山西省朔州市应县一中2013-2014学年高二数学第六次月考试题 理 新人教A版

山西省朔州市应县一中2013-2014学年高二数学第六次月考试题 理
新人教A 版
时间：120分钟 满分：150分 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题: （本大题共12小题 ，每小题5分 ，共60分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数z=3-4i, ,则
Z
= （ ）
A ．3
B ．4
C ．1
D ．5
2、 如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S 值为 A ．3- B ．2 C ．12-
D ．13
3
．
用
数
学
归
纳
法
证
明
不
等
式
“)
2(241321......2111>>+++++n n n n
”时的过程中，由k n =到
1+=k n 时，不等式的左边（ ）
A.增加了一项
)1(21
+k
B.增加了两项
)1(21
121++
+k k
C.增加了两项
)1(21121++
+k k ，又减少了11+k ；
D.增加了一项
)1(21+k ，又减少了一项11
+k ；
4. 设)(x f '是函数)(x f 的导函数,
)(x f y '=的图象如右图所示，则)
(x f y =的图象最有可能的是( )
5. 求曲线
2
1y x =-与直线x=0,x=2和x 轴所围成的封闭图形的面积，其中正确的
O 1 2 x y x y
y
O
1 2
y O
1 2 x
O 1 2 x
是（）
A．
2
2
(1)
S x dx
=-
⎰
B．
2
2
(1)
S x dx
=-
⎰
C．
2
2
1
S x dx
=-
⎰
D．
12
22
01
(1)(1)
S x dx x dx
=---
⎰⎰
6、设m
i
m
m
m)1
(
2
R2
2-
+
-
+
∈，
是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=（）
A．1或-2 B．-2 C．-1或2 D． 1
7．若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=
的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，
则FP
OP•的取值范围为（）
.A []
2,6.B[]
2,6
-
.C
[]
0,3
.D
[]
2,8
8. 设
,,(,0),
a b c∈-∞
则
111
,,
a b c
b c a
+++
（）
A．都不大于2- B．都不小于2-
C．至少有一个不大于2- D．至少有一个不小于2-
9、若函数
()
f x
满足
)
(x
f'
=-3，则
()()
00
3
lim
h
f x h f x h
h
→
+--
=
( )
A．-3 B．-6 C．-9 D．-12
10．对于函数
2
33
)
(x
x
x
f-
=
，给出下列四个命题：①
)
(x
f是增函数，无极值；②)
(x
f
是减函数，有极值；③
)
(x
f在区间]0,
(-∞及)
,2[+∞上是增函数；
④
)
(x
f有极大值为0，极小值4
-；其中正确命题的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
11、右图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是( )
A. 20+3π
B. 24+3π
C. 20+4π
D. 24+4π
12、给出定义：若函数
()
f x在D上可导，即()
f x
'
存在，且导函数
()
f x
'
在D上也可
导，则称
()
f x在D上存在二阶导函数，记()(())
f x f x
''''
=
，若
()
f x
''>
0在D上恒
成立，则称()f x 在D 上为凹函数，以下四个函数在
(0,)
2π
上是凹函数的是 ( ) A .
()sin cos f x x x =+ B .()ln 2f x x x =-
C .
3()21f x x x =-++ D .f(x)=x
xe
--
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若曲线
1sin )(+⋅=x x x f 在
2π
=
x 处的切线与直线0
12=++y ax 互相垂直，则实数a 等于_________
14. 求函数y=x3-3x2+x 的图象上过原点的切线方程___________ 15、用火柴棒按下图的方
法
搭
三
角
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n
a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是
16、若曲线
ax ax x x f 22)(23+-=上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则
实数a 的取值范围是 .
三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17、（本小题10分）设()2x
x
a a
f x -+=
，
()2x x
a a g x --=（其中0a >，
且1a ≠）． （1）5
23=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． （本题12分）
已知数列,
1071
,741,411⨯⨯⨯…,,)13)(23(1+-n n …,计算
S1,S2,S3,S4,根
据计算结果，猜想Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

19、（本题12分）已知函数f(x)=ax3-23
x2+b (
x R ∈)
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8，求a,b 的值；
（Ⅱ）若a>0,b=2求当
]1,1[-∈x 时，函数y=f(x)的最小值。

20、（本题12分）已知函数f(x) =
c
bx
ax
x+
+
+2
3
在x=-1与x=2处都取得极值
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+2
3
c＜c2恒成立，求c的取值范围．
21、（本题满分12分）
如图，S(1，1)是抛物线为
22(0)
y px p
=>
上的一点，弦SC、SD分别交x轴于A、B
两点，且SA=SB。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；
（2）延长DC交x轴于点E，若
1
||||
3
EC DE
=
，
求cos2CSD
∠
的值。

22、（本题满分12分）
已知函数
432
()2
f x x ax x b
=+++
（
x R
∈
），其中
R
b
a∈
,
．
（Ⅰ）若函数
()
f x
仅在
x=
处有极值，求
a
的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意的
[2,2]
a∈-
，不等式
()1
f x≤
在
[1,1]
-
上恒成立，求
b
的取值
范围．
（2）假设当n=k(k *
∈N )时猜想成立，即
()()131323110
71741411+=
+-++⨯+⨯+⨯k k k k 那么，
()()]1)1(3][2)1(3[1
1323110
71741411++-++
+-++⨯+⨯+⨯k k k k =
)43)(13(113++++k k k k =)43)(13(1
432++++k k k k =)43)(13()1)(13(++++k k k k =1)1(31+++k k
所以，当n=k+1时猜想也成立。

根据（1）和（2），可知猜想对任何n *∈N 都成立。

19、解（1）
)(x f '=3ax2-3x,6)2(='f 得a=1
由切线方程为y=6x-8 得f(2)=4;
又f(2)=8a-6+b=b+2, 所以b=2, 所以a=1,b=2.
(2) f(x)=ax3-23
x2+2则
)(x f '=3ax2-3x=3x (ax-1),令)(x f
'=0，得x=0或x=a 1
分以下两种情况讨论：
①若1
1>a
即0<a<1，当x 变化时，)(x f '，f(x)的变化情况如下表
f(-1)=-a-23+2,f(1)=a-23
+2,所以 f(x)min=f(-1)=21
-a
②若,111
0><<
a a 即当x 变化时，
)(x f '，f(x)的变化情况如下表
x
(-1,0) 0 (0,a 1)
a 1
（a 1
，1）
)(x f '
+ 0 - 0 + f(x)
极大值
极小值
f(-1)=21-a,f(a 1)=2-2
21
a
而f(a 1)-f(-1)=2-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 21212
=021232>-+a a
所以f(x) min=f(-1)=a
-21 综合①②，f(x)min=f(-1)=a -21
2
22、（12分）(1)f′(x)＝x(4x2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x2＋3ax ＋4＝0的根. 为使f(x)仅在x ＝0处有极值， 必须4x2＋3ax ＋4≥0， 即有Δ＝9a2－64≤0. 解此不等式，得－83≤a≤8
3
.
这时，f(0)＝b 是唯一极值.因此满足条件的a 的取值范围是. －83≤a≤8
3.
(2)由条件[2,2]a ∈-，可知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax ＋4＞0恒成立.
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.
因此函数f(x)在上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者.
为使对任意的
[2,2]
a∈-，不等式f(x)≤1在上恒成立，当且仅当
1,
()
1
1
),
(1
f
f
⎧
⎨
-
⎩
≤
≤
即
2
,
2
b a
a
b
--
-+
⎧
⎨
⎩
≤
≤
在
[2,2]
a∈-上恒成立.
所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].。