高考数学中抽象函数的解法

函数 y f ( x) 的图象关于点 (a b ,0) 成中心对称图形。 2
（ 3）设 a, b 均为常数，函数 y f (x) 对一切实数 x 都满足 f (a x) f (b x) 函
数y
f (x) 的图象关于轴 x
ab 对称。
2
4
例 14：如果 f ( x) = ax 2 bx c 对任意的 t 有 f (2 t ) f 2 t ) , 比较
所以 f ( x2 ) f ( x1 (x2 x1)] f (x1) f (x2 x1) f ( x1 )
所以 y f ( x) 在 R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）
九、周期问题
命题 1：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函 数 y=f(x) 是周期函数 .
函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= － f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
1 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f ( x ) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
下面来证明，对任意 x R, f ( x) 0 设存在 x0 R ，使得 f ( x0 ) 0 ，则 f (0) f (x0 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0 这与上面已证的 f (0) 0矛盾，因此，对任意 x R, f ( x) 0 所以 f ( x) 0 评析：在处理抽象函数的问题时， 往往需要对某些变量进行适当的赋值， 般向特殊转化的必要手段。
例 9.
已知函数
f ( x) 的定义域是 [
1,2] ，求函数
f
[log(3 1来自x) ] 的定义域。2
解： f (x) 的定义域是 [ 1,2] ，意思是凡被 f 作用的对象都在 [ 1, 2] 中，由此可得
所以函数
f
[log
(3 1
2
x) ] 的定义域是
11 [1, ]
。
4
评析：这类问题的一般形式是：已知函数
f ( x) 的定义域是 A ，求函数 f ( ( x)) 的
定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。 这类问题 实质上相当于已知 ( x) 的值域 A ，据此求 x 的取值范围。 例 2 和例 1 形式上正相
反。
四、值域问题
例 10. 设函数 f (x) 定义于实数集上，对于任意实数 x , y ， f ( x y) f ( x) f ( y) 总 成立，且存在 x1 x2 ，使得 f ( x1) f ( x2 ) ，求函数 f (x) 的值域。 解：令 x y 0 ，得 f (0) [ f (0)] 2 ，即有 f (0) 0 或 f (0) 1。 若 f (0) 0，则 f (x) f (x 0) f ( x) f (0) 0 ，对任意 x R均成立， 这与存在实 数 x1 x2 ，使得 f (x1) f ( x2) 成立矛盾，故 f (0) 0 ，必有 f (0) 1 。 由于 f ( x y) f (x) f ( y) 对任意 x , y 均成立，因此，对任意 x R，有
1 例 6. 已知 f ( x)+2 f ( ) x 1，求 f ( x) 的表达式
x
解：用
1
代替
x 得到
1 f ( )+2
f ( x)
1 1
（1）
x
x
x
1 又 f ( x)+2 f ( ) x 1 （ 2）
x
2
2 x1
2 （ 1） - （ 2）得到 3 f (x)
x 1 ，于是 f (x)
x
3x 3 3
例 13：奇函数 f (x) 在定义域（ -1 ，1）内递减，求满足 f (1 m) f (1 m2 ) 0 的实 数 m的取值范围。
解：由 f (1 m) f (1 m2) 0 得 f (1 m) f (1 m2 ) ，∵ f ( x) 为函数，∴
f (1 m) f (m2 1)
又∵ f ( x) 在（ -1 ， 1）内递减，∴
2
解： f (x2) 的定义域是［ 1，2］，是指 1 x 2，所以 f ( x2) 中的 x2 满足 1 x2 4
从而函数 f(x) 的定义域是［ 1，4］
评析：一般地，已知函数 f ( ( x)) 的定义域是 A，求 f(x) 的定义域问题，相当于
已知 f ( ( x)) 中 x 的取值范围为 A，据此求 ( x) 的值域问题。
公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例 1：已知 f ( x ) 2x 1 , 求 f ( x) . x1
x
u
u
2u
2x
解：设
u,则 x
∴ f (u) 2
1
∴ f (x)
x1
1u
1u
1u
1x
2. 凑配法： 在已知 f (g ( x)) h( x) 的条件下，把 h(x) 并凑成以 g (u) 表示的代数式，
抽象函数问题有关解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
f (x) 的问题感到困难，学好这部分知
识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，
优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、解析式问题：
1. 换元法： 即用中间变量 表示原自变量 x的代数式，从而求出 f ( x) ，这也是证某些
数 y=f(x) 是周期函数 . 若 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=a 对称，则 f(x) 是周期函数，且 2a
f (1)、 f (2)、 f (4) 的大小
解：对任意 t 有 f (2 t) f 2 t) ∴ x =2 为抛物线 y = ax2 bx c 的对称轴
又∵其开口向上∴ f (2) 最小， f (1)= f (3) ∵在［ 2，＋∞ ) 上， f ( x) 为增函数 ∴ f (3)< f (4), ∴ f (2)< f (1)< f (4)
1
解 : ∵ f (x) 为奇函数，∴ f ( x) 的定义域关于原点对称，故先求 x <0 时的表达式。∵ - x >0, ∴ f ( x) lg( x 1) lg(1 x) ,
∵ f ( x) 为奇函数，∴ lg(1 x) f ( x) f ( x) ∴当 x <0 时 f ( x) lg(1 x) ∴
再利用代换即可求 f (x) . 此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例 2：已知 f ( x
1 )
x
x3
1 x3 ，求 f ( x)
解：∵ f ( x
1 )
x
(x
1)( x2 1 x
1 x2 )
(x
1 )(( x
x
1 )2 x
3) 又∵
1
1
|x | |x|
1
x
|x|
∴ f ( x) x( x2 3) x3 3x ， (| x | ≥ 1)
二、求值问题
例 7. 已知定义域为 R 的函数 f (x) ，同时满足下列条件：① ② f (x.y) f ( x). f ( y) ，求 f (3), f (9) 的值。
1 f (2) 1, f (6) ；
5
解：取 x 2, y 3，得 f (6) f (2) f (3)
因为 f (2) 1, f (6) 1 ，所以 f (3) 4
在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠ 0∴ f (0) =1∴ f ( y) f ( y) 2 f ( y) ∴ f ( y) f ( y) ∴ f ( x) 为偶函数。
六、单调性问题
3
例 12. 设 f ( x) 定义于实数集上，当 x 0 时， f ( x) 1 ，且对于任意实数 x, y 有
f ( x y) f ( x) f ( y) ，求证： f ( x) 在 R上为增函数。 证明：在 f (x y) f ( x) f ( y) 中取 x y 0 ，得 f (0) [ f (0)]2
若 f (0) 0，令 x 0, y 0 ，则 f ( x) 0 ，与 f ( x) 1 矛盾
所以 f ( x) 0 ，即有 f (0) 1
函数 y=f(x) 满足 f(x+a)+f(x)=1 ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
命题 2：若 a、b( a b ) 是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件
之一，则函数 y=f(x) 是周期函数 . (1) 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=f(x+b) ，则 f(x) 是周期函数，且 |a-b| 是它的一个周期 . (2) 函数图象关于两条直线 x=a， x=b 对称，则函数 y=f(x) 是周期函数，且 2|a-b| 是它
的一个周期 . (3) 函数图象关于点 M(a,0) 和点 N(b,0) 对称，则函数 y=f(x) 是周期函数，且 2|a-b|
是它的一个周期 . (4) 函数图象关于直线 x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数 y=f(x) 是周期函数，且 4|a-b|
是它的一个周期 . 命题 3：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函
不妨用 - x 代换 f ( x) + g (x) = 1 ………①中的 x ,
x1
∴ f ( x) g( x)
1 即 f ( x) － g(x) x1
1
……②
x1
显见① +②即可消去 g( x) , 求出函数 f (x)
1
x2
再代入①求出
1
g(x)
x x2 1
5、方程组法： 通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
当 x 0 时， f ( x) 1 0 ；当 x 0 时， x 0, f ( x) 1 0
而 f (x) f ( x) f (0) 1
所以 f ( x)
1
0
f ( x)
又当 x 0 时， f (0) 1 0
所以对任意 x R，恒有 f ( x) 0
设
x1 x2
，则 x2 x1 0, f (x2 x1) 1
这是一
五、判断函数的奇偶性：
例 11 已知 f ( x y) f (x y) 2 f (x) f ( y) , 对一切实数 x 、 y 都成立， 且 f (0) 0 , 求证 f (x) 为偶函数。
证明：令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) f ( y) 2 f (0) f ( y) ……①
5
5
又取 x y 3
得 f (9) f (3) f (3) 8 5
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取
x 2, y 3 ，这样便把已知
条件 f (2) 巧。
1, f (6)
1 与欲求的 f (3) 沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技
5
三、定义域问题
例 8. 已知函数 f ( x2) 的定义域是［ 1，2］，求 f ( x) 的定义域。
1 1m 1 1 m2 1 1 1 m m2 1
0 m1
八、对称性问题
（ 1）设 a,b 均为常数，函数 y f ( x) 对一切实数 x 都满足
f (a x) f (a x) 2b 函数 y f ( x) 的图象关于点 (a,b) 成中心对称图形。
（ 2）设 a, b均为常数，函数 y f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a x) f (b x) 0
lg(1 x), x 0 f (x)
lg(1 x), x 0
例 5．一已知 f ( x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，且有
f ( x) , g( x) . 解：∵ f ( x) 为偶函数， g (x) 为奇函数，∴ f ( x)
1
f ( x) + g( x)
，求
x1
f ( x) , g ( x) g (x) ,
3. 待定系数法： 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的 未知系数。
例 3． 已知 f ( x) 二次实函数，且 f (x 1) f ( x 1) x2 +2 x +4, 求 f ( x) .
解 : 设 f (x) = ax 2 bx c ，则
f ( x 1) f ( x 1) a(x 1)2 b( x 1) c a( x 1)2 b(x 1) c
2( a c) 4 = 2ax2 2bx 2(a c) x2 2x 4比较系数得 2a 1
2b 2
1
3
a , b 1,c
2
2
∴ f (x) 1 x2 x 3
2
2
4. 利用函数性质法 : 主要利用函数的奇偶性 , 求分段函数的解析式 .
例 4. 已知 y = f ( x) 为奇函数 , 当 x >0 时 , f ( x) lg( x 1) , 求 f (x)