福建省宁德市2019届高三临考适应性检测理科数学卷4

福建省龙岩市2019届高三临考适应性检测理科数学卷4
第I 卷（选择题 共50
分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数
2334i
i
-+-所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如右图，是一程序框图，则输出结果为( ) A ．
49 B ．511 C ．712 D ．613
3．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线， 给出下列4个命题,其中正确命题是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β
D ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b
4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示．已 知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率 是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12
5．若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r
，则ABM V 与ABC ∆的面积比
为（ ）
A ．
15
B ．
25
C ．
35 D ．45
6．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转
过的弧AP 的长为，弦AP 的长度为d ，则函数()l f d =的图像大致是（ ）
7．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14m n a a a =，则
14m n
+的 一年级 二年级 三年级
女生 373
x y 男生 377 370 z
最小值为（ ） A ．
3
2
B ．
5
3
C ．
25
6
D ．不存在 8．若双曲线)0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦
点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( ) A ．
9
8
B ．63737 C. 324 D. 31010
9．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义。

对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,k
f x f x K
f x K f x K
≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，取函数()2x f x x e -=++。

若对任意的(),x ∈+∞-∞，恒有()()k f x f x =，则 ( ) A ．K 的最大值为2
B ．K 的最小值为2
C ．K 的最大值为3
D ．K 的最小值为3
10．如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：1111A B C D 、、、，它们通过小路和公路相连，各路口分别是A B C D 、、、，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配于管（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在（ ） A ．A 旁 B ．D 旁
C ．(AB 含A 、B ）段公路旁的任一处
D ．(BC B C 含、）段公路旁的任一处
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填写在答题卡的相应位置 11．已知角α的终边在直线3
4
y x =-上，则2sin cos αα+=_________．
12．已知变量,x y 满足约束条件1203x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则目标函数2z y x =+的最大值为 ．
13．已知6
1(sin cos ),()a t t dt x ax
π
=
+-
⎰
则的展开式中的常数项为 ． 14．一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 ．
15．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．
下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
；②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调函数; ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。

16．（本题满分13分）海岛B 上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。

（假设游船匀速行驶）（Ⅰ）求该船行使的速度（单位：米/分钟）(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。

1
B 1
A 1
A
17．（本题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2,BC BB ==13BCC π
∠=
，
AB ⊥侧面11BB C C
(Ⅰ)求直线C 1B 与底面ABC 所成角正切值；
(Ⅱ)在棱1CC （不包含端点1,)C C
上确定一点E 的位置，使得1EA EB ⊥(要求说明理由).
(Ⅲ)在（2）的条件下,若AB =11A EB A --的大小.
18．（本题满分13分）已知数列{n a }前n 项和为S n ，且
),2(353,2*111N n n S a a S a n n n n ∈≥+-==--
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)设n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项和为T n ；
(Ⅲ)若)0](lg )2[lg(2>+=+t a t t c n n
n
n ，且数列}{n c 是单调递增数列，求实数的取值范围。

19．（本题满分13分）如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12,F F 为焦点，离心率1
2
e =
的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的交点为P ，延长2PF 交抛物线于点Q ，M 是抛物线1C 上一动点，且M 在P 与Q 之间运动． (Ⅰ)当1m =时，求椭圆2C 的方程；
(Ⅱ)当12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ ∆面积的最大值．
20．（本题满分14分）函数x
ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和
)(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
(Ⅰ)求此平行线的距离； (Ⅱ)若存在x 使不等式
x x f m
x >-)
(成立，求实数m 的取值范围； (Ⅲ)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把)()(00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与交换
已知二阶矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=11c b M ，矩阵M 对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）。

求矩阵M 将圆12
2=+y x 变换后的曲线方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为6)3sin(=-
π
θρ，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 10cos 10y x ，（θ为参数），求直线被圆C 截得的弦长。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知a ，b ，c 为实数，且.019
141,0222
22=-+++
=-+++m c b a m c b a （I ）求证：;14
)(91412
222
c b a c b a ++≥++
（II ）求实数m 的取值范围。

参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
B
C
C
C
C
A
D
C
D
11.
25或25- 12. 13 13. 52-
14. 32 15. ③④ 三、解答题： 16．解：
(Ⅰ)在Rt ∆ABC 中，0=60BAC ∠，AB = 10，则BC = 103米 在Rt ∆ABD 中，0=45BAD ∠，AB = 10，则BD = 10米 在Rt ∆BCD 中，000=75+15=90BDC ∠，
则CD 22
+BD BC = 20米 所以速度v =
1
CD
= 20 米/分钟 （Ⅱ）在Rt BCD ∆中，0=30BCD ∠， 又因为0=15DBE ∠，所以0=105CBE ∠ 所以0=45CEB ∠
在BCE ∆中，由正弦定理可知
00
sin 30sin 45EB BC
=
， 所以0
sin 3056sin 45BC EB ==米
17. 解：如图，以B 为原点建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)B ，1(1,2,0)C ，1(0,2,0)B
(Ⅰ)直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 的法向量
1(0,2,0)BB =u u u r ，又1(1,2,0)BC =u u u u r
，
设1BC ABC θ与平面所成角为，
则1125
sin cos ,BB BC θ=<>=u u u r u u u u r
tan 2θ∴= 即直线1C B 与底面ABC 所成角正切值为2.
（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则1(1,2,0)EB y =--u u u r ，(1,,)EA y z =--u u u r
1EA EB ⊥Q ，∴11(2)0EA EB y y ⋅=--=u u u r u u u r
1y ∴=，即(1,1,0)E 1E CC ∴为的中点
Ⅲ）∵2)A ，则1(1,1,2),(1,1,0)AE B E ==-u u u r u u u r
，
设平面1AEB 的法向量n 111(,,)x y z =，
则⎧⎨⎩n n 100⋅=⋅=u u u r
u u u r AE B E 1111120
0x y z x y ⎧+=⎪∴⎨
-=⎪⎩，取n r 2)= ∵(1,1,0)=u u u r
BE ，1110BE B E ⋅=-=u u u r u u u r ∴1BE B E ⊥，又11BE A B ⊥11BE A B E ∴⊥平面
∴平面11A B E 的法向量1,1,0BE =u u u r （），∴cos ,n BE =r u u u r BE n BE n
=
u u u r r
g u u u r r ∴二面角11A EB A --的大小为45°
18. 解（1）由11153353----=⇒+-=n n n n n n n a a a S a a S
得
2
1
1=-n n a a ，又21=a ，∴n n a -=22 （2）.2)12(2n n n b -⋅-= ∴n n n T --⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=2102)12(252321
同乘公比得n n n T ---⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=12102)12(2523212
1 ∴
n n n n T ------⋅+⋯+⨯+⨯+⨯+⨯=122102)12(22222222212
1
n n n --⋅---+=112)12(])2
1
(1[42
∴n n n T -⋅+-=22)32(12
（3）t t n c n n lg ⋅⋅=，∵1+<n n c c ，∴t t n t t n n n lg )1(lg 1⋅⋅+<⋅⋅+
①当10<<t ，则1+<n n t 对任意正整数恒成立，2
1
0<<t
②当1>t 时，1
+>
n n
t 对任意正整数恒成立，∴1>t
综上可知，实数t 的取值范围是),1()2
1
,0(+∞Y
19. 解：（1）当1m =时， 2
4y x =，则12(1,0),(1,0)F F -
设椭圆方程为22221(0x y a b a b +=>>），则1,c =又12c e a ==，所以22,3a b ==
所以椭圆C 2方程为22
143
x y += （2）因为c m =，12
c e a ==，则2a m =，22
3b m =，设椭圆方程为
2222143x y m m +=
由22
2221434x y m m y mx ⎧+=⎪
⎨⎪=⎩
，得22316120x mx m +-= 即(6)(32)0x m x m +-=， 得23
P m
x =
代入抛物线方程得p y =
，即2(3m P
212557,24333p m m m PF x m PF a PF m =+=
=-=-=
,12623
m
F
F m ==， 因为12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以
3m =
此时抛物线方程为212y x =
，(2,P ，直线PQ 方程为：3)y x =--.
联立23)
12y x y x
⎧=--⎪⎨=⎪⎩，得2213180x
x -+=，即(2)(29)0x x --
=，
所以92Q x =，代入抛物线方程得Q y =-
，即9
(,2
Q - ∴252
PQ =
=.
设2
(,)12
t M t 到直线PQ 的距离为d ，)6
2,63(-∈t
则2
75
2
+-
d 当t =
max 75
2==d 即MPQ ∆面积的最大值为
12522⨯=
. 20. 解：（Ⅰ）()x f x ae '=，()1
g x x
'=
，()y f x =的图像与坐标轴的交点为()0,a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为()a ,0，由题意得()()f 0g a ''=，即1a a
= 又∵a 0>，∴a 1=。

∴()x f x e =，()g x ln x =，∴函数()y f x =和()y g x =的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别
为：x y 10-+=,x y 10--= 。

（Ⅱ）由
()x m
f x ->x x m e
->，故x m x <-在[)x 0,∈+∞有解，
令()x h x x =-，则()max m h x <。

当x 0=时，m 0<；
当x 0>时，∵()x x x h x 11e
⎫'=-=-+⎪⎭，∵x 0>，
x ,e 1
≥=>，∴x e +>
故()x h x 1e 0
'=-<
即()x h x x =-在区间[)0,+∞上单调递减，故()()max h x h 00==，∴m 0< 即实数m 的取值范围为(),0-∞ 。

（Ⅲ）解法一：
∵函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()()()x F x f x g x e ln x =-=-，()x 0,∈+∞ ∴()x 1F x e x '=-
，设x t =为()x 1
f x e 0x
'=-=的解，则当()x 0,t ∈，()F x 0'<； 当()x t ,∈+∞，()F x 0'>，∴()F x 在()0,t 单调递减，在()t ,+∞单调递增 ∴()t t t t min 1
F x e ln t e ln
e t e
=-=-=+
∵()f 1e 10'=->，1f 202⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭
，∴1t 12<<
故()1
t
2
min 111
F x e t e 2222
=+=+
=>+= 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

解法二：
由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()()()x F x f x g x e ln x =-=-，()x 0,∈+∞ 令()x 1F x e x =-，()x 0,∈+∞；令()2F x x ln x =-，()x 0,∈+∞
∵()x 1F x e 1'=-，()211x
F x 1x x
-'=-=，∴()1F x 在()0,+∞单调递增，()2F x 在()0,1单调递减，在
()1,+∞单调递增
∴()()11F x F 01>=，()()22F x F 11≥=，∴()()()x 12F x e ln x F x F x 2=-=+>
即函数()y f x =和()y g x =在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。

21.（1）
解：由已知得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛141211,1412c b M 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+=+∴112112,11242M c b c b 解得 设点),(y x P 是圆122=+y x 上的任意一点，变换后的点为)','('y x P 则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡''y x y x M ， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+-=+=)''(31)'2'(31,',2'y x y y x x y x y y x x 从而
（2） 解：由θρθρθθρπθρcos 3sin 6)cos 2
3sin 21()3sin(-=-=-得=12。

.123=-∴x y
将圆的参数方程化为普通方程为.1022=+y x 圆心为C （0，0），半径为10。

∴点C 到直线的距离为613|
1200|=+++=d
l 直线∴被圆截得的弦长为.16610222=-
（3） 解：①由柯西不等式得2222222)(]321][)3
1()21
([c b a c b a ++≥++++ 即14)(9141,)(14)9141(2
2222222
c b a c b a c b a c b a ++≥++∴++≥⨯++
当且仅当||9
1||41||c b a ==取得等号， ②由已知得m c b a m c b a -=++-=++19
141,22222 12
50532)22()1(1422≤≤-∴≤-+-≥-∴m m m m m 即 又,019141222≥-=++m c b a Θ 125,1≤≤-∴≤∴m m。