2014-2015年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为．
3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．
5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在
C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是．
8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为个．
9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点
P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．
10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝．
11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为．
12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上
存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围．
13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝．
14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．
17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．
（1）求圆C的方程．
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．
18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．
（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．
①求•的值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．
20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．
（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．
附加题：矩阵与变换
21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；
（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
极坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．空间立体几何
23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
曲线与方程
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），
∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，
其虚部为﹣3．
故答案为：﹣3．
2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a＝1，b＝2
不满足条件a＞31，a＝2
不满足条件a＞31，a＝4
不满足条件a＞31，a＝8
不满足条件a＞31，a＝16
不满足条件a＞31，a＝32
满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．
故答案为：32．
3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．
【解答】解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，
∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，
∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，
令f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，3]，
∴f（x）max＝f（1）＝1，
∴m＞1．
故答案为：（1，+∞）．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）
2＝4截得的弦长为．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心为C（2，﹣1），半径r＝2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3＝0的距离d＝＝，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为2＝2＝
故答案为：．
5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为（0，）．
【解答】解：y′＝1+lnx，
令，
又因为函数y＝xlnx的定义域为（0，+∞）
所以函数y＝xlnx的单调减区间为
故答案为：
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是﹣1．
【解答】解：设切点为（x0，lnx0），
由y＝lnx，得y′＝，
∵直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，
∴＝1，即x0＝1，
∴lnx0＝ln1＝0，
把切点（1，0）代入y＝x+b，得0＝1+b，即b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在
C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是＝1．
【解答】解：∵双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，
∴，解得a＝9，b＝16，
∴双曲线C的方程为：＝1．
故答案为：＝1．
8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为0个．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝2x﹣＝；
故x∈（0，）时，f′（x）＜0；
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）≥f（）＝﹣ln＞0；
故函数f（x）＝x2﹣lnx没有零点；
故答案为：0．
9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点
P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2＝60°，
∴＝，
即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣＝0，
∴e＝或e＝﹣（舍去）．
故答案为：．
10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝﹣1．
【解答】解：由题意，x1x2+y1y2＝
∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB＝120°，
∴＝＝＝﹣1
故答案为：﹣1．
11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为[e﹣2，+∞）．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）max＝g（e）＝e﹣1
，令f'（x）＝0，
∵a＞0，x＝±
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）min＝f（1）＝1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；
当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，
∴f（x）min＝f（）＝≥e﹣1 恒成立；
当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）min＝f（e）＝e+≥e﹣1 恒成立
综上a≥e﹣2
故答案为：[e﹣2，+∞）
12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上
存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围≤a≤4+．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣1，2）为圆心、半径等于的圆．
设M（x0，y0），则由MA＝MO，A（0，a），O（0，0），
可得（x0﹣0）2+（y0﹣a）2＝2（x02+y02），即3x02+3y02+2ay0﹣a2＝0，即x02+（y0+a）
2 ＝2a2．
则M在以（0，﹣a）为圆心，r＝a为半径的圆上．
又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r﹣|≤d ≤r+，
即|a﹣|≤≤a+，即，
求得≤a≤4+，
故答案为：．
13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝1或2．
【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则，
此时当x＝时，函数取极大值
当2≤x≤4时，
f（x）＝1﹣|x﹣3|；
此时当x＝3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则，
此时当x＝6时，函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点共线，
∴
解得c＝1或2．
故答案：1或2
14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若
点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．
【解答】解：由焦距为2，则c＝1，
左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1，
则6（a﹣c）＝a+，代入c＝1，解得，a＝2或3，
由于离心率e＜，则a＞2c＝2，则a＝3．
则l：x＝﹣9，
设P（﹣9，y），（y＞0），则MF1|＝8，|MF2|＝10，
则tan∠F1PF2＝tan（∠F2PM﹣∠F1PM）＝
＝＝≤＝．
当且仅当y＝即y＝4时，取得最大值．
故答案为：．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；
当a＝1时，得到1＜x＜3；
q：实数x满足2＜x≤3；
若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴，解得1≤a≤2；
∴实数a的取值范围是[1，2]．
16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝1•x+1•sin（﹣x）×2
＝x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；
函数的定义域为{x|0＜x＜}；
（2）y′＝1﹣2cos（﹣x），
令y′＝0解得，x＝，
故当x＝时，观光路线总长最大，
最大值为+2×＝+（km）．
17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．
（1）求圆C的方程．
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．
【解答】解：（1）由题意可得点C和点M（﹣2，﹣2）关于直线x+y+2＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．
设C（m，n），由•（﹣1）＝﹣1，
且++2＝0，
求得，
故原C的方程为x2+y2＝r2．
再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r＝，
故圆的方程为x2+y2＝2．
（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣1＝k（x﹣1），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣1）．
由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2＝0，
因为P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x A＝．
同理，所以x B＝．
由于AB的斜率k AB＝＝
＝＝1＝k OP（OP的斜率），
所以，直线AB和OP一定平行．
18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．
（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，
f′（x）＝﹣2x+1＝，
f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，
即有f（x）的减区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，
等价为a≥在x＞0恒成立．
令g（x）＝，只需a≥g（x）max，
g′（x）＝，令g′（x）＝0，可得﹣x﹣lnx＝0，
设h（x）＝﹣x﹣lnx，h′（x）＝﹣﹣＜0，
h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）＝0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，
g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，
即有g（x）max＝g（x0）＝＝＝，
由h（）＝ln2﹣＞0，h（1）＝﹣＜0，则＜x0＜1，
此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），
即a≥2，
则有整数a的最小值为2．
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．
①求•的值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．
【解答】（1）解：由已知可得，解得．
∴b2＝a2﹣c2＝2，
则椭圆方程为；
（2）①解：由•＝0，得MB⊥AB，可设M（2，t），P（x0，y0）．
直线MA：，代入，得．
由，得，从而，
∴•＝；
②证明：依题意，，
由MQ⊥PB，得，则MQ的方程为：y﹣t＝（x﹣2），即y＝，
∴直线MQ过原点O（0，0）．
20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．
（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．
【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．
则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，
则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．
②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．
若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，
即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，
若x＝0，则方程无解，满足条件，
若x≠0，则方程等价为m＝，
设g（x）＝，
则函数的导数g′（x）＝，
若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，
若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，
综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，
若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．
（2）∵n＝4m（m＞0），
∴函数r（x）＝+＝+＝+，
则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，
设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，
则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，
[h′（x）]′＝16e x﹣2，
当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，
即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，
即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，
故r（x）≥r（0）＝，
故当x≥0时，r（x）≥1成立．
附加题：矩阵与变换
21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；
（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），
由＝，＝
得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．
极坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．【解答】解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得
其普通方程为：x+2y＝4，
设P（2cosθ，sinθ），
∴P到l的距离为d＝
＝
≥＝，
当且仅当sin（θ+）＝1，即θ＝2kπ+时等号成立．
此时，sinθ＝cosθ＝，
∴P（，）．
空间立体几何
23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
BB1⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，
从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），
A1，C1，D，
所以，
设AF＝x，则F（，0，x），
.，所以．
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．
由＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）．
设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得
令z＝1得，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
．
曲线与方程
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题设知，，即，
所以抛物线的方程为y2＝x；
（2）因为函数的导函数为，
设A（x0，y0），则直线MA的方程为，
因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．
联立，解得A（16，﹣4），
所以直线OA的方程为．
设直线BC方程为y＝kx﹣2，
由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，
所以．
由，得．
所以，
故的为定值2．。