第5章 时域离散系统的基本网络结构09-10-1

1 p z 1 q z 1 q z
1 1 r r 1 r r 1 r 1
r 1 N1

r
1 r
r 1 N2
H ( z ) A H j ( z )
j 1
K
0 j 1 j z 1 2 j z 2 H j ( z) 1 2 1 1 j z 2 j z
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的级联型结构。 解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
系统函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可 以得到滤波器的并联型结构。 当N=M时，展开式为
H ( z ) A0 H1 ( z ) H 2 ( z ) H N ( z ) Ai A0 1 d i z i i 1
N
共轭复根两两合并得到实系数的二阶网络，
F Ai 0i 1i z 1 H ( z ) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 i 1 i 1 E
成程序让计算机来执行， 这也就是用软件来实现数字滤波器。
时域离散系统可以用差分方程、单位脉冲响应以及 系统函数进行描述。系统输入、输出服从N阶差分方程
y n bi xn i ai yn i
i 0 i 1
M
N
其系统函数为
H ( z)
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
同一个系统函数H(z)，可实现的算法有很多种，每
一种算法对应于一种不同的运算结构（网络结构）。
1 H z 1 2 1 3z 2 z
1 1 1 1 1 2z 1 z
2 1 1 1 1 2z 1 z
5.2 用信号流图表示网络结构
(2 0.379 z )(4 1.24 z 5.264 z ) H ( z) 1 1 2 (1 0.25z )(1 z 0.5z )
1
1
2
2 0.379 z 4 1.24 z 5.264 z 1 1 2 1 0.25 z 1 z 0.5 z
N=E+2F
A0 A1 z－1 p1
…
x(n)
01 11
y(n)
11 21
z－1 z－1

…
1F 2F
z－1 z－1
0F
1F
图 并联型结构
例5
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的直接型Ⅱ结构。
1
2
3
解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
8
5/4
-4
-3/4
若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数 Hj(z)的网络结 构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z) 的级联型11
z－1
… z－1
0K 1K
z－1
y(n)
11 21
…
1K 2K
21
2K
图
级联型结构
例4
z－1 b N
H1(z)
z－1 y(n－N)
H ( z)
b z
i 0 N i i 1
M
i
1 ai z
i
H1 z H 2 z
bi z
i i 0
M
1 1 ai z
i 1 N i
x(n)
H1(z)
y1(n)
H2(z)
y(n)
假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，
方框图——直观
信号流图——简单
例 题1：
yn b0 xn b1 xn 1
1
H z b0 b1 z
FIR—Finite Impulse Response 有限长脉冲响应滤波器
hn b0 n b1 n 1 b0
x(n) z-1
数字滤波实际上是一种 运算过程，其功能是将一组输入的数字
序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本
身就是一台数字式的处理设备。 数字滤波器一般可以用两种方法实现： 一种是根据描述数字滤波器的 数学模型或信号流图 ，用数 字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机； 另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的 运算 编
显然交换H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输 效果，即
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H 2 ( z ) H1 ( z )

1 1 ai z
i 1 N i
bi z
i 0
M
i
x(n)
H2(z)
y2(n)
H1(z)
y(n)
Y2 z H 2 z X z
i 1 i 0 N
M
h(n)
零极点 稳定性
有限长度
在有限z平面上无极点 永远稳定
无限长度
有极点位置不定 系统有可能不稳
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
一、 直接型 1、直 接 I 型
一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可用N阶的差
分方程来描述
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
1 1 ai z
i 1 N i
y2 n xn ai y2 n i
i 1
N
H2(z)
x(n)
H2(z)
y2(n)
H1(z)
y(n)
Y z i H1 z bi z Y2 z i 0
M
y n bi y2 n i
i 0 i 1
M
N
从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出 y(n)由两部 分构成： 第一部分
) b x(n i是一个对输入x(n)的M阶延时链结
i i 0
M
构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络； 第二部分
a y (n i )
i 1 i
N
是一个对输出 y(n)的N阶延
8
1
2
3
5/4
-4
-3/4
11
1/8
-2
2 0.379 z 4 1.24 z 5.264 z H z 1 1 0.25 z 1 z 1 0.5 z 2
x(n) z－ 1 0.25 －0.379 －0.5 2 4 z－ 1 －1.24 z－ 1 5.264
H ( z) bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N M M
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
H z A
1 g z 1 h z 1 h z
M1 1 M2 1 r
1 z H Z 1 2 1 1.2 z 0.72 z
1
yn xn xn 1 1.2 yn 1 0.72 yn 2
H(Z)的极点为： z1=0.6+j0.6， z2=0.6-j0.6 极点均在单位圆内，滤波器因果稳定 幅频特性峰值点频率近似为： 4 , 4
第5章 时域离散系统的基本网络结构
5.1 引言
5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.1 引言
系统分析——已知某一系统的结构及相关
参数进行系统特性分析，分析其系统稳定
性、频率响应特性等； 系统综合——根据已知系统的相关特性 （技术指标）进行系统结构及参数设计。 设计 实现
时链的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。 由这两部分相加构成输出，取M=N可得其结构图
需2N个延时单元
x(n) x(n－1) x(n－2)
b0 z－1 b 1 z－1 b 2
… … … …
y(n) a1 a2
…
z－1 z－1
…
y(n－1) y(n－2)
bN－1
aN－1 aN
H2(z)
x(n－N)
x(n) 16 8 0.5 z－ 1 －16 z－ 1 20 －0.5 z－ 1 y(n)
1
并联型特点：
可单独调整极点位置，但对于零点的调整 却不如级联型方便，对传输零点有要求时，用 级联型。 运算误差比级联型小。 并行运算速度比较快。
8 4 z 11z 2 z H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的并联型结构。 解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
8 16 20 z H ( z ) 16 1 1 2 1 0.5z 1 z 0.5z
x(n) z－ 1 0.25 －0.379 －0.5 2 4 z－ 1 －1.24 z－ 1 5.264
1
1
2
y(n)
级联型特点： 级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点 的调整。 因总体结构为级联，会有一定误差积累。 级联结构可以有许多不同搭配关系，不同 方案性能不同。
三、并联型
信号流图
差分方程
IIR
有反馈回路（递归）
M N
无反馈回路（非递归）
M
y n bi xn i yn b xn i a yn i
i 0
i 0 i i 1 i
系统函数
H z bi z
i 0
M
i
H z
bi z i 1 ai z i

b1

z 0
y(n)
b0 b1
例题2：
yn bxn ayn 1
IIR—Infinite Impulse Response 无限长脉冲响应滤波器
b H z 1 1 az
hn b a u n
n
z a
x(n) b y(n) z-1
a
FIR
i 0
M
H2(z)
H1(z)
2、 直接Ⅱ型（正准型结构）
x(n)
仅需N个延时单元
b0 b1 b2
y(n)
a1 a2
… …
z－1 z－1
…
… …
a N－1
b N－1 bN
－1 aN z
例3
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 11z 2 z H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
11
1/8
-2
注 意：

系统函数要化为负幂次有理分式，且分母常数项系 数为1，其他项为-ai的形式； 差分方程要化为后向差分方程，左边只有一项y(n)， 且其系数为1；


可以根据差分方程或系统函数画信号流图，其前向 支路的系数就是系统函数（或差分方程）中的系数 bi， 后向支路的系数就是系统函数（或差分方程中的系 数）中的系数ai；
7
直接型特点： 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，节约 成本。
对于高阶系统直接型结构都存在调整零、 极点困难的缺点。
极点对系数变化过于灵敏，考虑到有限字长
效应，ai的量化误差会影响极点位置。
二、 级联型
将系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，
得到多个因式连乘积的形式
注意空缺项，在画信号流图时标出对应系数为零或 断开该支路。


思考题：
x(n) 1.2 z-1 z-1 y(n)
-0.72
数字滤波器的结构如图 ： （1） 写出它的差分方程和系统函数； （2） 判断该滤波器是否因果稳定； （3） 按照零、极点分布定性画出其幅频特性曲 线，并近似求出幅频特性峰值点频率。