四维几何基础知识(三)

导读
本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:
第一章名词术语和简单的夬
第二章位置关系
第三章投影
第四章面轴
第五章曲体
这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.
在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.
感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.
整理
四维几何基础知识(201802第一次更新)
第三章投影
我们所存在的宇宙是三维的,至目前为止,人类从未进入过高维度的空间,所以不可能对四维空间有感官上的认知.要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维几何体的形状,在逻辑上对四维的几何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理,就可以想象其在四维空间的形态.
一>常用的投影计算公式
以下是有关三维几何投影的部分公式:
1> 假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为θ,则投影的长度为L*Cosθ
2> 假设有一面积为S的平面与投影面的夹角为θ,则投影的面积为S*Cosθ
把以上公式中的”投影面”改为””投影立体空间”,便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式:
3> 假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为θ,则投影的体积为
V*Cosθ
当特殊的情况下θ为90度时,以上公式中的直线,平面,立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点,直线,平面.
例一: 有一架探测器,它的体积是0.02立方米,把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度,请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)
答: V’=Cosθ*V=Cos(π/3)*0.02= 0.01立方米
二> 平面角的投影
平面角在四维空间中的位置状况是多样的,这里我们选取最简单的一种做例子: 设某平面角∠a的角平分线垂直于∠a所在的平面与投影空间的交线, ∠a与投影空间的夹角为θ,∠a在投影空间的投影角为∠A,则tan(A/2)=tan(a/2)/cosθ∠A=2arctan(tan(a/2)/cosθ)
这个公式,与平面角的面投影公式是一样的.
例二:底空间内有一圆锥体,它的圆锥角是π/3,现以此圆锥体的中心线为定位线,以顶点为旋转中心,向第四维方向旋转π/4的角度, 之后它在底空间内形成一个新的圆锥角投影.求新投影的圆锥角是多少度.
答:图二中圆锥角为∠AOB,定位线即为角平分线,所求的新投影圆锥角∠aOb的中心线OP’是原圆锥角中心线OP的投影.因此可以使用平面角在三维空间的投影公
式.
∠aOb=2arctan(tan(∠AOB /2)/cos(π/4)) = 2 arctan((√6)/3)
三> 立体角的投影
立体角投影的计算略复杂一些,首先要分别计算立体角各个组成部分的投影值,再以所得结果去计算投影立体角的大小.
图三(1)是一个立体角ΩO-ABC,OA=OB=OC,它与底空间的夹角为θ,在底空间的投影立体角为ΩO-abc, ΩO-abc的值是无法直接计算的.先将ΩO-ABC旋转回底空间,使其中心线OP与ΩO-abc的中心线OP’重合,再将它们的位置变成图三(2)所示.
图三(2)中过点O作平面垂直于PO,三角形A’B’C’是三角形ABC在此平面的投影,也是三角形abc的投影.其中OP’的长度为cosθ*OP.
根据以上的条件,先分别计算出ΩO-abc三个侧平面角的值,再代入相应的公式计算ΩO-abc的立体角值.
四>夬投影原理
在讨论四维夬在三维空间的投影之前,我们先回顾一下三维体在平面上的投影.简单的说,平面投影就是有一束光源垂直照射在平面上,物体处于光源与平面之间,在平面上显示出一个几何形状的阴影.
但是这个概念对于四维夬在三维空间的投影,是有想象难度的,所以我们可以变通一下,将物体以垂直的方向穿过所要投影的平面,在此过程中,平面上出现一个连续变化的几何图形,当物体完全穿过平面时,它会在平面上留下一个最大面积的”穿透区域”,这个区域是图形在穿透投影面的过程中, 连续变化的几何图形叠加起来的,这就是该物体在平面上的投影.(图四)
以同样的过程,可以类比出四维夬在三维空间的投影：当一个四维夬以垂直方向穿过三维空间时，它会在此三维空间的某一固定区域内形成一个连续变化的物体，将这个连续变化的物体所占据的空间全部叠加起来，就是四维夬在三维空间的投影。

夬是由体围合而成的,计算夬的投影主要方法,是把相关的夬表体的投影体分别计算,再按照相对应的位置叠加起来.
五>正方夬投影
正方夬在四维几何形中是比较有代表性的,本节分析各种不同角度的正方夬在三维空间的投影.为了便于分析,先将正方夬的8个表体分别编号
图五是一个正方夬,按四个轴八个方向把8个表体分开.
将正方夬上最接近底空间的那个正方体编号为W-体,那么它在W轴正方向上的那个平行体的编号为W+体.用同样的命名规则,另6个正方体的编号分别为:X+体,X-体,Y+体,Y-体,Z+体,Z-体.(图六).
例三: 有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上,它的底体在底空间中, 求此正方夬在底空间内的投影.
答: 此正方夬的底体W-体在底空间中,那么它的平行体W+体平行于底空间,W+体在底空间的投影是一个正方体.而正方夬的六个侧体均垂直于底空间,在底空间的投影是六个平面,综合可得此正方夬在底空间内的投影是一个正方体.
现在我们看看此正方夬穿过底空间是什么情况.
将正方夬沿W轴负方向垂直穿过底空间,这时W-体离开底空间进入W轴负方向,而正方夬的六个侧体在底空间投影产生的六个正方形围合成了一个新的,与W-体完全相同的正方体,而且所处的位置也相同.(图七)
这样我们便得到一个结论,当正方夬的底体平行于底空间时, 正方夬垂直穿过底空间所经历的立体空间大小,就是一个与正方夬底体相同的正方体,这也是此正方
夬在底空间的投影.
例四: 有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上,它的一个对角体为OABC-DEFG(图八),将此正方夬适当的旋转,使其对角体垂直于底空间,且与底空间相交于平面OABC,求此正方夬在底空间内的投影
为了便于观察,W轴和Z轴向左偏移了一些. (图九)
答:从正方夬对角体的定义得知, X-体和W-体与对角体的夹角为π/4,可计算的它们与底空间的夹角也为π/4, 它们的平行体X+体和W+体没有与底空间相交,但与底空间的夹角同样也是π/4.
这样很容易计算出: X-体和W-体在底空间的投影体积为V’=Cos(π/4)V=((√2)/2)V
X-体和W-体是共面的,所以他们的投影连在一起,是一个L*L*(√2)L的长方体. 根据正方夬的对称性, X+体和W+体的连合投影也是同样的长方体,这个长方体和X-体W-体的投影长方体是重合的.
而另外的四个体: Y+体,Y-体,Z+体,Z-体,它们仍是垂直于底空间,所以它们的投影是四个平面.
当此正方夬由W轴正方向垂直穿过底空间时.是一个连续变化的长方体,它的长由0慢慢的增加到(√2)L的最大值,此时X-体和W-体穿过了底空间, X+体和W+体开始进入,然后它的长由(√2)L慢慢的减少到0.它在底空间穿过的立体空间是一个L*L*(√2)L的长方体,这就是此正方夬在底空间的投影. (图十)
根据这个例子的计算过程,我们可以推导出方夬的一个面与底空间相交时,此方夬的投影.
设一方夬与底空间的相交面的面积为S,与此相交面相连的两个长方体a和b的体积分别为Va和Vb, 长方体a与底空间的夹角为θ(0<θ<π/2),则此方夬在底空间的投影为以相交面为侧面,长度为(Va*cosθ+Vb*sinθ)/S的长方体.
例五: 有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上,它的一个对角面为OABC,将此正方夬的位置做适当调整,使其对角面垂直于底空间,且与底空间相交Y轴于棱OA,求此正方夬在底空间内的投影.(图十一)
答: 从正方夬对角面的定义得知, X-体,Z-体,W-体与对角面的夹角为arccos((√6)/3),可计算的它们与底空间的夹角为arcsin((√6)/3), 它们的平行体X+体,Z+体,W+体没有与底空间相交,但与底空间的夹角同样是arcsin((√6)/3).
这样我们可以算出每个正方体在底空间的投影体积:
V=cos(arcsin((√6)/3))*(L∧3)= (√3)/3)*(L∧3).
每个正方体的投影形状,是以对角面方向压缩的菱形体,三个菱形体两两以面相连,共交于一条棱,所以它们的连合体是一个正六边形柱.经过计算,这个六边形柱的侧面正六边形的边长是((√6)/3)L, 六边形柱的长为L,体积为(√3)*(L∧3).
同理, X+体,Z+体,W+体的投影连合体也是这样的一个正六边形柱,在底空间中,它与X-体,Z-体,W-体的投影是重合的.
再分析一下侧体,仔细观察便可发现,BO和CA分别是Y-体(图十二绿色)和Y+体的对角线,所以Y-体和Y+体垂直于底空间,而且投影是一个正六边形,正好是此正方夬在底空间投影体的侧面.
如图十二, 当此正方夬由W轴正方向垂直穿过底空间时,开始是一条线段变化成一个正三角体, 正三角体的长度不变,侧面正三角形慢慢变大,至最大的时候,三角形的顶点收回成一条边,变成一个六边形,而原来三角形的边则慢慢生长成新的顶点, 六边形又变回正三角形,然后正三角形慢慢变小直至成一个点,此正方夬穿过底空间.
图十二中的正六边形体就是此正方夬在穿过底空间时连续变化所占用的立体空间,也就是所求的投影.它的体积为(√3)*(L∧3).
这个例子中,如果正方夬对角面不是垂直于底空间的话,那么它的投影是由投影体的侧面所决定的,也就是Y-体和Y+体在底空间的投影形状和大小,计算方法稍复杂一些.
例六: 有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上,它的一条对角线CO垂直于底空间,且与底空间相交于O,求此正方夬在底空间内的投影.(图十三)
答:图十三所示,点O连接4个正方体, X-体,Y-体,Z-体,W-体,每个正方体都有一个面与其它3个正方体连接,组成了一个以O为顶点的直夬角,CO是此直夬角的中心线.
根据正方夬对角线的定义,每个正方体与对角线的夹角都为π/6, 对角线垂直于底空间,则每个正方体与底空间的夹角都为π/3.因为所有8个正方体都是以正方夬对角线顶点为中心,与底空间形成夹角,所以它们的投影是以正方体对角线为压缩方向,将正方体压缩成菱体,体积为cos(π/3) (L∧3)= (L∧3)/2,也可以说是对角线压缩了一半.
在底空间中, X-体,Y-体,Z-体,W-体的投影体以O点为中心,每一个投影体都有一个面与其它三个投影体相连,连合成一个多面体,它的表面是12个菱形,且棱长为(√3)/2L.
根据正方夬的对称性, X+体,Y+体,Z+体,W+体在底空间的投影体,与X-体,Y-体,Z-体,W-体的投影体重合.
当此正方夬由W轴正方向垂直穿过底空间时,由一个点变化成一个正四面体, 正四面体变化至最大之后顶点回收成平面,成为一个复杂的多面体,再变成一个正四面体,最后缩小为一个点.所形成的投影如图十四所示.
此12面体的棱长为(√3)/2L,体积为2(L∧3).
现在总结一下”正方系列”的投影规律,还是很有意思的.
设以下几何形边长为L.
正方形: 侧边垂直于底空间的投影: 长度为L的直线.
对角线垂直于底空间的投影: 长度为(√2)L的直线.
正方体: 侧面垂直于底空间的投影: 面积为(L∧2)的正方形.
对角面垂直于底空间的投影: 面积为(√2) *(L∧2)的长方形.
对角线垂直于底空间的投影: 面积为(√3) *(L∧2)的正六边形.
正方夬: 侧体垂直于底空间的投影: 体积为(L∧3)的正方体.
对角体垂直于底空间的投影: 体积为(√2) *(L∧3)的长方体.
对角面垂直于底空间的投影: 体积为(√3) *(L∧3)的正六边体.
对角线垂直于底空间的投影: 体积为(√4) *(L∧3)的12菱面体.
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