连续多跨梁结构振动特性分析

连续多跨梁结构振动特性分析
周渤;石先杰
【摘要】以连续多跨梁结构为计算模型,对其自由振动特性进行计算分析.首先将梁的弯曲位移函数以改进傅立叶级数进行表示,在结构两端边界与耦合边界处引入横向位移弹簧和旋转约束弹簧,通过改变其刚度值大小来模拟任意边界条件与耦合条件.此外,正弦函数的引入能够改善以往求解过程在边界处存在的不连续或者跳跃现象.在求解框架中,先通过能量原理对整个结构进行能量描述,然后结合瑞利-里兹法对其进行求解.最后进行数值仿真验证,仿真对比结果表明文中方法是合理的,并且具有良好的计算精度与收敛速度.%In this investigation, the free vibration analysis model of multi -span beam system is constructed based on Bernoulli-Euler beam theory. Firstly, the beam displacement function is generally sought as improved Fourier cosine series, and four sine terms were introduced to overcome all the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions. The linear and rotational springs are arranged along the boundary edges and coupling edges. The various boundary supports and coupling conditions are realized by setting linear displacement and rotational spings with different stiffness constants. In the current solution framework, the beam system is described based on the energy principle. Then the solution is determined using the Rayleigh-Ritz method. Finally, numereous numerical examples are carried out to validate the current method. The comparions show that the presented approach has good computation accuracy and convergence speed.
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2017(000)008
【总页数】4页(P43-46)
【关键词】改进傅里叶级数;任意边界条件;振动;多跨梁
【作者】周渤;石先杰
【作者单位】中国工程物理研究院培训中心,四川绵阳 621999;中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳 621999
【正文语种】中文
【中图分类】TH16;TB53;U661.44
梁结构具有广泛的工程应用背景，例如在航天、航海、建筑行业等，而在一些特定的工程领域，多跨梁结构的应用也非常广泛，例如桥梁工程等。

因此，多年来梁以及多跨梁结构的振动特性研究一直是学者所关心的热点问题。

目前国内外对于单梁的振动特性研究比较广泛，主要研究方法包括模态叠加法[1]、传统傅立叶级数展
开法[2]、数值法[3-4]、解析法[5-6]等方法。

模态叠加法是通过振型函数的设置，然后通过叠加代入控制微分方程，就可以得到近似解。

虽然能够得到比较准确的解，但是振型函数的设置比较难把握。

对于不同的边界条件，振型函数设置也相应的不同，这将是一个非常繁琐的求解过程。

而传统的傅立叶级数展开法只适用简支的经典边界条件，在其他的边界条件不一定能满足精确解要求，达不到求解任意边界条件下梁结构振动分析要求。

数值解就是对方程进行离散求解，求解精度以及效率都较低。

解析法主要是结合边界条件与控制微分方程联立求解，求解精度较高，然而其局限性较大，只能针对几种特定的边界条件。

对于多跨梁的研究，大多数研究的
对象为双跨梁结构，而对于双跨以上的多跨结构研究甚少，主要的研究方法包括差分法[7]、动态刚度矩阵法[8]、模态叠加法[9]等。

差分法主要是对整个系统建立差分方程，引入辅助系统并且结合边界条件得到整个系统的差分离散方程，然后对其振动特性进行求解，数学模型建立较为复杂，边界条件的改变会导致整个差分离散方程的改变。

动态刚度矩阵法的主要思想是将整个结构进行离散，然后结合有限元思想，以单元的动刚度矩阵为基本单元构造整个结构的求解方程，求解过程较为繁琐。

综上所述，目前大部分的研究都局限于特定边界条件，不能对弹性边界进行求解，并且求解方法比较繁琐，不利于开展参数化研究。

在前人的基础上，对多跨梁的振动特性求解提出了一种新的求解方法。

以多跨梁为研究对象，以欧拉梁为基本理论，研究了其自由振动特性。

将梁的弯曲位移函数用改进的傅立叶级数表示，在结构的两端与跨与跨的耦合边界通过引入两类弹簧来模拟其任意的边界与耦合条件。

在此基础上，采用能量原理，并结合瑞利-里兹法的求解步骤对其进行求解，通过与数
值仿真对比，验证了文中方法的合理性。

2.1 模型描述
文中建立的任意边界条件下多跨梁计算模型，如图1所示。

现在对第i根梁的边界条件进行描述，在梁的两端分别设置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过分别设置横向位移弹簧和旋转约束弹簧的刚度值就可以模拟不同的边界条件。

为了后续计算描述
值大小设置为1010即可，对于自由边界，此时只需要将刚度值大小设置为0即可，对于简支边界条件，只需要将横向位移弹簧k~、
i0小设置为0即可。

下面对耦合条件进行描述，由于在跨与跨之间的耦合主要由
横向位移与横向弯矩构成，因此跨i与跨i-1和跨i+1的耦合条件主要由两类耦合弹簧来进行模拟其不同的耦合边界条件，在这里ki，i-1、Ki，i-1为跨i与跨i-1
之间的耦合弹簧，ki，i+1、Ki，i+1为跨i与跨i+1之间的耦合弹簧，例如当ki，i-1、Ki，i-1的刚度值大小设置为1010时，这时就为刚性耦合，刚度值大小设置为0时，这时两跨之间无耦合，当取与两者之间时，则为弹性耦合。

2.2 位移函数的级数表达
在求解过程中，构造合适的位移容许函数对后续的研究有着很重要的关系。

在以往的求解方法中，梁的容许函数往往是根据不同边界条件设置相应的位移函数。

这就会导致当边界条件发生改变时整个求解过程需要重新推导与编程，不具有通用性，工作量繁琐沉闷。

常用的位移容许函数包括简单、正交多项式和三角函数等。

当容许函数为多项式时，将容许函数展开为低阶多项式时，不能满足结构在高阶次的振动求解；展开为高阶多项式时，由于数值计算截断误差的原因会引起数值不稳定。

当容许函数为传统傅立叶三角级数时，级数取无穷项时能够构成一个完整的无限维度向量空间，通过数值截断进行计算时，该容许函数具有良好的数值稳定性和一定的计算精度，也许可以克服多项式或者梁函数存在的问题。

然而，传统的傅立叶级数在除了简单的经典边界以外的边界处会存在收敛性性问题。

因为，当容许函数展开为传统傅立叶三角级数时，其位移导数在边界处可能存在不连续现象。

因此，可能导致不连续或者收敛速度极慢，不能满足结构的振动控制微分方程。

为了克服这些难点，一种改进的傅立叶级数方法已经被提出，并且被应用到任意边界条件下环扇形板[10]的静动态特性分析和环扇形板[11]的面内振动分析。

这里进一步将该方法扩展到多跨梁的振动特性分析中。

因此，为了满足任意边界条件以及耦合条件，结构的位移函数被表示为包含正弦三角级数的改进傅立叶级数。

从方程（1）可看出，在整个求解区域R1：（0，Li），除了标准的传统傅里叶余
弦级数以外，函数表达式还包括了四项正弦项。

由于梁的振动控制微分方程是四阶偏微分方程，因此要求它的位移函数在整个求解域内三阶导数连续而且四阶导数各点存在。

通过在位移函数中引入四项正弦函数，位移函数的级数表达式对于∀（xi）
∈R1：（0，Li）能够展开并一致收敛于任意函数f（xi）∈C3。

也就意味着改进
傅立叶三角级数的三阶导数在整个结构求解区域连续并且四阶导数在边界上各点存在，可以满足任意边界及耦合条件。

2.3 能量泛函与求解步骤
在采用改进傅里叶级数建立了多跨梁的位移函数之后，需要对位移函数的未知傅里叶展开系数进行求解。

由于文中所构建的位移函数足够光滑，位移函数的弱解（近似解）和强解（精确解）在数学意义上是等效的。

因此，采用基于能量原理的瑞利-里兹法来求解未知傅里叶级数展开系数。

式中：V—多跨梁结构的总势能；T—多跨梁结构的总动能。

式中：Vp—结构本身储存的应变势能；Vs—边界处模拟弹簧储存
的弹性势能；Vc1、Vc2—耦合边界处横向位移弹簧与旋转约
束弹簧储存的弹性势能，表达式分别为：
式中：Di—梁结构的弯曲刚度。

式中：ρi—梁结构的质量密度；Ai—梁的横截面积；ω—圆频率。

将式（1）代入式（3）～式（8），然后进一步代入式（9）使汉密尔顿方程对傅
立叶展开系数Ai，m和Bi，n求极值，就能得到一组关于未知系数的线性方程组，然后进一步矩阵化即可得到：（K-ω2M）A＝0（10）式中：K—结构的整体刚度矩阵；M—结构的整体质量矩阵；A—未
知傅立叶展开系数向量，其形式为：
多跨梁的模态特性（固有频率及其对应的特征向量）可以通过求解式（10）中的
一个标准特征值问题而简单得到。

每个特征向量包含了构成相应结构模态所需要的所有的傅立叶展开系数，将得到的特征向量带入式（1）即可绘制出相应的模态振型。

在本节中，将采用上一小节的理论模型，对不同边界下多跨梁结构振动特性进行求
解，将文中方法计算得到的结果与有限元计算结果进行对比验证，以验证文中方法的合理性。

由于方法在计算过程中需对级数进行截断，所以首先对方法的收敛性进行分析；然后计算不同工况下多跨梁结构自由振动特性，结构参数以及材料参数，如表1所示。

3.1 收敛性研究
为验证文中方法的正确性，先对其收敛性进行验证。

在计算过程中，多跨梁的位移函数需级数展开，位移展开的截断值M的取值关系着最终结果的收敛性，所以该截断值的取值需先进行计算和分析。

在本小节中，以双跨悬臂梁结构为研究对象，选取表1中的梁1与梁2为结构对象进行计算，梁1与梁2之间进行刚性耦合，梁1的左端为固定边界条件，梁2的右端为自由边界条件。

不同级数截断数下的梁结构的前10阶频率参数，如表2所示。

作为对比，精确解也列在表2中。

从表2可以看出，随着截断数的增大，计算结果数值基本保持不变，而且较小的截断数就能得到精确度较高的结果，这说明文中方法具有良好的收敛性和数值稳定性。

在后续的计算中位移函数的截断数均取为M=12。

3.2 多跨结构自由振动特性分析
将对经典边界条件与弹性边界条件下多跨梁结构的自由振动特性进行计算分析。

经典边界条件下的计算工况与收敛性分析算例保持一致，为了验证方法的正确性，引入有限元计算分析结果，有限元（FEA）的物理与材料参数与这里方法保持一致，并且边界条件也保持一致，采用Beam188单元，网格长度为0.01m。

而对于弹性边界以及弹性耦合条件下的多跨梁算例选取三跨梁为研究对象，具体如图2所示。

选取表1中梁1、梁2和梁3作为该算例的结构参数和材料参数，弹性边界以及弹性耦合条件参数，如表3所示。

经典边界条件下和弹性边界条件下三跨梁的计算结果，如表4、表5所示。

作为对比，FEA计算结果也列在表中。

通过表4和表5可以看出，方法计算结果和有限
元法计算结果吻合良好，验证了文中方法的正确性。

从前面可知，文中方法对结构的固有频率进行预报以后，将求得的特征向量代入式（1），能够快速得到结构的物理弯曲模态振型。

图3与图4给出了表4与表5相对应前6阶模态振型，作为对比，有限元计算获得的振型也在其中。

通过图3与图4的对比分析，进一步验证了文中方法的正确性。

从而说明文中方法不仅能够对结构的固有频率进行快速分析，还能准确获得结构的物理模态振型。

数值算例说明，该方法不仅适用经典边界条件下多跨结构的振动特性求解，还能求解弹性边界以及弹性耦合条件下多跨梁结构的振动特性。

当结构的边界条件发生变化时，不需要重新进行推导，只需改弹簧刚度值大小即可，有利于实际工程应用和参数化研究。

基于改进傅里叶级数和瑞利-里兹法对多跨梁结构在任意边界及耦合条件下的振动特性进行了分析研究。

经过计算分析可以得到以下结论：（1）与传统的三角级数展开相比，改进傅里叶级数所引入的四项正弦级数能够解决以往传统三角级数在边界条件处的位移或者其导数存在的不连续或者跳跃性；（2）采用线性位移弹簧与旋转约束弹簧来模拟结构两端及梁与梁之间的耦合条件，通过改变弹簧刚度值的大小来模拟任意边界及耦合条件；（3）通过瑞利-里兹法对结构的振动特性进行求解，并与有限元计算结果对比，验证了文中方法的正确性，并且当结构参数及边界条件发生变化时，不需要重新编程，有利于结构参数化研究。

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