2017-2018学年人教A版高中数学必修二浙江专版学案：4-

4.1 圆的方程 4．1.1 圆的标准方程
[新知初探]
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2
＋y 2
＝r 2
，表示以原点为圆心、半径为r 的圆． 2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a( )
答案：(1)×(2)×
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：选A ∵m2＋25＞24，
∴点P在圆外．
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
[典例] 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． [解] [法一 待定系数法]
设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝r 2
，a －
2
＋b －2
＝r 2
，
2a ＋3b ＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝－3，
r ＝5.
∴圆的标准方程是(x －4)2
＋(y ＋3)2
＝25. [法二 几何法]
由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4，y ＝－3，
即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42
＋－2
＝5.
∴圆的标准方程是(x －4)2
＋(y ＋3)2
＝25.
[活学活用]
已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
解：法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.
因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋－b 2
＝r 2
，－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－3，
b ＝1，
r ＝5.
故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2
＝25.
法二：因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB
＝
－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长r ＝－3－
2
＋－
2
＝5，
故所求圆的标准方程是(x ＋3)2
＋(y －1)2
＝25.
[典例] 已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并判断点M 1(－1,0)，M 2(1，－1)，M 3(3，－4)与圆C 的位置关系．
[解] 因为圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4) ，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝－3－
2
＋－4－
2
＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2
＝25.
因为(－1＋3)2
＋(0＋4)2
＝20＜25，所以点M 1(－1,0)在圆C 内；因为(1＋3)2
＋(－1＋4)
2
＝25，所以点M 2(1，－1)在圆C 上；因为(3＋3)2
＋(－4＋4)2
＝36＞25，所以点M 3(3，－4)在圆C 外．
[活学活用]
已知M (2,0)，N (10,0)，P (11,3)，Q (6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M ，N ，P 三点确定的圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋b 2＝r 2
，
－a 2
＋b 2＝r 2
，－a
2
＋
－b
2
＝r 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝6，
b ＝3，
r 2＝25.
∴过点M ，N ，P 的圆的方程为(x －6)2
＋(y －3)2
＝25.
将点Q 的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2
＋(1－3)2
＝4＜25， ∴点Q 不在圆(x －6)2
＋(y －3)2
＝25上， ∴M ，N ，P ，Q 四点不共圆.
[典例] 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2
＝3.求y
x
的最大值和最小值． [解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x
＝k ，即y ＝kx ，
当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|
k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.
故y x
的最大值为3，最小值为－ 3. [一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． 解：设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，
当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |
2＝3，
即b ＝－2± 6.
故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－ 6.
2．[变设问]在本例条件下，求x 2
＋y 2
的最大值和最小值．
解：x 2
＋y 2
表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2
＋y 2
)max ＝(2＋3)2
＝7＋43，
(x 2
＋y 2
)min ＝(2－3)2
＝7－4 3.
层级一 学业水平达标
1．方程|x |－1＝1－
y －
2
所表示的曲线是( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
解析：选
D
由题意，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x |－2
＋y －
2
＝1，
|x |－1≥0，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
x －2
＋y －2
＝1，
x ≥1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2
＋y －2
＝1，
x ≤－1，
故原方程表示两个半圆．
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )
A ．(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13 B ．(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝13 C ．(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝52 D ．(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝52
解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13.
3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝29 B ．(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝29 C ．(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝116 D ．(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝116
解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝
1
2
＋
2
＋－1＋
2
＝
29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2
＝29.故选B.
4．已知直线l 过圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＋2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
解析：选D 圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.
5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2
＋(y －12)2
＝142
，则x 2
＋y 2
的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3
D. 2
解析：选B x 2
＋y 2
表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52
＋122
＝1.
6．若点P (－1，3)在圆x 2
＋y 2
＝m 2
上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2
＋y 2
＝m 2上， ∴(－1)2
＋(3)2
＝4＝m 2
， ∴m ＝±2. 答案：±2
7．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，
2x ＋y －8＝0，
可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝
－
2
＋－
2
＝25，故圆的标准方程为(x －2)2
＋(y －4)2
＝20.
答案：(x －2)2
＋(y －4)2
＝20
8．与圆(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________． 解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝＋
2
＋－3－
2
＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2
＝25.
答案：(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝25
9．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程． 解：设圆心为(a,0)， 则
a －
2
＋16＝
a －
2
＋9，所以a ＝－2.
半径r ＝
a －2
＋16＝5，
故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2
＝25.
10．求过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴，y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程． 解：设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.把点A ，B 的坐标代入，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
－1－a 2
＋－b 2
＝r 2
，
－a
2
＋－b
2
＝r 2
.
消去r 2
，得b ＝5a －5.①
令x ＝0，则(y －b )2
＝r 2
－a 2，y ＝b ±r 2
－a 2
， ∴在y 轴上的截距之和是2b .
令y ＝0，则(x －a )2
＝r 2
－b 2
，x ＝a ±r 2
－b 2
， ∴在x 轴上的截距之和是2a . ∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，∴b ＝5
6.
∴r 2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－562＝16918.
∴圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －562＝169
18
.
层级二 应试能力达标
1．点P (a,10)与圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外
D ．不确定
解析：选C ∵(a －1)2
＋(10－1)2
＝81＋(a －1)2
>2，∴点P 在圆外．
2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2
＋(y ＋b )2
＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2
＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P 是圆(x －3)2
＋(y ＋1)2
＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.因为
圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C 与圆(x －1)2
＋y 2
＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2
＋y 2
＝1
B ．x 2＋y 2
＝1
C ．x 2＋(y ＋1)2
＝1
D ．x 2＋(y －1)2
＝1
解析：选C 由已知圆(x －1)2
＋y 2
＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
b a －1－＝－1，
－a ＋12＝b
2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝－1.
所以圆C 的方程为x 2
＋(y ＋1)2＝1.
5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2
＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________________．
解析：圆(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1.
答案：(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1
6．已知圆O 的方程为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为
－
2
＋－
2
＋5＝5＋ 2.
答案：5＋ 2
7．已知圆C 的圆心为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)． (1)求圆C 的标准方程．
(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程． 解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x 0)2
＋(y －x 0)2
＝r 2
(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，
∴(4－x 0)2
＋(2－x 0)2
＝r 2
(r ≠0)． ∴r 2
＝2x 20－12x 0＋20.
∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2
＋(y －x 0)2
＝2x 2
0－12x 0＋20. (2)∵(x －x 0)2
＋(y －x 0)2
＝2x 2
0－12x 0＋20＝2(x 0－3)2
＋2， ∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小． 此时圆C 的标准方程为(x －3)2
＋(y －3)2
＝2.
8．已知圆C 1：(x ＋3)2
＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．
解：设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．
因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2
＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r
＝2，
所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧
n －1m ＋3＝47，
14×－3＋m 2＋8×1＋n
2
－31＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝4，
n ＝5.
所以圆C 2的方程为(x －4)2
＋(y －5)2
＝4.
4．1.2 圆的一般方程
[新知初探] 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当D 2
＋E 2
－4F ＞0时，二元二次方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2
，－E 2，半径
长为12
D 2＋
E 2
－4F .
[点睛] 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点：
(1)x 2
，y 2
项的系数均为1； (2)没有xy 项； (3)D 2
＋E 2
－4F ＞0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2
＋y 2
＋x ＋1＝0表示圆( )
(2)方程2x 2
＋2y 2
＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆( ) 答案：(1)× (2)√
2．圆x 2
＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)
D ．(2，－3)
解析：选D 圆x 2＋y 2
－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．
3．若方程x 2
＋y 2
＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则a 的取值范围是________________． 解析：若方程x 2
＋y 2
＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则2a 2
－4a ＞0，∴a 2
－2a ＞0，∴a ＜0或a ＞2.
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)
[典例] 若方程x 2
＋y 2
＋2mx －2y ＋m 2
＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知
D 2＋
E 2－4
F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，
即4m 2
＋4－4m 2
－20m ＞0， 解得m ＜1
5
，
故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.
(2)将方程x 2
＋y 2
＋2mx －2y ＋m 2
＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2
＋(y －1)2
＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .
[活学活用]
1．若方程x 2
＋y 2
＋2ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：法一：方程x 2
＋y 2
＋2ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0，即为(x ＋a )2
＋(y ＋a )2
＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.
法二：要使方程x 2
＋y 2
＋2ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2
＋(2a )2
－4(2a 2
＋
a －1)＞0，解得a ＜1.
答案：(－∞，1)
2．已知曲线C ：x 2
＋y 2
－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.
求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上． 证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， ∴D 2
＋E 2
－4F ＝16m 2
＋4m 2
－80m ＋80＝20(m －2)2
. 又m ≠2，∴(m －2)2
＞0，∴D 2
＋E 2
＋4F ＞0， 即曲线C 是一个圆．
设圆心坐标为(x ，y )，则由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2m ，
y ＝－m 消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0
上.
[的方程．
[解] [法一 待定系数法]
设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0， ②
令x ＝0，得y 2
＋Ey ＋F ＝0， ③
由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的两根． ∴(y 1－y 2)2
＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝E 2
－4F ＝48.
联立①②④解得，⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－2，
E ＝0，
F ＝－12
或⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－10，
E ＝－8，
F ＝4.
故所求方程为x 2
＋y 2
－2x －12＝0或x 2
＋y 2
－10x －8y ＋4＝0. [法二 几何法]
由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.
∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长r ＝|CP |＝
a －
2
＋a ＋2
. ①
由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |. ∴r 2
＝a 2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫4322，代入①并将两端平方得a 2
－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37.
故所求圆的方程为(x －1)2
＋y 2
＝13或(x －5)2
＋(y －4)2
＝37.
[活学活用]
求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程． 解：设所求圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2
，－E 2.
∵圆心在直线2x －y －3＝0上，
∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－E 2－3＝0.①
又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22
＋5D ＋2E ＋F ＝0. ② 32
＋(－2)2
＋3D －2E ＋F ＝0. ③
解①②③组成的方程组，得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的一般方程为x 2
＋y 2
－4x －2y －5＝0.
[典例] 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．
(1)求圆C 的方程；
(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹 方程．
[解] (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－12.
又k AB ＝－3，所以k m ＝1
3，
所以直线m 的方程为x －3y －3＝0. 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0
得圆心C (－3，－2)， 则半径r ＝|CA |＝－3－
2
＋－2－
2
＝5，
所以圆C 的方程为(x ＋3)2
＋(y ＋2)2
＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋5
2，y ＝y 0
＋0
2，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2x －5，
y 0＝2y .
又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2
＋(y ＋2)2
＝25上运动， 所以(x 0＋3)2
＋(y 0＋2)2
＝25， 即(2x －5＋3)2
＋(2y ＋2)2
＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2
＝254
.
即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2
＝254
.
用代入法求轨迹方程的一般步骤
[活学活用]
已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程． 解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，
则
A (－2,0)，
B (2,0)，设
C (x ，y )，BC 中点
D (x 0，y 0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0
.
①
∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 2
0＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2
＋y 2
＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.
综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝36(y ≠0)．
层级一 学业水平达标
1．圆x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(2，－3)
D ．(－2，－3)
解析：选C 将x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.
2．将圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.
3．方程x 2
＋y 2
＋2ax ＋2by ＋a 2
＋b 2
＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )
D ．点(－a ，－b )
解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2
＝0， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋a ＝0，
y ＋b ＝0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－a ，y ＝－b .
∴表示点(－a ，－b )．
4．如果方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )
A ．D ＝E
B ．D ＝F
C ．E ＝F
D ．D ＝
E ＝F
解析：选A 由D 2
＋E 2
－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2，－E 2在直线y ＝x
上，故D ＝E .
5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0
D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －y ＋1＝0，
x ＋1＝0得C (－1,2)．
∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2
＝5， 即x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0.
6．设A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．
解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点， 圆(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心为B (1,0)， 则|PA |2
＋1＝|PB |2
， ∴(x －1)2
＋y 2
＝2. 答案：(x －1)2
＋y 2
＝2
7．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．
解析：由x 2
＋y 2
－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，
y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2，
y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，
－3)．
答案：(2，－3)
8．圆C ：x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.
解析：圆C ：x 2＋y 2
－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直
线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝
|3×1＋4×2＋4|32＋4
2
＝15
5＝3. 答案：3
9．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2
＋m －1)．x 2
＋(m 2
－m ＋2)y 2
＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？
解：要使方程(2m 2
＋m －1)x 2
＋(m 2
－m ＋2)y 2
＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2
＋m －1＝m 2
－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，
所以m ＝－3或m ＝1.
①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2
＝－32
，不合题意，舍去；
②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2
＝114，表示以原点为圆心，以1414为半
径的圆．
综上，m ＝－3时满足题意．
10．点A (2,0)是圆x 2
＋y 2
＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．
∵点P 在圆x 2
＋y 2
＝4上，∴(2x －2)2
＋(2y )2
＝4， 故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2
＋y 2
＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2
＝|ON |2
＋|PN |2
＝|ON |2
＋|BN |2， ∴x 2
＋y 2
＋(x －1)2
＋(y －1)2
＝4，
故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2
＋y 2
－x －y －1＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知方程x 2
＋y 2
－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞
解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2
＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．
2．若圆C ：x 2
＋y 2
－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2
－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )
A ．2或1
B ．－2或－1
C ．2
D ．1
解析：选C ∵x 2
＋y 2
－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2
－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2
＋[2(m －1)]2
－4(2m 2
－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2
－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.
3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )
A ．x 2
＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2
＝16 C ．(x －1)2
＋y 2
＝16
D ．x 2
＋(y －1)2
＝16
解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －
2
＋y 2
＝2
x －
2
＋y 2，整理得x 2＋y 2
＝
16.
4．圆x 2
＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝1
24＋16＋12＝22，
∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22
＝ 2.
∴共有3个点．
5．已知圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.
答案：(－∞，1)
6．如果圆的方程为x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2
，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆
的方程可化为x 2
＋y 2
＋2y ＝0，即x 2
＋(y ＋1)2
＝1，圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2
＋y 2
＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，y
2，线
段MN 的中点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－32
，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，
故x 2＝x 0－32，y 2＝
y 0＋4
2
，从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.
又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2
＋(y －4)2
＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285
.
因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2
＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－215，285.
8．已知圆C ：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．
解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E
2－1＝0，即D ＋E ＝－2.
①
又∵半径长r ＝D 2＋E 2－12
2
＝2，
∴D 2
＋E 2
＝20.②
由①②可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
D ＝2，
E ＝－4或⎩
⎪⎨
⎪⎧
D ＝－4，
E ＝2.
又∵圆心在第二象限，∴－D
2
＜0，即D ＞0. 则⎩
⎪⎨
⎪⎧
D ＝2，
E ＝－4.
故圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0.。