1988年全国高考数学理科

1988年全国高考数学（理科 ）试题及其解析
一、（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分
（1）2
i 1i 1⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-的值等于 --------------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i
（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），
那么 --------------------------------------------------------------（ ）
（A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上
（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上
（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上
（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上
（3）集合{1，2，3}的子集共有 -------------------------------------------（ ）
（A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个 （4）已知双曲线方程15
y 20x 2
2=-，那么它的焦距是 -------------------------（ ） （A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152
（5）在10)3x (-的展开式中，x 6
的系数是 ---------------------------------（ ） （A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9
（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 -------------------------------（ ）
（A ）π （B ）π2 （C ）
2π （D ）π4 （7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 -----------------------------（ ）
（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k
∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3
)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3
k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 ----------------------------（ ）
（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆
（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 -------------（ ）
（A ）相交直线 （B ）平行直线
（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线
（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 --------------------------------------- ( ）
（A ）4 （B ）21 （C ）8
1 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600
命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么 ----------------- （ ）
（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件
（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件
（C ）甲是乙的充要条件
（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应点Z 的集合构成的图形是（ ）
（A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线
（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 2
2='-'，那么新坐标 系的原点在原坐标系中的坐标为 --------------------------------------（ ）
（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1）
（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽
法有 --------------------------------------------------------------（ ）
（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种
（C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种
（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D
是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 ---（ ）
（A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB
（C ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定 （D ）∠CEB<∠DEB
二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果
（1）求复数i 3-的模和辐角的主值
（2）解方程.27329x 1x =⋅---
（3）已知2
tg ,273,53
sin θπ<θ<π-=θ求的值 （4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长
为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值
（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a lim
n
876n 321n ++++++∞→
三．（本题满分10分）
已知,a tgx =求x
3cos x cos 3x 3sin x sin 3++的值
四．（本题满分10分）
如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中
点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积
五．（本题满分11分）
设2
1t log t log 21,0t ,1a ,0a a a +>≠>与比较的大小，并证明你的结论
六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数).a
1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;
（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形
七．（本题满分12分）
如图，直线L 的方程为2p x -
=，其中p ＞0;椭圆的中心为D )0,2
p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A )0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离
参考答案及其解析
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)B (2)C (3)B (4)A (5)D
(6)A (7)C (8)D (9)C (10)D
(11)C (12)B (13)D (14)B (15)A
二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.
（1）[答]模：2;复角主值：π6
11（只答对一个值的给2分） （2）[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）[答]-3 （4）[答]5
5 （5）[答]1 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力. 解：x
cos x 2cos 2x cos 2x cos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++ )3a (2
a )3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx x cos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++= 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.
解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA 作DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 2
1DF SE 21⋅=⋅所以， .a 66a 2
3a 222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 2
3)2a (a BE SB SE ,.SE DE a 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即
.a 36
3a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.
解：当t>0时，由重要不等式可得t 2
1t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t log 2
121t log ,t log 21t log ,1t a a a a =+=+=∴即时
t log 2
121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2
121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 2
1t ,
1t a a a a a a a a a
a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.
证明：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且
.0y y ,x x ,1a ,)
1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=
-且 从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=
因此，直线M 1M 2不平行于x 轴 （2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则
,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(1
1,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠
'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且
,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a
成轴对称图形
线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.1
1)2(.01
（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证 对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称
七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力. 解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：
,1y 4
)]2p 2(x [22
=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2
=2px,
从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解： ⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.
px 2y )1(,1y 4)]2p 2(x [222 将（2）式代入（1）式，得
)
3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 8)]2
p 2(x [2
22=++-+=++-即 所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于 310,,0.
047,024,0)24(4)47(22
2<
<>⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p p p p p 得到解此不等式组的条件下在 所以，所求的p 的取值范围为.3
1p 0<<本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.。