线性代数矩阵及其运算ppt课件

篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
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负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
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a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
...
...
cij
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例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
§2.1
矩阵的概念
2.1.1 矩阵的引入
某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭
周星 4
2
驰
2
1
张曼 0
0
玉
0
0
陈水 4
9
扁
8
6
为了方便，常用下面右边的数表表示
例6
1 0 1 A 0 2 0 ,
0 0 1
求Ak .(k 2、3...)
解
1 Ak 2k
(k 2， 3， ）
1
4.方阵A的n次多项式 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
设 f (x ) a 0 a1 x a 2 x 2 + ... + a n x n为 x的 n次 多 项 式 ， A为 m阶 方 阵 ， 记
记
A(ai j)mn xx1
bb1
xn
bm
则非齐次线性方程组可简记为 Axb
2.
矩阵乘法与加法满足的运算规律 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
(1)(AB)CA(BC)
(2)(AB)(A)BA(B)
(3)A(BC)ABAC (BC)ABACA
3.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
A nA AA(n为 正 数 )
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满 足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
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6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
称矩阵A 为对称矩阵；
若AT = A，
即
aij = aji (i,j = 1,2,…,n)，
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2. 说明:
矩阵与行列式不同
• 形式不同 矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.
• 内容不同 矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.
3. 实矩阵、复矩阵
排成的m行n列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
称m行n列矩阵，简称 m×n矩阵。记作
am1 am 2 ... amn
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn
A
a21
...
a22
...
... ...
a2n
...
am1 am2 ... amn
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3. 矩阵线性运算律： (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C )
§2.2
矩阵的运算
2.2.1. 矩阵的加法与数乘:
1. 矩阵的加法（定义2.2）: A= (aij) 、B= (bij)
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
ABa21...b21
a22b22 ...
... ...
a2n...b2n
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
（4）AB = O 不一定有A= O或B= O ； A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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例5 设 A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 1
3 0 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行 也是零；若矩阵 B的第j行是零列，则乘积 AB的第j 列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积 AB也是零矩 阵。
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这个数表反映了学生的早餐情况.
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
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2.1.2
矩阵的定义
1.定义2.1 由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
(3) A+ ( A) = O
(4) 1A = A (5) ( kl )A = k(lA) (6) (k+l)A =kA+lA (7) k(A+ B) = kA+kB
例1．若X满足 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
2 A B 2 X
设矩阵 A为m×s 阶矩阵、矩阵B为 s×n 阶矩
阵，A= (aij) m×s 、B= (bij) s×n ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×n 阶矩阵C = (cij) m×n，记 C =
AB， 且
cij ai1b1j ai2b2j ainsbsnj
n s
aikbkj
(ij11,,22,, ,,m p)
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0[0]mn表零矩阵
n阶单位矩阵
1 0 0
In
0
1
0
0
0
1
4.
对角矩阵与数量矩阵 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
(4) EmAmnAmn AmnEnAmn
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 不一定相等；
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,…,ajs 正
好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元 素。故
( AB )T = AT BT
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1 4 A2 5
3 6
矩阵的转置的性质
AT 1 4
2 5
6 3
(1 )(A T )TA (2)(A B )TA TB T
(3)(A )TA T (4)(A B )TB TA T
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k1
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就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于 矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。
... ... ...... b1j ...
f (A ) a0 E a1A a2 A 2 + ...+ an A n f ( A )称 为 矩 阵 A的 m 次 多 项 式 .
由 于 方 阵 A k、 A m、 E 对 乘 法 是 可 交 换 的 ， 所 以 矩 阵 A的 多 项 式 的 乘 法 也 是 可 交 换 的 ， 即
f (A)g (A) g (A)f (A) 从 而 A的 多 项 式 可 以 象 数 x的 多 项 式 分 解 因 式 . 如 ： A 2 3 A 2 E ( A 2 E )( A E )
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2.1.2 一些特殊矩阵
1. 方阵 若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。 2. 行矩阵、列矩阵 行矩阵 只有一行的矩阵。
列矩阵 只有一列的矩矩阵 3. 零矩阵、单位矩阵
(A 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
5.矩阵的转置
定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所 得矩阵如果 A是一个 m×n 阶矩阵， AT 是一个 n×m 阶矩阵。
其中 A14
2 3
50
B85
2 3
64,
求 X.
解 X= (B2A)/3
1358
2 3
4682
4 6
10021
2 1
22
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2.2.2.矩阵的乘法：
1. 矩阵的乘法定义（定义2.5）
2 5 22 15
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例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm