导数的简单应用与定积分专题能力提升练 二十三 2.8.3

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专题能力提升练二十三
导数的简单应用与定积分
(45分钟80分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则
f′(2)的值等于 ( )
A.-2
B.2
C.-
D.
【解析】选C.因为f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,
所以f′(x)=2x+3f′(2)+,
所以f′(2)=2×2+3f′(2)+,解得f′(2)=-.故选C.
2.sin2dx= ( )
A.0
B.-
C.-
D.-1
【解析】选B.sin2dx=dx
==-.
3.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,f(-1))处切线的斜率为8,则f(-1)= ( )
A.7
B.-4
C.-7
D.4
【解析】选B.因为y′=4x3+2ax,所以-4-2a=8,所以a=-6,所以f(-1)=1+a+1=-4. 4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为
( ) A. B.2 C.1 D.
【解析】选A.根据积分的运算法则,可知f(x)dx可以分为两段,
则f(x)dx=+lnx=+1=.
5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,则曲线y=f(x)在点
(-1,f(-1))处的切线斜率为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选B.因为当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,所以f′(x)=2lnx+2-,所以
f′(1)=1
因为函数f(x)是偶函数,
所以f′(-1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为-1.
6.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S1<S2<S3
B.S2<S1<S3
C.S1<S3<S2
D.S3<S1<S2
【解析】选A.如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积,易知选A.
7.已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点,记直线OP(O为坐标系原点)的斜率为k,则下列一定成立的为( )
A.k<-1
B.k<0
C.k<1
D.k≥1
【解析】选C.任意取x为一正实数,一方面y=sinx+lnx≤lnx+1,另一方面容易证lnx+1≤x成立,所以y=sinx+lnx≤x,因为y=sinx+lnx≤lnx+1与lnx+1≤x中两个等号成立条件不一样,所以y=sinx+lnx<x恒成立,所以k<1,所以排除D;当≤x<π时,y=sinx+lnx>0,所以k>0,所以排除A,B.
8.曲线y=x2+2与直线5x-y-4=0所围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意,由消去y,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当2<x<3时,直线5x-y-4=0在曲线y=x2+2的上方,所以所求的面积为[(5x-4) -(x2+2)]dx=(5x-x2-6)dx=
=-×22-×23-6×2
=.
9.给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M ( )
A.在直线y=-3x上
B.在直线y=3x上
C.在直线y=-4x上
D.在直线y=4x上
【解析】选B.f′(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,由题可知f″(x0)=0,即
4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.
10.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为
( ) A.1 B. C. D.
【解析】选B.由题可得,y′=2x-.因为y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以由2x-=1,得x=1,则切点坐标为(1,1),所以与y=x-2平行的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==,即点P到直线y=x-2距离的最小值为.
11.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处切线倾斜角α的取值范围为
( ) A.∪ B.
C.∪
D.
【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线斜率k≥-,所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
12.(2018·资阳二模)已知函数f(x)=lnx,它在x=x0处的切线方程为y=kx+b,则k+b的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0]
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
【解析】选D.根据题意,函数f(x)=lnx,其导数为f′(x)=,则有f′(x0)=,即k=, 又由切点的坐标为(x0,lnx0),则切线的方程为
y-lnx0=k(x-x0),
变形可得:y=kx-kx0+lnx0,
则有b=lnx0-1,
则k+b=(lnx0-1)+,
设g(x)=(lnx-1)+,
则有g′(x)=-=,
可得:在(0,1)上,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上为减函数,
在(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数,
则g(x)的最小值g(1)=0,则有k+b=(lnx0-1)+≥0,
即k+b的取值范围是[0,+∞).
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2018·荆州一模)曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________. 【解析】因为f(x)=sinx+e x+2,
所以f′(x)=cosx+e x,
所以曲线f(x)=sinx+e x+2在点P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e0=2,
所以曲线f(x)=sinx+e x+2在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3.
答案:y=2x+3
14.(2018·化州二模)已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为________.
【解析】函数f(x)=e x-mx+1的导数为f′(x)=e x-m,
若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,
即有e x-m=-有解,即m=e x+,
由e x>0,则m>,则实数m的范围为,
答案:
15.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________.
【解析】由得交点A(1,1).
由得交点B(3,-1).
故所求面积
S=dx+dx=+=+ +=.
答案:
16.(2018·遂宁一模)设函数f(x)=x2-2ax(a>0)与g(x)=a2lnx+b有公共点,且在
公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为
【解析】设公共点坐标为(x0,y0),则f′(x)=3x-2a,g′(x)=,
所以有f′(x0)=g′(x0),即3x0-2a=,
解出x0=a,
又y0=f(x0)=g(x0),
所以有-2ax0=a2lnx0+b,故b=-2ax0-a2lnx0,所以有b=-a2-a2lna,对b求导有b′=-2a(1+lna),故b关于a的函数在为增函数,在为减函数,
所以当a=时b有最大值.
答案:
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