精编新版高中数学单元测试-函数综合问题专题完整版考核题(含答案)

2019年高一年级数学单元测试卷
函数综合问题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设正实数,,x y z 满足22
340x xy y z -+-=,则当
xy
z
取得最大值时,212x y z +-的最大
值为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．9
4
D ．3（2013年普通高等
学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））
2．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,2
1
()f x x x
=+
,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）） 3．函数12
()f x x -=的大致图像是( ) （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）
4．设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为，（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2006山东文) 5．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=
8
21
m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至
右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b
a
的最小值为 A ．
二、填空题
6．已知函数2
1,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__ ___。

7．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ▲ ．
8．已知点)2,2(在幂函数)(x f y =的图象上，则该函数的解析式=)(x f ．
9．设P (x ，y )为函数21y x =
-(x >图象上一动点，记3537
12
x y x y m x y +-+-=+
--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ．
10．设函数()f x 满足：对任意的x R ∈，恒有()()
0,f x f x ≥=，
当[)0,1x ∈时，(
)12,02
112
x x f x x ⎧
+≤<⎪⎪=≤<，则()9.9f = ▲ ．
11．计算1
2
2100log 8-=____7____.
12．容器A 中有m 升水，将水缓慢注入空容器B ，经过t 分钟容器A 中剩余水量y 满足函数e me
y at
(-=为自然对数的底数，a 为正常数），若经过5分钟容器A 和容器B 中的水
量相等，经过n 分钟容器A 中的水只剩下4
m
，则n 的值为
13．已知函数()23f x x =-，若021a b <<+，且()()23f a f b =+，则2
3T a b =+的取值范围是
．
14．满足不等式组则目标函数
的最大值为▲ .
15．设{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B ⋂=_____________.
16．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，
πcos 2,0,2()sin ,
0π,x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨⎪<⎩≤≤ 则()
154f -π= ▲ .
17． 某同学在研究函数 x
x
x f +=
1)((x R ∈) 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数)(x f 的值域为 (－1,1)； ③若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠；④方程x x f =)(在R 上有三个根. 其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)
三、解答题
18．（本小题16分）已知1()log 1a x
f x x
+=-(0,1)a a >≠.
（1） 求函数)(x f 的定义域；
（2） 试判别函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （3） 求使()0f x <的x 的取值范围．
19．(本小题满分14分)
某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A
a ＋
b t n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木
的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
答案: (本小题满分14分)
解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧9A
a ＋
b ＝A ，9A a ＋14b
＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………………………………4分
所以f (n )＝9A
1＋8×t n
，其中t ＝2-2
3．
令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n ＝8A ，解得t n
＝164， 即2-2n
3＝164，所以n ＝9．
所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8
倍． ………………………………………6分 （2）由（1）知f (n )＝9A 1＋8×t n ．
第
n
年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝
9A
1＋8×t n
－
9A
1＋8×t n －1
． ……………………………9分
所以△＝72At n －
1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －
1(1－t )
1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1
＝72A (1－t )
1t n －1 ＋64t n
＋8(t ＋1) ………………………………………12分
≤72A (1－t )2
64t n
×1t
n －1＋8(t ＋1)
＝72A (1－t ) 8(1＋t )2＝9A (1－t )
1＋t ． 当且仅当64t n ＝1
t
n －1，即2
-2(2n -1)
3＝164
时取等号，此时n ＝5．
所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………………………………14分
20．（本题16分）已知函数4()log (41),()x f x kx k R =++∈为偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分15分） 已知1()lg
1x
f x x
-=+．
（1）求函数()f x 的定义域； （2）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （3）若11
22
a -<<，试比较()()f a f a --与(2)(2)f a f a --的大小．
22．已知函数()f x =的定义域为集合A .
（1）若函数()()
22log 23g x x x =-+的定义域也为集合A ，()g x 的值域为B ，求
A B ；
（2）已知2
{1}1
a C x
x a +=>-+,若C A ⊆,求实数a 的取值范围. （本题满分14分）
23．（本小题满分14分） 已知函数1
()21
x
f x m =++，R m ∈． （1）若1
2
m =-
，求证：函数()f x 是R 上的奇函数； （2）若函数()f x 在区间(1,2)没有零点，求实数m 的取值范围．
24．(本小题满分14分)
本公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
25．已知1010()1010x x
x x
f x ---=+
（1）求证：()f x 是定义域内的增函数； （2）求函数()y f x =的值域。

26．某校高一（2）班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价
x （元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系.
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当120=a 时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；
（3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？
27．若函数h(x)满足 （1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）对任意[]0,1a ∈，有h(h(a))=a ； （3）在（0,1）上单调递减。

则称h(x)为补函数。

已知函数
(元/桶)
（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在[]0,1m ∈，使得h(m)=m ，若m 是函数h(x)的中介元，记
时h(x)的中介元为x n ，且，若对任意的n N +∈，都有S n <
1
2
,求λ的取值范围；
（3）当λ=0，()0,1x ∈时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x 的上方，求P 的取值范围。

【2012高考真题江西理22】 （本小题满分14分）
28．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（I ）求a 的值
（II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

(2011年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）
解析：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。

29．已知函数f(x)=
23x + 1
2
, h(x)=
．
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值； (Ⅱ)设a ∈R，解关于x 的方程log 4 [
33
(1)24
f x --]=1o
g 2 h(a-x)一log 2
h (4-x)； (Ⅲ)试比较100
1
(100)(100)()k f h h k =-∑与1
6的大小. (2011年高考四川卷理科22) (本小题共l4分)
30．已知函数2
1, 0,()21, 1
x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩满足2
9()8f c =
（1）求常数c 的值； （2
）解不等式()1f x >
+。