
7 6
A
F
n max aij
ij
1
i1 j1
n2
max
ij
aij
n A m
即
1 n
A m
AF
A m
或
A F A m n A F
故方阵的 m -范数与F-范数等价；
nn
2)
A
m
n
max
ij
ai
j
n
aij
i1 k 1
n
A
m1
n max aij
ij
n2
n2
A
m
即
1 n
A m
A
m1
n
A
或
m
若x 0，则 Ax 0 (否则，若 Ax 0，两边左乘A-1得
A1Ax A10，即 x 0，矛盾) 于是
x b Ax a 0
(2)
kx b
A(kx) a
k
Ax a
k
x
；
b
(3) x y b A( x y) a Ax a Ay a
xb
y
。
b
例如，取 • a为 Cn上的向量1-范数，又取n阶可逆
i
xi
max
i
yi
x
y
例4 对 x (x1, x2,, xn )T Cn，规定
n
x p (
xi
p
)
1 p
(1 p )
i 1
则它是一种向量范数，称为向量 p-范数。
注 证明第三条公理时要用到Hölder不等式
1
1
n
i 1
xi
yi
i
n 1
xi
p
p
i
n 1
yi
p p
( p 1,q 1, 1 1 1) pq
1
bkj
)
ms max aik n maxbkj
i,k
k, j
mn max aik ns maxbkj