湖北省宜昌市示范学校协作体2017-2018年高二上学期期

宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考
高二（文科）数学
（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）
1．直线012=++y x 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A ．1,2==b k B ．1,2-=-=b k C ．1,2=-=b k D ．1,2-==b k
2.已知α//a ，α⊂b ，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 相交或异面
C. 异面
D. 平行或异面
3．已知直线0343=-+y x 与直线0146=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ） A ．1017
B ．5
17 C ．8 D ．2
4. 原点O 和点)1,1(P 在直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0<a 或2>a B ．0=a 或2=a
C ．20<<a
D ．20≤≤a
5.已知直线方程为034)21()2(=-+-++m y m x m ，则这条直线恒过定点（ ） A. )4,2(---m m B. )2,1(-- C.)1,5( D.)4,2(+m m
6.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
7.圆221:()(2)9C x m y -++=与圆222:(1)()4C x y m ++-=相内切，则m 的值为（ ） A.2-
B.1-
C.2-或1-
D. 2或1
8. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是（ ） A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥ B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥ C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m n D ．若,,m n m αβα
β⊥=⊥，则n β⊥
9.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是（ ）
A. 1
B. 12
+
C. 1+
D.2
10. 已知圆锥的母线长为cm 4，圆锥的底面半径为cm 1，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ,则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ） A.4 B. 24
C.π2
D. π
11.已知)0,3(M 是圆010282
2
=+--+y x y x 内一点，过M 点的最长弦和最短弦所在直线方程分（ ）
A ．03=--y x ，03=-+y x
B ．03=--y x ，03=--y x
C ．03=-+y x ，03=--y x
D ．03=-+y x ，03=--y x
12. 若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线0234=--y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(4,5)
D ．(4,5]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上） 13.某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是 。

14.已知圆1C :08822
2
=-+++y x y x ，圆2C :02442
2
=---+y x y x ，则圆1C 与圆
2C 的公共弦所在直线方程为 。

15. 求过点)2,1(P ，且在两轴上的截距相等的直线方程 。

16．在正四面体BCD A -中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值 。

三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）
如图，在平行四边形OABC 中，点(1,3)C ，(3,0)A 。

（Ⅰ）求OC 所在直线的方程；
（Ⅱ）过点C 作CD AB ⊥于点D ，求CD 所在直线的方程及D 点坐标。

x
y O
C
B
A
D
18. （本题满分12分）
已知圆C 的圆心坐标)1,1(，直线l ：1=+y x 被圆C 截得弦长为2。

（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）从圆C 外一点)3,2(P 向圆引切线，求切线方程。

19．（本题满分12分）
如图，在ABC ∆中，0
60=∠ABC ，0
90=∠BAC ，AD 是BC 边上的高，沿AD 把ABD ∆折起，使0
90=∠BDC 。

（Ⅰ）证明：平面⊥ADB 平面BDC ；
（Ⅱ）E 为BC 的中点，求AE 与底面BCD 所成角的正切值。

A
D
C
B
A D C
B
E
20.（本题满分12分）
若y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+0530103y x y x y x ，求：
（Ⅰ）y x z +=2的最小值；（Ⅱ）x
x
y z +=的最大值；（Ⅲ）22y x +的的最小值。

21．（本题满分12分）
如图，三棱锥BPC A -中，PC AP ⊥,BC AC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB
∆为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面APC ；
（Ⅲ）若4=BC ,10=AB ，求三棱锥BCM D -的体积。

22．（本题满分12分）
已知方程0422
2
=+--+m y x y x
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围？
（Ⅱ）当m 变化时，是否存在这样的圆：与直线042=-+y x 相交于N M ,两点，且
ON OM ⊥（O 为坐标原点），如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由；
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考
高二（文科）数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 3 14、012=-+y x 15、02=-y x 和03=-+y x 16、6
3
三．解答题(本大题共6小题，共75分） 17.解：（Ⅰ）3=OC k ，………………………2分
则直线OC ：x y 3=………………………4分
（2）OC AB // ,CD OC ⊥∴,则3
1-
=CD k 由点斜式，得：)1(3
13--=-x y
即直线CD ：0103=-+y x ………………………6分
而直线AB :093=--y x ………………………8分
解方程组得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==1021
10
37y x ，则点)1021,1037(D ………………………10分
18. 解：（Ⅰ）设圆C 的标准方程为：222)1()1(r y x =-+-)0(>r 圆心)1,1(C 到直线01=-+y x 的距离：2
2
2
|
111|=
-+=
d ，………………………2分 则12
1
21)22(
22
2=+=+=d r ∴圆C 的标准方程：1)1()1(22=-+-y x ………………………5分
（Ⅱ）①当切线斜率不存在时，设切线：2=x ，此时满足直线与圆相切。

…………………6分
②当切线斜率存在时，设切线：)2(3-=-x k y ，即32+-=k kx y 则圆心)1,1(C 到直线032=+--k y kx 的距离：11
|
321|2
=++--=k k k d (8)
分
解得：34=k ，即4
3
=
k 则切线方程为：0643=+-y x …………………11分 综上，切线方程为：2=x 和0643=+-y x …………………12分 19. 证明：
（Ⅰ）由ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，得
A
D
C
E
A
D
C
B
BD AD ⊥,CD AD ⊥
⊂CD BD ,平面BDC , ⇒⊥AD 平面BDC D CD BD = 又⊂AD 平面ADB
………
………………6分 其它证明方法略
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥AD 平面BDC
∴DE 是AE 在平面BCD 的射影，∴AED ∠是AE 与底面BCD 所成角
连接DE ,令a BD =，则a AD 3=
，a AB 2=，a CD 3=,2
10a
DE =
，
在ADE RT ∆中，530
2
103tan =
==
∠a
a DE AD AED ………………………12分
20. 可行域：
)2,1(A
01=+-y x
)4,3(C
)1,2(B
03=-+y x
053=--y x
⇒平面⊥ADB 平面BDC
20.解：如图，做出可行域：ABC ∆内边界及区域。

………………………4分
（Ⅰ）目标函数y x z +=2，表示直线l ：z x y +-=2，z 表示该直线的纵截距。

当l 过点)2,1(A 时，纵截距有最小值，故
4min =z ………………………6分
（Ⅱ）目标函数1+=+=
x y x x y z ，记x
y
k PO =，其中),(y x P 为可行域中的点，)0,0(O 则当l 过点)2,1(A 时,斜率PO k 最大，
2max =k ，故
312min =+=z ………………………10分
（Ⅲ）目标函数2
2
y x z +=表示可行域内的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离的平方。

又原点)0,0(O 到直线AB ：03=-+y x 的距离2
2
33
2=
=
d ， ∴即2
9
min =
z ………………………12分 21. 解：
（Ⅰ）∵M 为AB ，D 为PB 中点，
∴AP DM //, 而⊄DM 平面APC ，⊂AP 平面APC ∴//DM 平面APC ……………3分
（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点。

∴MD ⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB
又已知AP ⊥PC
⊂PC PB ,平面PBC ,P PC PB =
∴AP ⊥平面PBC ，
∴AP ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC , ⊂AC AP ,平面PBC ,A AC AP =
∴BC ⊥平面APC ， ……………8分
（Ⅲ）∵AB=10 ∴MB=5 ∴PB=5 又BC=4，31625=-=PC
∴3434
1
4121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC 又MD 2
3
5510212122=
-==
AP 而⊥DM 平面BCD
∴==--BCD M BCM D V V 2
3
523533131=
⨯⨯=⋅∆DM S BCD ………………12分
22. 解：（Ⅰ）原方程可化为：m y x -=-+-5)2()1(22
此方程表示圆，05>-∴m ，解得：5<m ………………………3分
（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N
则1124y x -=，2224y x -=
ON OM ⊥,02121=+∴y y x x
05)(8162121=++-∴y y y y ①………………………6分
由⎩⎨⎧=+--+=-+0
420422
2m y x y x y x 得081652
=++-m y y ………………………8分 由0)8(20162
>+-=∆m 解得5
24
<
m ………………………10分 51621=
+∴y y ，5821m y y += 代入①得58=m ，满足524<m ，即存在满足条件的圆，且58
=m ………………………12分。