四川省富顺县第三中学高二数学 3.1.1空间向量及其运算学案

四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.11空间向量及其运算
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点难点】
重点会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；难点能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【导学过程】
一、自主学习（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本概念：
具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；
叫零向量，记作；
叫单位向量. 叫相反向量a的相反向量记作 . 叫相等向量.
向量的表示方法有，，和共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与a；
当λ＜0时，λa与a；
当λ＝0时，λa＝.
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、小组合作
探究任务一：空间向量的相关概念
问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算：
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如下图中，OB=，AB=，
班级 小组 姓名 试试：1.
分别用平行四边形法则和三角形法则求
.
2. 点C 在线段AB 上，且5
2
AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 三、知识整合
例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
AB BC +⑴；
'AB AD AA ++⑵；1
'2
AB AD CC ++⑶
1
(')2AB AD AA ++⑷．
变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'
',AC
BD 和'DB .
,.
a b a b +-a b
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：
⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.
变式：化简下列各式： （1）OA OC BO CO +++; （2） AB AD DC --;
（3） NQ QP MN MP ++-.
小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B +;
⑵ 111111
22
A B A D +;
⑶ 1111111
22
AA A B A D ++
⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.
四、课堂训练
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.
2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简''''
'AA AB AD
++= 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. 00a b =
B. 00a b =或00a b =-
C. 01a =
D. ∣0a ∣=∣0b ∣
4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
五、课外拓展训练
1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB
2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）
A. 11
22a b c -++
B. 11
22a b c ++
C. 11
22a b c -+
D. 11
22a b c --+。