四川省成都七中高三数学下学期二诊模拟考试试题 理 旧人教版

数学试题（理）
一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1、复数i i
Z +=
12的虚部是 （ ） 1.
1
.
.
.--D C i
B i
A
2、若函数()log 2
a
y x -ax+2=在区间]1,(-∞上为减函数，则a 的取值范围是（ ） )3,1.()3,2.[),2.[)1,0.(D C B A +∞
3、在ABC ∆中，10
10
3cos ,21tan =
=
B A ，则=
C tan （ ） 2.
3
.
1
.
1.--D C B A
4、已知C B A ,,三点在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥ABC O -为正四面体，那么B A ,两点间的球面距离为 （ ）
π
ππ
π
.3
2
.
2
.
3
.
D C B A
5、已知点O 是边长为1的等边ABC ∆的中心，则=+⋅+)()( （ ）
6
1.6
1.
9
1.9
1.
-
-
D C B A
6、以)(x ϕ表示标准正态总体在区间),(x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布
),(2σμN ，则概率=<-)|(|σμξP （ ）
)
(2.)
1(.)
1()1(.)()(.δμϕσ
μϕϕϕσμϕσμϕ+-----+D C B A 7、已知数列}{n a 满足21=a 且1122--+=+n n n n a a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则
=+)
2(2
2012log S ( )
2010.2011.2012.
2013.
D C B A
8、若抛物线)0(22
>=p px y 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 有相同的焦点下，点A 是
两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间
可能是 （ ）
)
2
,3(.)
3
,4(.)4,6(.)4
,0(.π
ππ
ππππD C B A
9、b a ,为正实数，且11
1=+b
a ，则a
b b 22+的最大值为 （ ）
4
3.
165.169.21.D C B A
10、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件， 对任意的R x ∈都有
)()4(x f x f =+；②对任意的2021≤<≤x x ，都有)()(21x f x f <;③)2(+=x f y 的图
像关于y 轴对称。

则)7(),5.6(),5.4(f f f 的大小关系为 （ ）
)
5.4()7()5.6(.)5.6()5.4()7(.)
7()5.6()5.4(.)5.6()7()5.4(.f f f D f f f C f f f B f f f A <<<<<<<<
11、双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的渐近线与抛物线12
+=x y 相切，则该双曲线的离心
率为 （ ）
6
.5.2.3.D C B A
12、用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则
符合条件的所有涂法共有（ ）种
108.72.36.18.D C B A
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)
13、已知y x ,满足条件k k y x x y x ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤++≤≥020为常数，若y x z 3+=得最大值为8，则=k 。

14、直径为3的球的内接正四面体的体积= 。

15、若点O 和点F 分别为椭圆13
42
2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则FP OP ⋅的最大值为 。

16、设集合R A ⊆，集合A 中的任意元素满足运算“⊕”，且运算“⊕”具有 如下性质，对任意的A c b a ∈,,，（1）A b a ∈⊕；（2）0=⊕a a ；
（3）c c b c a c b a +⊕+⊕=⊕⊕)(；给出下列命题：
A ∈0；②若A ∈1则01)11(=⊕⊕；③若A a ∈且a a =⊕0则0=a 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题(共6题，17题~21题每题12分，22题14分，共74分)
17、在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知,2ac b =且bc ac c a -=-2
2
（1）求A ∠的大小； （2）设)0)(sin()2
cos()(>+-
=ωωωx A
x x f 且)(x f 的最小正周期为π，求)(x f 在]2
,0[π
的最大值。

18、甲、乙两名运动员一次试跳2米成功的概率分别为0.7,0.6且每次试跳成功与否相互之间没有影响。

求：（1）甲试跳3次，第3次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一个成功的概率；
（3）甲、乙两人各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。

19、在直三棱柱中，D AC BC AB AA ,2,31====是AC 中点. （1）求证：BD A //11平面C B ； （2）求点1B 到平面BD A 1的距离； （3）求二面角11B DB A --的余弦值。

20、已知函数)0()1(2
1ln )(2
>+-+=x x a x x a x f ， （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若0)(≥x f 在),0(+∞内恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）,*
N n ∈求证：
1
)1ln(13ln 12ln 1+>++++n n n 。

21、已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左，右焦点分别为1F 和2F ，且
2||21=F F ，点)2
3
,1(在该椭圆上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7
2
12，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

22、数列{}n b 满足12,111+==+n n b b b ，若数列{}n a 满足)111(
,11
211-++==n n n b b b b a a ),2(*N n n ∈≥
（1）求432,,b b b 及n b ； （2）证明
),2(1*1
1N n n b b a a n n
n n ∈≥=+++； （3）求证：)(3
10
)11()11)(11(*21N n a a a n ∈<+++ 。

成都七中高2012级二诊模拟试题参考答案
一、选择题 1、理 C ∴+=-+-=
1
)
1)(1()
1(2i i i i i Z 虚部为1；
文 C }42|{}41|{<<=∴<<=x x B A x x B 。

2、 C 当2=a 时，2
222log +-=x x y 在]1,(-∞上为减函数，排除A ；
当4=a 时，2
442log +-=x x y 在]1,(-∞上为减函数，但242
+-x x 不恒大于0，
排除B ；
当23=a 时，2
232
32log +-=x x y 在]1,(-∞上不为减函数。

3、 A 1)tan(tan 3
1
tan ,1010sin -=+-=∴==
B A
C B B 。

4、 D ABC O -为正四面体，∴=
∠∴3
π
AOB 所求距离为
ππ
=⋅33。

5、 D ,3
3
2332||||||=++=⋅=
==
6
1
120cos )33()()()()(2-==-⋅-=+⋅+∴ OB OC OC OA OB OA 6、理 B
)1()1()()(
)()()|(|--=----+=--+=<-ϕϕδ
μ
δμϕδμμδϕσμμδσμξP P P 文 A ∴=-='==1
|)23(|12
1x x x y 切线方程为1-=x y
7、理 A 由1122--+=+n n n n a a 得)2(21
1----=-n n n n a a ，而21=a
0)2()2(211201*********
2012=--==--=-∴a a a ，即n n a 2=
2013log 2
22
1)21(22
22)
2(2
201320122012
220122012=∴-=--=++=∴+S S
文 C 设公比为q ，由题设31244a a a +=，0444422
111=+-∴+=∴q q q a a q a
151)
1(2
414=--=∴=∴q
q a S q
8、理D ),2(,2),0,2(P P A P C P F =由2
22b a c +=及2224b a P +=，又1422
22
=-b
p a p 即0
44)(1)(422
2
222
2
2222=--∴=+-+a
b b a b b a a b a ，令0>=a b t ，则 22204424+=∴=--t t t ，设倾斜角为θ，则
)2
,3(3222tan π
πθθ∈∴>+==
a
b。

文A )0,2(),0,1(B F ，设)3,34(),,2(A A y G y A ，则1,1)3
(2)34(22
±=∴=+A A y y
2||)1,2(=∴±∴AF A
9、 B
16
9
)431(23)1()11(1212112222+--=+-=-+=+=+a a a a a a a ab ab b 当4
1
1,431==b a 时，取最大值169。

10、 A 对②对任意的2021≤<≤x x ，都有)()(21x f x f <说明)(x f 在[]2,0 单增，对 由周期为4，对③∴+=+-)2()2(x f x f 对称轴方程为2=x )5.0()5.4()5.1()5.2()5.6()
1()3()7(f f f f f f f f =====∴
11、C 设切点),(00y x P ，则切线的斜率为02x ，由题意2
000
022x y x x y =⇒= 又
5)(1,21
211
202
202
00=+==∴
=∴=+∴+=a
b
e a b x x x x y 12、D 解：标号为“3,5,7”三条相同颜色有1
3C 种涂法，当“3,5,7”涂
好后，“2,4,1”有两类涂法，一类“2,4”同色有1
2C 种。

此时“1”
有12C 种，共有12C 1
2C =4种涂法；
另一类“2,4”不同色有2
2A 种，此时“1”只有1种，共2种涂法， ∴“2,4,1”共有6种涂法，同理“6,8,9”也有6种涂法， ∴总共有108663=⨯⨯种涂法。

13、填空题
（3）理 -6 由可行域知，目标函数Z 的最大值在x y =与02=++k y x 的交点处 取得，联立方程可得交点为
683
4
3)3,3(-=∴=-=--=∴--k k k k Z k k
文 -9 画出满足不等式组的可行域可知 9623min -=⨯-=Z
14、3
1 将该正四面体放置于一个棱长为a 的正方体中，则它们有相同的外接球 ，
3
1
4)1112131(1111
,33=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=∴==∴V a a
15、6 )0,1(-F ，设),(00y x P ，则)4
1(31342
02
02
02
0y y y x -=∴=+
2
0000000)1()
,(),,1(y x x y x y x ++=⋅∴=+=
=2)2(4
1341)41(3)1(2
00202
000++=++=-++x x x x x x
22200=∴≤≤-x x 时，⋅有最大值6
16、①③ ∴⊕⊕=c b a 0 正确
∴=++=+⊕+⊕=⊕⊕∴+⊕+⊕=⊕⊕1100111111)11(c c b c a c b a ②错
在c c b c a c b a +⊕+⊕=⊕⊕)(中先取a c b ==得
a a a a a a a +⊕+⊕=⊕⊕1)(
a a =⊕∴0又取a c
b ==,0得00)0(=⊕+⊕+⊕=⊕⊕a a a a a a a a ， a a a a -=⊕∴=⊕00 故0=∴-=a a a ③正确
二、解答题
17、（1）bc a c b bc b c a bc
ac c a ac b =-+∴-=-∴-=-=2222222
2
2
,
3
02
1
22cos 222π
π=
∴<<==-+=
∴A x bc bc bc a c b A 又
3
)(,6
]67,6[62]
2
,0[)62sin(3)(22)6sin(3sin 23
cos 23sin sin 21cos 23sin )6cos()()2(max ==∴∈+∈+=∴=∴=+=+=++=+-=x f x x x x x f x x
x x x x x x x f 时π
ππππ
πωπωππωωωωωωωπω 18、解：设“甲第i 次试跳才成功”为事件i A “乙第i 次试跳成功”为事件i B ，
由题意得,6.0)(,7.0)(==i i B P A P 且i i B A ,相互独立（3,2,1=i ）
（1）“甲第3次试跳才成功”为事件321A A A ，063.07.03.03.0)(321=⋅⋅=∴A A A P 即第3次才成功的概率为0.063 （2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ， 88.04.03.01)()(1)(11=⨯-=-=B P A P C P （3）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件)2,1,0(=i M i “乙在两次试跳中成功j 次”为事件)2,1,0(=j N j 甲比乙成功的次数恰好多一次为事件D 则
3024
.04.06.07.04.03.07.0)()()()()()()()(12
2
2
12
120112011201=⨯⨯⨯+⨯⨯⋅=+=+=+=C C N P M P N P M P N M P N M P N M N M P D P
所求概率为0.3024
19、解：取11C A 中点F ，D 为AC 中点，
则ABC 平面⊥DF ，又BC
AB =AC BD ⊥∴
两两垂直关系如图DB DC DF ,,∴
则)3,0,1()0,22,0()
0,0,1(1-A B C )3,22,0()
0,0,0()
0,0,1(1B D A -
设平面BD A 1的一个法向量为),,(111z y x m =
)3,0,1()3,22,1(11-=-=A A
⎩
⎨
⎧=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴030322001111111z x z y x D A m B A m 又令 )3,22,1()
1,0,3(0
,1,311--==∴===B y z x 又则
B B ⊥∴=-⨯+-⨯+⨯=⋅∴110
)3(1)22(013//1C B ∴平面BD A 1
（2）)3,0,0(1-=B 设1B 到平面BD A 1的距离为d ，则
10103103==
=
d ∴1B 到平面BD A 1的距离为10
103
设平面1DBB 的一个法向量为),,(222z y x =， )3,22,0()
0,22,0(1==DB DB
则⎩⎨
⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
3220
2200222z y y 取0,1222===z y x ，则)0,0,1(= 设二面角11B DB A --为θ 则∴=
=
10
10
3|
|||cos n m θ所求二面角的余弦值为
10
10
3。

19、[理]解：x
a x x x a x a x x f )
)(1()1()(2--=++-='
（1）当0≤a 时，)(x f 在)1,0(递减，在),1(+∞递增；
当10<<a 时，)(x f 在)1,(a 递减，在),1(),,0(+∞a 递增； 当1=a 时，)(x f 在),0(+∞递增；
当1>a 时，)(x f 在递增递减，在),(),1,0(),1(+∞a a 。

（2）a f --
=2
1
)1( 当0>a 时，0)1(<f ，此时0)(≥x f 不成立。

当0≤a 时，由（1）)(x f 在（0,+∞）上的最小值为02
1
)1(≥--=a f
]2
1
,(21--∞∈∴-≤⇒a a 。

由（2）知21-
=a 时，02
1
21ln 21)(2≥-+-=x x x x f 即x
x x x x x x x x x x x 1
11)1(11ln 11)1(ln 22
--=-=->>∴=-≤时
当取等号 令n x ,3,2=则有
1
111)1ln(131213ln 1;2112ln 1+=+->+->->n n n n n [文]解：（1）)2(363)(2
-=-='ax x x ax x f ，2=x 是函数)(x f y =的极值点
10)2(60)2(=∴=-='∴a a f 即 经验证 当1=a 时 2=x 是函数)(x f y =的极值点。

(2)由（1）知)2(3)3(633)(2
2
2
3
+-+=-+-=x x x ax x ax x ax x g 当]2,0[)(在x g 上的最大值为)0(g 时，)2()0(g g ≥
即24200-≥a 解得56≤
a 当5
6
≤a 时，对任意)2(3)3(5
6)(],2,0[2
+-+≤
∈x x x x x g x 0)2)(52(5
3)102(532≤-+=-+=x x x
x x x 而0)0(=g 故)(x g 在]2,0[上的最大值为)0(g ，综上所述 ]5
6
,(-∞∈a 。

20、（1）设所求椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x 由题意得)0,1(),0,1(21F F -
又)23
,1(在椭圆上，1,24
)2
3
()11()23()11(22222==∴=+-+++=
∴c a a
所求方程为13
42
2=+y x （4）①当l 与x 轴垂直时，3)
2
3,1(),23
,1(2=---∆B AF S B A （舍去）
②设l 方程为)1(+=x k y 代入13
42
2=+y x 得 01248)43(2
2
2
2
=-+++k x k x k ，设),(),(2211y x B y x A
2
22122212
4312
4438,0,043k k x x k k x x k +-=+-=+>∆>+
又2
2222242212212)43()43)(124()43(6414)(1||k k k k k k x x x x k AB ++--++=-++= 22222
43112431121k k k k k ++=+++=又圆2F 的半径2
212101k k k k
k r +=++-⨯=7212431121243)1(122121222222=++=+⋅++==∴∆k k k
k k k r AB S B AF 21,101817224=∴±==∴=-+⇒r k k k k 故圆2F 的方程为2)1(22=+-y x
22、解;(1)12}1{)1(2115,7,31432-=∴+∴+=+===+n n n n n b b b b b b b 为等比数列 (2) 121111-+++=n n n b b b b a ① n
n n b b b b a 1112111+++=++ ② ②-①得),2(111*1
11111N n n b b a a b a b a b b a b a n n n n n n n n n n n n n ∈≥=+∴+=⇒=-++++++ （3）由（1）知 121311111)111(23232111111)11()11)(11(21211121143321132211221121-+++=++++++=⋅=
⋅⋅=⋅++⋅+=
++⋅+=+++
++++++n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b a b b a b b b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a
当2≥k 时 )1
21121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k )]121121()121121()121121[(2112131114332---+---+---+<-+++∴+n n n 3
512235)12131(2111<--=--+=++n n )(310)11()11)(11(*21N n a a a n ∈<+++
∴。