吉林省普通高中高三数学毕业第三次调研测试试卷 理

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试
数 学（理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24小题，共150分,考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内;
2．选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0。

5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效;
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集,U R =集合{|1}A x x =>，集合{|},B x x p =>若()U
A B =∅，则p 应
该满足的条件是 A ．1p >
B ．p ≥1
C ．1p <
D ．p ≤1
2．已知复数1i
z i
=
+，其中i 为虚数单位。

则||z =
A ．
12
B C D ．2
3．已知向量(,2),(2,1),(3,)a x b c x ===，若a ∥b ，则a c = A ．4
B ．8
C ．12
D ．20
4．已知点(2,0)F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率 为
A ．
12
B C ．2 D ．4
5．3)n
x
的展开式中，各项系数之和为A ,各项的二项式系数之和为B ，若 32A
B
=，则n = A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．给出下列几个命题：
① 命题:p 任意x R ∈，都有cos 1x ≤,则:p ⌝存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤． ② 命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为假命题． ③ 空间任意一点O 和三点,,A B C ，则32OA OB OC =-是,,A B C 三点共线的充
分不必要条件．
④ 线性回归方程y bx a =+对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,x y x y
(,)n n x y 中的一个．其中不正确．．．的个数为 A. 1
B. 2
C 。

3
D 。

4
7．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上； ②,P Q 关于原点对称。

则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对"（点对
(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对"）．已知函数1()()2,0
1,0
x
f x x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>+≤，则此函
数的“友好点对”有 A 。

3对
B 。

2对
C 。

1对
D 。

0对
8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方 形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ 的值为 A ．
1
3
B
C ．
23
24
D ．
2425
9．阅读右侧程序框图,运行相应程序，则输出i 的值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外。

"其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表
1
23456789
纵式
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位,百位,万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示,以此类推, 例如6613用算筹表示就是
: ,则9117
用算筹可表示为
A.
B
． C ．
D
．
11．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，11231,,n n n n n
a a a a a ++⎧⎪
=⎨⎪-⎩
若310S =，则180S = A ． 600或900
B ． 900或560
C ． 900
D ． 600
12．定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈,都有|()()|1f x g x -≤ 成立，则称()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间"．给出以下问题：
①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被2
1
()2
g x x =+
替代； ②如果()ln f x x =在区间[1,]e 可被()g x x b =-替代,则22b -≤≤；
③设212()lg()(),()sin ()f x ax x x D g x x x D =+∈=∈,则存在实数(0)a a ≠及区 间12,D D ， 使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代。

其中真命题是 A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①②
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分。

13．设,x y 满足不等式组60200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-+的最小值为 .
是奇数
是偶数
14．已知等差数列{}n a 中，570
sin a a xdx π
+=⎰
,
则468a a a ++= 。

15．某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的
16．已知,A B 是椭圆22221x y a b +=和双曲线22
221x y a b
-=
的公共顶点，其中0a b >>，P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点（,P M 都异于,A B ），且满足()PA PB MA MB λ+=+(R λ∈），设直线,,AP BP ,AM
BM 的斜率分别为1234,,,k k k k ,若12k k +=34k k += 。

三、解答题:本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知函数2()cos22sin 2sin f x x x x =++． （Ⅰ)将函数(2)f x 的图像向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图像,若[,]122x ππ∈，
求函数()g x 的值域；
（Ⅱ)已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()1f A =,
(0,)2
A π
∈,2a b ==，求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分12分）
据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革"引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查,
（Ⅰ）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分)
已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==， 2,AB = M 为PC 中点。

（Ⅰ）在图中作出平面ADM 与PB 的交点N ，并指出点N 所在位置(不要求给出理由）; （Ⅱ)在线段CD 上是否存在一点E ，使得直线AE 与平面ADM
若存在，请说明点E 的位置；若不存在,请说明理由； （Ⅲ)求二面角A MD C --的余弦值． 20．（本小题满分12分）
已知O 为坐标原点,抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为5
2
，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴。

（Ⅰ)求线段OQ 的长;
(Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ,交1l 于点E ，若直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数2
()(2)ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >． （Ⅰ）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间;
（Ⅱ）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =， 若
()()
h x g x x x ->-在D 内恒成立,则称P 为函数()y h x =的“类对称点”,当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点"的横坐标;若不存在,请说明理由．
A
B C
D
M
P
请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

解答时请写清题号。

22。

(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系有相同的长度单位。

已知点N
的极坐标为)4
π
，M 是曲线1:1C ρ=上任意一点，点G 满足OG OM ON =+，设点
G 的轨迹为曲线2C 。

（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若过点(2,0)P 的直线l
的参数方程为1222
x t y =-=⎧
⎪⎪
⎨⎪⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，
求
11
||||
PA PB +的值.
23。

(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲
已知定义在R 上的函数()||||,*f x x m x m N =-+∈，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求正整数m 的值；
（Ⅱ）若1,1,()()2f f αβαβ>>+=，求证：
4
1
92
α
β
+
≥
．
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数学（理科)参考答案及评分标准
2．填空题
13. 【答案】—6 14。

【答案】3 15. 【答案】 2 16。

【答案】3．解答题 17．
(Ⅰ）解：因为()2
cos22sin 2sin f x x x x =++，
所以()2
2
2
cos sin 2sin 2sin f x x x x x =-++ ………………………………………….1分
22cos sin 2sin x x x =++
12sin x =+
所以(2)12sin 2f x x =+ ……………………………………………………2分
因为函数()2f x 的图像向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图像
所以()2sin[2()]16
g x x π
=-+ (3)
即()2sin(2)13
g x x π
=-+ ………………………………………………。

. ……4分
因为,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
所以1
sin(2)[,1]32
x π-∈-，所以()[0,3]g x ∈
所以函数()g x 的值域为()[0,3]g x ∈ …………………………………………………6分
（Ⅱ）解：因为()1f A =
所以sin A ，因为(0,)2A π∈ …………………………………………………。

……7分
所以1
cos 2
A = …………………………………………………………………8分
又222
cos 2b c a A bc
+-=,a =，2b = ………………………………….。

……10分
所以4c = …………………………………………………………..……11分
所以ABC ∆面积1
sin 2
ABC S bc A ∆=
=……………………………………………12分 （运用正弦定理求出，也同样给分)
18。

(Ⅱ）因为四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，以A 为坐标原点，以直线AB ,AD ,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示： 则
(0,0,0)(0,0,1)
(0,1,0)(2,1,0)
11(1,,)
22
A P D C M ……………………………………………………………4分
设在线段CD 上存在一点(,1,0)E x ,则(,1,0)AE x = …………………… ……5分 设直线AE 与平面AMD 所成角为θ，平面AMD 的法向量为(,,)u x y z =, 则,u AM u AD ⊥⊥
即110220
x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令2z =，则(1,0,2)u =- ………………………….…………………………………7分
则||10
sin 10||||
AE u AE u θ⋅=
=所以1x = 所以在线段CD 上存在中点E ，
使得直线AE 与平面AMD
…………………………8分
（Ⅲ)设平面CMD 的法向量'''(,,)v x y z =，则,v CM v CD ⊥⊥
'''
'1102220x y z x ⎧--+=⎪⎨
⎪-=⎩
令'
1z =-，则'1y =-，所以(0,1,1)v =-- ………。

……10分 所以10
cos 5||||
v u v u φ⋅=
=
- 所以二面角A MD C --的平面角的余弦值为 ………………………。

……12分 20。

（Ⅰ）解:由抛物线2
:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为
52
得 5
242
n +
=，所以2n =，故抛物线方程为22y
x =,(2,2)P ………….……2分
所以曲线C 在第一象限的图像对应的函数解析式为y =
'y
=。

.……4分 故曲线C 在点P 处的切线斜率1
2
k =
=,切线方程为：12(2)2y x -=-
令0y =得2x =-，所以点(2,0)Q - …………………………………………5分 故线段2OQ = ……………………………………………………6分 （Ⅱ)解：由题意知1:2l x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠ 设2:l x my b =+,令2x =-,得2b y m +=-，故2
(2,)b E m
+--
…………。

……7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，
由22x my b y x
=+⎧⎨=⎩消去x 得:2
220y my b --= 则12122,2y y m y y b +==- ………………………………………。

……9分 直线PA 的斜率为
112111222
22
22
y y y x y --==-+-，
同理直线PB 的斜率为
22
2
y +, 直线PE 的斜率为
2
24
b m ++
………………………………………………….……10分 因为直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列
所以
122y ++22
2
y +=2224
b m ++
即
22
222b b m b m
++=-+ ………………………………………………………….。

…11分
因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠- 所以222m b m -+=，即2b =
故2:2l x my =+，即2l 恒过定点(2,0) ……………………………………………12分 21。

（Ⅰ)解 函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ………………………………….……1分 因为()()22ln f x x a x a x
=-++
所以2
'2()(1)
2(2)2()2(2)a
x x a x a x a f x x a x x x
---++=-++==, ……。

……3分 因2a >，12
a
>
由'()0f x >，即2()(1)20a
x x x
-->得01x <<或2a x >, (4)
由'
()0f x <得12
a x <<;
所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1),(,)2a +∞,单调递减区间为(1,)2
a
； 。

……5分
（Ⅱ）解法一:当4a =时，2'
264
()x x f x x
-+=
所以在点P 处的切线方程为20000000
264
()()64ln x x g x x x x x x x -+=
-+-+ ……7分
令()()()x f x g x ϕ=-
则22000000
4()64ln (26)()(64ln )x x x x x x x x x x x ϕ=-+-+----+ 易知0()0x ϕ=； …………………………………………………………………。

8分 又'004
4()26(26)x x x x x ϕ=+--+-0022()(1)x x x x
=--=0 则002x x x x ==或 ………………………………………………………
9分
当00x <002x x >，令'()0x ϕ<，则002x x x <<，所以函数()x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当002(,)x x x ∈时,0()()0x x ϕϕ<=,从而有002(,)x x x ∈时，0
()0x x x ϕ<-;
当0x >时，002x x <，令'()0x ϕ<，则002x x x <<，所以()x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当00
2(,)x x x ∈时，0()()0x x ϕϕ>=，从而有002(
,)x x x ∈时,0()0x x x ϕ<-;
所以当0(2,)x ∈+∞时，函数()y f x =不存在“类对称点”。

(11)
分 当0x =
,'22()(x x x ϕ=
，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数， 当0x x >时，0()()0x x ϕϕ>=,0()
0x x x ϕ>-
当0x x <时,0()()0x x ϕϕ<=，0()
0x x x ϕ>-
故0()
0x x x ϕ>-恒成立
所以当0x =()y f x =存在“类对称点”。

………………………….……12分
（Ⅱ)解法二
当4a =时，2'
264()x x f x x -+=
所以在点P 处的切线方程为20000000
264()()64ln x x g x x x x x x x -+=-+-+ 若函数()()22ln f x x a x a x =-++存在“类对称点" 00(,())P x f x
则等价当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时()()f x g x >恒成立 ..。

.。

..。

.。

...8分 ① 当00x x <<时()()f x g x <恒成立, 等价于22
2000000026464ln ()64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立 即2230000000(24)4ln 44ln 0x x x x x x x x x x -++++-<
令2230000000()(24)4ln 44ln x x x x x x x x x x x ϕ=-++++-
而0()0x ϕ=
'2200002(2)()4()2(24)x x x x x x x x x x x
ϕ--=-++= 要使()0x ϕ<在00x x <<恒成立，只要()x ϕ在00,)x （单调递增即可
所以002
x x ≤,
即
00x <≤。

.。

..。

.。

.......。

.。

..。

..。

...。

....。

.。

.。

..。

..。

..。

.10分
② 当0x x >时()()f x g x >恒成立,
同理可得0x 。

...。

.。

.。

...。

..。

.。

.。

.。

...。

..。

.。

.。

11分
所以0x =所以函数()()22ln f x x a x a x =-++存在“类对称点”，其中一个“类对称点”横坐标
为
0x 。

.。

....。

..。

.。

.。

..........。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

.。

..。

..。

.........。

12分
22．
（Ⅰ）解：由1ρ=，得221x y +=， ……1分
曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，
又OG OM ON =+，即(所以0011
x x y y =-⎧⎨=-⎩代入20x +22(1)(1)1x y -+-=，
23.
（Ⅰ）解：因为|||||()|||x m x x m x m -+≥--=
要使不等式||||2x m x -+<有解,则||2m <， ……2分 解得22m -<< ……3分 因为*m N ∈，所以1m = ……4分 （Ⅱ）证明:因为()(),1,2f f αβαβ>+=所以()()21212f f αβαβ+=-+-= 即2αβ+= ……6分 所以41
1
4
1
()()2αβαβαβ+=++=14(5)2βααβ++9
(52≥+= ……8分
（当且仅当4βα
αβ
=时，即
42
,
33
αβ
==等号成立）……9分
所以419
2
αβ
+≥……10分。