山东省乐陵第二中学高一数学必修1教学课件：3.2.2.1 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例
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480-40（x-1)=520-40x（桶） 由于x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得
y=(520-40x)x-200 =-40x2+520x-200, 0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
第十二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
的应用意识,提高学习数学的兴趣.
第二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
实际问题
抽象概括
实际问题的解 还原说明
数学模型 推 理 演 算
数学模型的解
第三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例1.一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系如图所示
v/(km/h)
90 80 70
第十五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
依上可知: y (10 x)(50 5x) 8(50 5x)
5x2 40x 100 5(x 4)2 180
当 x= 4(元)时, y有最大值180(元) 即商品定价为10 + 4 =14 (元)时,日利润最大. 答: 为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
第十六页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已 知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工 人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才 能保证完成全部任务最快？
第十七页，编辑于星期日：八点 五十九分。
思路分析：
完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用时 间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或最 小。
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
第十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例2：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系 如下表所示：
销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12
利润 =销售总量(元) - 进货总价(元) =销售价×总销售量 - 进货价×总进货数 2.求什么? 商品的销售价（即商品的定价）
第十四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解: 设商品的定价为(10 +x)元,日利润为y元 (x为提高的价格) 则 每日利润=日销售总价(元) - 日销售的进货总价(元) =销售价格×日销售量 -进货价格×进货量 =(原销售价 + 提高价) ×(50 - 5乘以提高价) -8乘以(50 - 5提高价)
60 50
40 30 20
10
01
2
34 5
t/h
第四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km， 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析
式,并作出相应的图象.
所以 x 时1用3时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快。
第二十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解函数应用题的方法和步骤：
1．审题:（1）设出未知量; （2）找出量与量的关系.
2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量. 4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答.
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用实例
第一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(1)初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的 实际应用问题. (2)尝试运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高 学生的数学建模能力. (3)了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生
第八页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解:开车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系：
60t, x 150,
150 50(t 3.5),
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
第九页，编辑于星期日：八点 五十九分。
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
则完成全部任务所需时间 t(x) maxf (x),g(x)
第十九页，编辑于星期日：八点 五十九分。
当 f (x) g时(x，) 用时最少，
即 t(x) maxf取(x得),最g(小x值).
由 100 200 解得 x 12.5
7x 10(30 x)
因为 x N * 考查 t(12) 与 t(13)
第十八页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解：设x名工人制作课桌， (3名0 工x人)制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时
之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所 用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
制100张课桌所需时间为函数 f (x) 100 7x
制200把椅子所需时间为函数 g(x) 200 10(30 x)
65(t 4) 2299,
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
第六页，编辑于星期日：八点 五十九分。
这个函数的图象如图所示。
s
o1 2 3 4 5
t
第七页，编辑于星期日：从A地到150 km远处的B地， 在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离 开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的 函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象.
解：（1）阴影部分的面积为
501 801 901 751 651 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
第五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(2)根据图示,可以得到如下函数解析式
50t 2004,
s
8900((tt
1) 2054, 2) 2134,
75(t 3) 2224,
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时每
天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办法 增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量就减少5件 ,为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为多少元?
第十三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
思路分析:
1.此题己知条件中相关的新概念的含义是什么? 利润指企业销售产品的收入扣除成本价格的余额。
第二十二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
实 际 问 题 抽象概括 数 学 模 型
其
流 程
推 理 演
为
算
实际问题 的解
还原说明
数学模型
的解
第二十三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴 也会折射出绚丽的色彩。
第二十四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
f (12) 100 1.19 7 12
g(12)
200
1.11
10(30 12)
所以 t(12) 1.19,
第二十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
因为 f (13) 100 1.09,
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
日均销售量（桶）480 440 400 360 320 280 240
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利 润？
第十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶. 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况
下的日均销售量就为
y=(520-40x)x-200 =-40x2+520x-200, 0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
第十二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
的应用意识,提高学习数学的兴趣.
第二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
实际问题
抽象概括
实际问题的解 还原说明
数学模型 推 理 演 算
数学模型的解
第三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例1.一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系如图所示
v/(km/h)
90 80 70
第十五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
依上可知: y (10 x)(50 5x) 8(50 5x)
5x2 40x 100 5(x 4)2 180
当 x= 4(元)时, y有最大值180(元) 即商品定价为10 + 4 =14 (元)时,日利润最大. 答: 为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
第十六页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已 知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工 人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才 能保证完成全部任务最快？
第十七页，编辑于星期日：八点 五十九分。
思路分析：
完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用时 间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或最 小。
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
第十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例2：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系 如下表所示：
销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12
利润 =销售总量(元) - 进货总价(元) =销售价×总销售量 - 进货价×总进货数 2.求什么? 商品的销售价（即商品的定价）
第十四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解: 设商品的定价为(10 +x)元,日利润为y元 (x为提高的价格) 则 每日利润=日销售总价(元) - 日销售的进货总价(元) =销售价格×日销售量 -进货价格×进货量 =(原销售价 + 提高价) ×(50 - 5乘以提高价) -8乘以(50 - 5提高价)
60 50
40 30 20
10
01
2
34 5
t/h
第四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km， 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析
式,并作出相应的图象.
所以 x 时1用3时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快。
第二十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解函数应用题的方法和步骤：
1．审题:（1）设出未知量; （2）找出量与量的关系.
2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量. 4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答.
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用实例
第一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(1)初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的 实际应用问题. (2)尝试运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高 学生的数学建模能力. (3)了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生
第八页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解:开车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系：
60t, x 150,
150 50(t 3.5),
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
第九页，编辑于星期日：八点 五十九分。
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
则完成全部任务所需时间 t(x) maxf (x),g(x)
第十九页，编辑于星期日：八点 五十九分。
当 f (x) g时(x，) 用时最少，
即 t(x) maxf取(x得),最g(小x值).
由 100 200 解得 x 12.5
7x 10(30 x)
因为 x N * 考查 t(12) 与 t(13)
第十八页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解：设x名工人制作课桌， (3名0 工x人)制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时
之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所 用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
制100张课桌所需时间为函数 f (x) 100 7x
制200把椅子所需时间为函数 g(x) 200 10(30 x)
65(t 4) 2299,
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
第六页，编辑于星期日：八点 五十九分。
这个函数的图象如图所示。
s
o1 2 3 4 5
t
第七页，编辑于星期日：从A地到150 km远处的B地， 在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离 开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的 函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象.
解：（1）阴影部分的面积为
501 801 901 751 651 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
第五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
(2)根据图示,可以得到如下函数解析式
50t 2004,
s
8900((tt
1) 2054, 2) 2134,
75(t 3) 2224,
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时每
天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办法 增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量就减少5件 ,为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为多少元?
第十三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
思路分析:
1.此题己知条件中相关的新概念的含义是什么? 利润指企业销售产品的收入扣除成本价格的余额。
第二十二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
实 际 问 题 抽象概括 数 学 模 型
其
流 程
推 理 演
为
算
实际问题 的解
还原说明
数学模型
的解
第二十三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴 也会折射出绚丽的色彩。
第二十四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
f (12) 100 1.19 7 12
g(12)
200
1.11
10(30 12)
所以 t(12) 1.19,
第二十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
因为 f (13) 100 1.09,
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
日均销售量（桶）480 440 400 360 320 280 240
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利 润？
第十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶. 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况
下的日均销售量就为