2019年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课件新人教A版选修

答案:(1)A
(2)(2015·安徽卷)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(2)由 2x>1,得 x>0. 因为{x|1<x<2} {x|x>0}, 所以 p 是 q 成立的充分不必要条件.故选 A.
不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条件.
2.充要条件 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要 条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
注意:(1)充要条件的含义:若p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.虽然它
(2k 1)2 4k 2 (x1 1) (x2 1) 0,
0,
⇒
k

1 4
,
(x1 x2 )

2

0,
即
k

1 4
,
(2k
1)

2

0,
解得 k<-2.
(x1 1)(x2 1) 0

x1x2

( x1

x2
)
1

0,
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要 条件为q=-1.
证明:(2)(充分性)当 q=-1 时,a1=S1=p-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且 n=1 时也成立.
于是
an 1 an
=
pn ( p 1) pn1( p 1)
题型二 充要条件的证明 【例2】 (1)求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 ac<0;
证明:(1)①必要性:因为方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,
所以Δ=b2-4ac>0, x1x2= c <0(x1,x2 为方程的两根), a
所以 ac<0. ②充分性:由 ac<0 可推得Δ=b2-4ac>0 及 x1x2= c <0(x1,x2 为方程的两根).
1b
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或m>6. 所以是充要条件,④正确. 答案:(3)①③④
方法技巧 充分、必要、充要条件的判断方法 若 p⇒ q,q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,q⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p⇒ q,q⇒ p,则 p 是 q 的充要条件; 若 p q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(1)|x-2|<1⇔-1<x-2<1⇔1<x<3;x2+x-2>0⇔x<-2 或 x>1.由于(1,3) (-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件. 故选 A.
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间 的充分(必要、充要)性.
自主学习
知识探究
1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由 p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(3)指出下列命题中,p 是 q 的什么条件? ①p:x2=2x+1,q:x= 2x 1 ; ②p:a2+b2=0,q:a+b=0; ③p:x=1 或 x=2,q:x-1= x 1 ; ④p:sin α >sin β ,q:α >β . (3)解:①因为 x2=2x+1 x= 2x 1 ,x= 2x 1 ⇒ x2=2x+1,所以 p 是 q 的必要不充分条件. ②因为 a2+b2=0⇒a=b=0⇒ a+b=0, a+b=0 a2+b2=0,所以 p 是 q 的充分不必要条件.
方法技巧 一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以 q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时 则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
即时训练 2-1:(1)已知 x,y 都是非零实数,且 x>y,求证: 1 < 1 的充要条件是 xy>0; xy
=p(p≠0
且 p≠1),即{an}为等比数列.
(必要性)当 n=1 时,a1=S1=p+q;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为 p≠0 且 p≠1,所以当 n≥2 时, an1 = pn ( p 1) =p, an pn1( p 1)
们本质上是一样的,但是说法上不同,因为这两个命题的条件与结论不同.
(2)p是q的充要条件又常说成是q当且仅当p,或p与q等价.
(3)设原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则p”,得p与q的关系有以下
四种情形:
原命题 逆命题
p 与 q 的关系
结论
p 是 q 的充分不必要条件;
真
假
p⇒ q,但 q p
2.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,命题乙:0<a<1,则命题甲是命题
乙成立的( C )
(A)充分不必要条件 (B)充要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3.“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的充要条件是
.
.
答案:a= 3 或a=-1 4
4.若“x<m”是“(x-1)(x-2)>0”的充分不必要条件,则m的取值范围为 .
解析:由(x-1)(x-2)>0 可得 x>2 或 x<1, 由已知条件知{x|x<m} {x|x>2 或 x<1}, 所以 m≤1. 答案:(-∞,1]
课堂探究
题型一 充分、必要、充要条件的判断
【例1】(1)(2015·天津卷)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
k 2 (2k 1) 1 0,


充分性: 当 k<-2 时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.设方程 x2+(2k-1)x+k2=0 的两个根为 x1,x2. 则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k-1+1=k(k+2)>0. 又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0,所以 x1-1>0,x2-1>0. 所以 x1>1,x2>1. 综上可知,方程 x2+(2k-1)x+k2=0 有两个大于 1 的根的充要条件为 k<-2.
答案:(2)A
(3)已知如下三个命题中:
①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;
②对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件;
③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0. 则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件; ④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.
正确的结论是
.
解析:(3)①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当(a-1)(a-2)=0时,a=1或a=2, 不一定有a=2. 所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.
②因为 a>b ac2>bc2(c=0),但 ac2>bc2⇒ a>b. 所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,②错. ③中,ab=1 且 ac=3 时,l1 与 l2 重合,但 l1∥l2⇒ a = 1 ,即 ab=1,
注意:(1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒” 的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要 条件. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条 件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不 成立”. (3)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少, 缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. (4)p是q的充分条件反映了p⇒q,而q是p的必要条件同样反映了p⇒q,这说明p 是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系,只是说法不同. (5)如果“若 p,则 q”为假命题,那么由 p 推不出 q,记作 p q.此时,我们就说 p
③因为当 x=1 或 x=2 成立时,可得 x-1= x 1 成立,反过来,当 x-1= x 1 成立时,可以推出 x=1 或 x=2, 所以 p 既是 q 的充分条件也是 q 的必要条件. ④由 sin α>sin β不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出 sin α>sin β, 所以 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件.
自我检测
1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤ sin B”的( A ) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:由正弦定理 a = b =2R(R 为三角形外接圆半径), sin A sin B
得 a=2Rsin A,b=2Rsin B. 故 a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B. 故选 A.
a 所以方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号, 即方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根. 综上所述,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.
(2)求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
证明:(2)必要性: 若方程 x2+(2k-1)x+k2=0 有两个大于 1 的根,不妨设两个根为 x1,x2,则
证明:(1)①必要性: 由 1 < 1 ,得 1 - 1 <0,
xy xy
即 y x <0, xy
又由 x>y,得 y-x<0, 所以 xy>0. ②充分性: 由 xy>0 及 x>y, 得 x > y ,即 1 < 1 .
xy xy x y
综上所述, 1 < 1 的充要条件是 xy>0. xy
q 是 p 的必要不充分条件
p 是 q 的必要不充分条件;
假
真
q⇒ p,但 p q
q 是 p 的充分不必要条件
真
真
p⇒ q 且 q⇒ p,即 p⇔q p 与 q 互为充要条件
p 是 q 的既不充分也不必要条件;
假
假
p q且q p
q 是 p 的既不充分也不必要条件
3.从集合角度看充分、必要条件 (1)依据 设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则 x∈B. 若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q.类似地,B⊆A与q⇒p等 价,A=B与p⇔q等价.
(2)结论 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
记法
关系
AB
A={x|p(x)},B={x|q(x)}
BA
A=B
A⊈B 且 B⊈A
图示
p 是 q 的充分不必 p 是 q 的必要不充
p 是 q 的既不充分也
结论
p,q 互为充要条件
要条件分条件ຫໍສະໝຸດ 不必要条件当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集 合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利 用Venn图或数轴解题.
即时训练1-1:(1)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α ,β
内.则“直线a和直线b相交”是“平面α 和平面β 相交”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交. 故选A.
(2)(2015·陕西卷)“sin α =cos α ”是“cos 2α =0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:(2)因为cos 2α=cos2α-sin2α, 所以当sin α=cos α时,cos 2α=0,充分性成立, 当cos 2α=0时, 因为cos2α-sin2α=0, 所以cos α=sin α或cos α=-sin α,必要性不成立.故选A.