高中教育数学必修第四册《11.1.2 构成空间几何体的基本元素》教学课件

跟踪训练5 本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与 面D′C之间的距离？
解析：依据两条直线的位置关系知：当两条直线没有公共点时，这两条直线可能平行，也可能异面．
题型4 直线与平面、平面与平面位置关系的判断(直观想象) 【思考探究】 1.射线运动后的轨迹是什么？ [提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平 面．其他情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，
方法归纳
三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几 个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示， 再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或 “∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．
课堂探究·素养提升
题型2 文字语言、数学语言、图形语言间的相互转化(数学抽象、
直观想象)
例1 (1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，a⊂α
B．P⊂a，a⊂α
C．P⊂a，a∈α
D．P∈a，a∈α
【答案】 A
【解析】 由点与直线的位置关系的表示方法及直线与平面之间位置关系的表示方法可知点P在直线a上 表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．
(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以 借助身边的实物来模拟．
跟踪训练2 如图所示，AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周 形成的几何图形．
题型3 空间两条直线位置关系的判断(直观想象) 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1， CC1的中点，以下四个结论： ①直线DM与CC1是相交直线； ②直线AM与NB是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的为__①_③_④____(把你认为正确结论 的序号都填上)．
知识点三 平面及其表示方法 (1)平面的概念： 平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的． (2)平面的表示方法：
图形表示
在立体几何中，通常画_一__个_平_行__四_边_形_____表示一个平面， 并把它想象成无限延展的
符号表示
平面一般用希腊字母_α_，_β_，_γ___…来命名，还可以用表 示它的平行四边形_对_角_顶__点___的字母来命名
请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将
它们列举出来． [提示] 面可以列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，
平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2； 线可以列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等； 点可以列举如下： 点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点
C2，点D2； 它们共同组成了课桌这个几何体．
例4 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面 延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？ (2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
【解析】 (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′. (2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
跟踪训练4 (1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直 线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
①与直线B′C′垂直的平面有哪几个？ ②与平面BC′垂直的平面有哪几个？
解析：(1)①有平面AB′，平面CD′. ②有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
②点到平面的距离：
在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内 的点所连线段的___最_短____的一条．__线_段_A_A_1的__长____称作点A1到平面AC的 距离．
知识点七 空间中平面与平面的位置关系 (1)两个平面相交： 两个平面相交于_一_条__直_线___，此时我们说这两个平面相交．如果两个 平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的_一_条__垂_线___，这两个平 面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直． (2)两个平面平行： 如果两个平面__没_有__公_共_点_____，则说这两个平面平行． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长 方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面_垂_直__且_等_长____，我们 知道它们都是这个底面上的高，它们的___长_度____称作两个底面间的距 离．
答案：D
解析：如图，在长方体ABCD - A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面 直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行． 若令C′C所在直线为c，则a和c异面． 若令D′D所在直线为c，则a和c相交．
(3)两条直线没有公共点，则两条直线的位置关系为_平__行_或_异_面_____．
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、 面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平 面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
【解析】 ①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条 直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填① ③④.
状元随笔 利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．
方法归纳
空间两条直线位置关系的判断方法 两直线位置关系分为共面(平行和相交)和异面，其中共面时用平面 几何知识处理即可，现在关键是把握异面的理解与直观想象，两直线 不同在任何一个平面内，既不平行也不相交．
方法归纳
1．直线与平面位置关系的判断 (1)以正方体为模型，将线面化归成正方体中的线面进行判断． (2)以身边的物体作为模型判断，如笔，墙角作为直线，桌面，墙面， 地面作为平面． 提醒：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避 免疏忽或遗漏． 2．平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要是找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
(1)EF与BB1垂直； (2)EF与BD垂直； (3)EF与CD异面； (4)EF与A1C1异面．
解析：连接A1B(图略)，因为E，F分别是AB1，BC1的中点， 所以EF是△A1BC1的中位线， 所以EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．
4．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： (1)点C与平面β：_____C_∉_β_____； (2)点A与平面α：_____A_∉_α_____； (3)直线AB与平面α：___AB_∩_α_＝_B_____； (4)直线CD与平面α：____C_D_⊂_α _____； (5)平面α与平面β：__α_∩_β_＝_B_D_____．
知识点四 用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(1) 曲线 曲线的一段
平面
(2)
曲面
(3) 面 动 成 体 ： 面 运 动 的 轨 迹 ( 经 过 的 空 间 部 分 ) 可 以 形 成 一 个 几 何 体．
知识点五 空间中直线与直线的位置关系 空间中直线与直线有__相__交____、___平_行____与__异_面____三种位置关系． 知识点六 空间中直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内； (2)直线与平面平行：直线与平面___没_有____公共点；
跟踪训练3 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，写出所有 ①与直线AB平行的直线，并用“∥”表示； ②与直线AA1异面的直线； ③与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示．
(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．a∥c
B．a和c异面
C．a和c相交
D．a和c平行、相交或异面
11．1.2 构成空间几何体的基本元素
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形． 2．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础 上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
新知初探·自主学习
教材要点 知识点一 长方体 长方体可以看作由_六_个_矩__形___(包括它的内部)所围成的几何体． (1)长方体的面：围成长方体的_各_个_矩__形___，叫做长方体的面，它共有 ____6____个面． (2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有 ____1_2 ___条棱． (3)长方体的顶点：棱和棱的__公_共_点____，叫做长方体的顶点，它共有 ____8____个顶点． 知识点二 构成空间几何体的基本元素 ____点____、____线____、___面_____是构成空间几何体的基本元素．
(2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. ①AC∩ BD＝____O____； ②平面AB1∩平面A1C1＝___A_1B_1 ___； ③A1B1∩ B1B ∩ B1C1＝____B1____．
【解析】 由图形可知，AC∩ BD＝O， 平面AB1∩平面A1C1＝A1B1， A1B1∩ B1B ∩ B1C1＝B1.
是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或异面
答案：D 解析：当A∈b时a与b相交，当A∉b时a与b异面．
3．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方 形 的 棱 柱 )ABCD-A1B1C1D1 中 ， E ， F 分 别 是 AB1 ， BC1的中点，则以下结论中不成立的是___(_4)____．
(3)直线与平面相交：直线与平面_有_且__只_有_一_个_____公共点．
①直线与平面垂直：
如图，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相 交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任 何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面 AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直， 点A为___垂_足____．记作_直_线_A_A_1⊥__平_面_A_C_____．直线AA1称 作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．
题型2 从运动观点认识几何体 例2 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的
空间ห้องสมุดไป่ตู้形．
状元随笔 线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系 及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
方法归纳
(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如 果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形 成圆锥面．
基础自测 1．(多选)下列说法中正确的是( ) A．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B．一个几何体可以没有顶点 C．一个几何体可以没有棱 D．一个几何体可以没有面
答案：BC
解析：球只由一个曲面围成，故A错，B对，C对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D错．
2．若平面α和直线a，b满足a∩ α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系一定
跟踪训练1 如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平 面β，根据图形填写： (1)A∈α，B____∈____α， E___∈___α，C____∉____α，D___∉___α； (2)α∩ β＝___A_B____； (3)A ∈ β ， B____∈____β ， C____∈____β ， D____∈____β ， E___∉___β ， F____∉____β； (4)AB____⊂____α ， AB____⊂____β ， CD____⊄____α ， CD___⊂___β ， BF____⊂____α，BF____⊄____β.