吉林大学大一高数第二章第一节 数列的极限PPT课件

1. 单调有界的数列必收敛 ( 准则1 ) ( P33 )
x x x x M 1 2 n n 1
n
lim x a ( M ) n
x1 x 2
x n x n 1 a
M
x
x x x x m 1 2 n n 1
n
n 1 虽有界但不收敛 . 数列 ( 1 )
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3. (保号性)收敛数列的保号性.
若 lim xn a, 且 a 0 ( 0) , 则 N N ,当 n N n
时, 有 xn 0 ( 0).
a 取 nN 时 , N N ,当 ,则 证: 对 a > 0 , 2 xn a a 0 xn a a 2 2 a a 2 2
n 1 1 x ( 1 ) 1 1 n n 2!

1 1 3! n!
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又
n 1 1 1 1 x ( 1 ) 1 1 n n 2 ! 3! n! 1 1 1 1 1 n 1 2 2
x a 推论: 若数列从某项起 xn 0 ( 0) 且limx n a, n 则a 0 ( 0). (用反证法证明)
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 { x n } 是数列{ x n } 的任一子数列 . k 若 limxn a, 则 0, N , 当 n N时, 有
1 1)( 2) 1 (1 1 ) x 1 1 ( 1 1 n 1 ! n 1 n 1 2! n 1 3
大 大
n 1 1 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( n 1 ) ! n 1 n 1 n 1
正
比较可知
又
x x ( n 1 , 2 , ) n n 1
lim x b ( m ) n
mb
x n 1 x n
x 2 x1
x
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证 不妨设数列 x n 单调增加有上界.由确界公理知，
数列有上确界，记其为 a . 由上确界定义，对一切 n 有 xn a ,
另一方面， 0 ，存在正整数 N , 使得 因为 x n 单调增加，所以，当 n N 时，有
若数列 xn 及常数 a 有下列关系 :
a 0 , 正数 N , 当 n > N 时, 总有 x n
则称该数列 x n 的极限为 a , 记作
a x a n 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (nN ) 几何解释 : 即x ( a , ) n ) ( (nN ) a x x N 2 a N 1 a
n
x 1 , 从而有 n a
x n ( a a 1 a x a ) a x n n
取
1 a M max x ,x , ,x , 1 2 N

则有
x M ( n 1 , 2 , ) . n
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
例1. 已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ xn
n

n (1) 1 n
故
n n ( 1 ) lim x lim 1 n n n n
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n
(1)n lim x 0 . 证明 , 例2. 已知 xn n n (n 1)2 1 (1) n 1 0 证: x 0 n 2 2 n 1 ( n 1) (n 1) 1 1 0 , 只要 ( 0 , 1 ) ,要使 x , 即 n 1. n n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n 0 , 时, 就有 x N n



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1 1 1 n 1 例6. 证明 lim 2 2 2 n n n 2 n n
证: 利用夹挤定理 . 由
2 n2 1 1 1 n n 2 2 2 2 2 n n n n 2 n n n 1 n2 lim lim 2 1 且 n 1 n n n n
数列 xn 极限存在的充要条件是:
N , n N 时, 0 ,存在正整数 N , 使当 m x x 有 n m
x a ,则 证: “必要性”.设 lim 0 , N, 使当 n
n
时, 有 m N , n N x a x a , m n 2 2 x a ) ( x a ) x x 因此 n m n m ( a x a x m n “充分性” 证明从略 .
xN a .
x x a . n N
因此，当 n N 时，有 即
xn a . x n 收敛.
x a 0 , n
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n 1 证明数列 xn 例5. 设 x ( 1 ) ( n 1 , 2 , ) , n n
1
1
2
2
根据准则 1 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n n 1 lim ( 1 ) e n
1 2n 1 1 2
3
1 2
n 1
3
e 为无理数 , 其值为
e 2 . 7182818284 59045
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2. 夹挤定理 (准则2) (P35)
n ( 1 ) 1 x 0 也可由 x 故 lim n lim 0 2 n 2 n n ( n 1 ) ( n 1 ) 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 1 N 1 不一定取最小的 N. 1 1 1] x 0 , N [ 故也可取 n n 1 n
极限存在 . (P34～P35) 证: 利用二项式公式 , 有
n 1 x ( 1 ) n n
n 1 11 ! n
( n 1 )( n 2 )1 n(n 1 )1 n 2! 2 3 3 ! n n n ( n 1 ) ( n n 1 )1 n n ! n 1 (1 1 ) 1 (1 1) (1 2 ) 1 1 2! n n 3! n
2 , 4 , 8 , , 2 , ( n ) xn 2n
n 1 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) ,
n
发 散
n 1 趋势不定 x ( 1 ) n
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n( 1 ) 证明数列 xn 的极限为1. , n n (1)n 1 1 1 证: x n n n 1 1 , 1 , 只要 即 0 ,要使 x n n n 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N时, 就有
a 1
2
a
a 1
2
但因
x n 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2
长度为 1 的开区间 ( a1 , a1 ) 内, 因此该数列发散 .
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2. (有界性)收敛数列必有界. 证: 设 limx n a, 取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
令N max N , N , 则当 n 时, 有 N 1 2 z a , a y a , a n n
z a 当 nN 2 时, n

由条件 (1)
即 x a , 故 lim x a. n n
n
y x z a a n n n
n
x n a
xN
x nK
现取正整数 K , 使 n , 于是当 k K时, 有 K N
nk n K N
*********************
N
从而有 x n a , 由此证明 k
k
nK
limxnk a.
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
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( 1 ) ( n 1 , 2 , ) 例4. 证明数列 x 是发散的. n
证: 用反证法. 假设数列 x n 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
n 1
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有
2
1 1 a x a n 2 2
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n
lim x a ( n ) n a 或 x n
123 n , , 例如, , , , 234 n 1 n xn 1 ( n ) n 1 n 1 收 143 n ( 1 ) 2 , , , , , , 234 n 敛 1 n( 1 )n x 1 ( n ) n n
r
当 n 无限增大时, A n 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
A n S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 x n ) nf( 或 xn . x n 称为通项(一般项) .
( 1 ) y x z ( K N , n K ) n n n
( 2 ) lim y lim z a n n
n n

n
lim x n a
证: 由条件 (2) , 0 ,N1, N 2 , y a 当 n N n 1 时,
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
n 1 x ( 1 ) ( n 1 ,2 , )发散 ! n
k
lim x 1 ; 2 k 1
k
lim x 1 2 k
三、(极限存在准则)数列收敛的判别法
单调有界原理; 夹逼定理; 柯西准则 .
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1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n
1 1 1 lim n 2 1 2 2 n n n 2 n n
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3. 柯西极限存在准则(柯西准则) (P37)
第一节 数列的极限
一、数列极限的定义
第二章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
A n 逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
2


n
An nr s in cos n n ( n 3 , 4 , 5 , )
n 1 1 (1 1) (1 2) ( 1 ) n n ! n n
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1 (1 1 ) 1 (1 1) (1 2 ) x 1 1 n 2! n n 3! n
n 1 1 (1 1) (1 2) ( 1 ) n n ! n n