山东省枣庄第八中学2020届高三数学1月考前测试试卷 理(含解析)

枣庄八中（东校）2020学年度高三1月检测
数学试卷（理）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式求解集合A，再由集合交集的定义求解即可.
【详解】集合，
所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了集合交集的定义，属于基础题.
2.已知数列为等差数列，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用定积分的几何意义求得定积分的值，然后利用等差数列的性质求得的值.
【详解】由于表示圆的上半部分，故，即，根据等差数列的性质，有，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义计算定积分，考查等差数列常用的性质，属于基础题.对于被积函数是含有根号的定积分的求解，由于原函数无法求出来，所以往往是利用其几何意义来求解. 等差数列的性质是：若，则，若，则.
3.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.故选A.
【点睛】本小题主要考查利用线
性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条
件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
4.已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若，则，即必要性成立，当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
5.已知函数（）
A. 8
B. 6
C. 3
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先求，再求，即可解得，从而可得解.
【详解】由函数,可得，
则，解得.
所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，解此题的关键是判断出自变量的范围，结合分段的解析式求值，属于基础题.
6.双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意得到则双曲线的渐近线方程为渐近线与圆相切，
则双曲线方程为：.
故答案为：A.
7.已知函数，若正实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出函数为奇函数，从而可得，再由展开利用基本不等式即可得解.
【详解】易知函数满足，可知为奇函数.
由，可得，即.
.
当且仅当，即时取得最小值1.
故选B.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及应用，利用条件等式结合基本不等式求最值，属于中档题.
8.函数的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象 ( )
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
【答案】D
【解析】
试题分析：令，函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，所以，
所以，所以只需将的图像向右平移个单位就能得到函数
的图像.
考点：本小题主要考查三角函数的图象的性质和三角函数图象平移问题，考查学生数形结合考查三角函数性质的能力.
点评：图象“左加右减”是相对于说的，所以看平移多少个单位时，一定要把提出来再计算.
9.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将几何体还原得四棱锥P-ABCD，过底面中心的垂心，通过列方程找到球心的位置，进而再求四棱锥的高，从而可得体积.
【详解】
由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC垂直于底面ABCD，为等腰三角形.
设BC的中点为F，四边形ABCD的中心为点H，连接PF,FH，过点H作平面ABCD的垂线，则球心在该直线上，即为点O，过点O作于点E，连接OP.
设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R，由其表面积为，得，解得.
设OH=x，则在直角三角形OHB中，有，解得.
在直角三角形POE中，，所以，解得.（负值已舍去）
所以PF=PE+EF=2.
所以四棱锥P-ABCD的体积.
故选B.
【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，解题的关键是找到球心的位置，属于中档题. 10.过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：首先求得抛物线的斜率，然后结合直线垂直的充要条件得到横坐标的关系，最后利用均值不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.
详解：抛物线的方程即：，则，设，
则过A,B两点切线的斜率为：，由题意可得：，
由题意可知抛物线的直线方程为，
则线段的中点到抛物线准线的距离为：
，
当且仅当时等号成立.
据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.
本题选择B选项.
点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11.已知是椭圆的左、右焦点，点，则∠的角平分线的斜率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得直线AF1的方程，根据角平分线的性质，可得P到AF1的距离与P到AF2的距离相等，即可求得直线l的方程．
【详解】
由椭圆，
则F1（﹣2，0），F2（2，0），
则直线AF1的方程为y=（x+2），
即3x﹣4y+6=0，
直线AF2的方程为x=2，
由点A在椭圆C上的位置得直线l
的斜率为正数，
设P（x，y）为直线l上一点，
则|x﹣2|，
解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），
∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，直线的斜率为：2.
故答案为：C
【点睛】本题考查椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于中档题．
12.已知，若的最小值为，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：求出导函数，设导函数的零点，即原函数的极值点为，可得，结合
的最小值为列方程组，求得，则值可求.
详解：由，得，
令，则，
则在上为增函数，
又，存在，使，
即，，①
函数在上为减函数，在上为增函数，
则的最小值为，即，②
联立①②可得，
把代入①，可得，故选A.
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左
增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
第Ⅱ卷
二、填空题.
13.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为__ .
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，然后利用两个向量的夹角公式计算出夹角的余弦值.
【详解】依题意，所以.
【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查平面向量数乘运算，考查两个向量夹角公式，属于基础题.
14.若曲线与曲线在交点处有公切线，则_ .
【答案】
【解析】
，，因为曲线与曲线与曲线在交点处有公切线，且，即，故答案为 .
15.已知是双曲线：右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，则的最小值是___.
【答案】
【解析】
16.记为正项等比数列的前项和，若，则的最小值为__.
【答案】8
【解析】
在等比数列中，根据等比数列的性质，可得构成等比数列，
所以，所以，
因为，即，
所以,
当且仅当时，等号是成立的，所以的最小值为．
点睛：本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式的应用，解答中根据等比数列的性质和题设条件得到，再利用基本不等式求解最值是解答的关键，其中熟记等比数列的性质是解答的基础，着重考查了学生的推理运算能力，及分析问题和解答问题的能力．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.已知中，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（II）若，求的长.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得到，进而得到三角形ABC是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设，则，,由余弦公式得到，.
解析：
（Ⅰ）由题意知，，解得，
∴，∴.
（Ⅱ）设，则，.
在中，，
解得或（舍去），∴.
在中，.
18.数列为递增的等比数列,，
数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求证：是等差数列；
（Ⅲ）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）见证明；(Ⅲ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意易知，从而可得公比进而得通项公式；
（Ⅱ）由可得，从而得证；
（Ⅲ）由，得，进而利用裂项相消法求和即可. 【详解】(Ⅰ)数列为递增的等比数列，则其公比为正数，
又，
当且仅当时成立。

此时公比,所以．
（Ⅱ）因为，所以，
即．
所以是首项为，公差为2的等差数列．
（Ⅲ），所以．
.
【点睛】本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：
（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将代入
，可得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程的两根，利用求解即可．
试题解析：
（1）将方程消去参数得，
∴曲线的普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为：．
（2）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴．
20.如图，直三棱柱中，且，E是棱上动点，
F是中点.
（Ⅰ）当E是中点C时，求证：CF平面 AE；
（Ⅱ）在棱上是否存在点E，使得平面AE与平面ABC所的成锐二面角为，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.
【试题解析】
（1）取中点，连结，则∥且.
因为当为中点时，∥且，
所以∥且.
所以四边形为平行四边形，∥，
又因为，，
所以平面；
（2）假设存在满足条件的点，设.
以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，平面的法向量，
平面的法向量，，
解得，所以存在满足条件的点，此时.
21.已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线分别交椭圆于和且，若，，成等差数列，求出的值.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用椭圆的定义即可得出，将代入椭圆方程可得，即可得出；（2）对分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论.
试题解析：(1)∵，∴，，∴椭圆：.
将代入可得，∴椭圆的方程为.
(2)①当的斜率为零或斜率不存在时，；
②当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得.
设，，则，.
.
∵直线的斜率为，∴.
∴.
综上，，∴.
故存在常数，使得，，成等差数列．
22.已知函数（为常数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）是否存在正实数，使得对任意，都有，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时，，对恒成立，求整数的最大值．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由，讨论和导数的正负，从而可得函数的单调性；
（Ⅱ）由正实数a，结合（Ⅰ）的单调性可得，即g(x)=f(x)+在上单调递减，求导可得a对恒成立，分析不等式右边函数的最值即可；
（Ⅲ）由题意得lnx对恒成立，当x=1时，b；又 b，通过证明b=2时不等式成立即可得解.
【详解】（Ⅰ）∵，．
∴（ⅰ）若，则恒成立f(x)在上单调递增；
（ⅱ）若，则．
令，解得；令，解得．
在上单调递减，在上单调递增．
综上：当时，f（x）在上单调递增；
当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）满足条件的a不存在．理由如下：
若，由（Ⅰ）可知，函数f(x)=alnx+在为增函数；
不妨设，
则，即
∴由题意：g(x)=f(x)+在上单调递减，
∴在上恒成立,即a对恒成立；又在上单调递减；
∴a；故满足条件的正实数a不存在．
（Ⅲ）当a=1时，使对恒成立
即lnx对恒成立．
∴ 当x=1时，b；又 b
下面证明：当b=2时，lnx对恒成立．
当b=2时，lnx．
设g(x)=，则．
易知：，
∴当时，；当时，．
∴g(x)
即当b=2时，lnx对恒成立．∴
【点睛】本题主要考查了单数的应用：讨论函数的单调性，恒成立问题求参，对于恒成立问题一般的解题策略是变量分离，进而利用函数的最值即可得参数的范围，属于常规题型.。