吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试4月数学理Word版答案和评分标准

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准
二、填空题
13. - 40；
14. -1; 15.
4
5
-；16.
7
三、解答题
17. 解：
（1）(sin)
b C C
=+
Q,由正弦定理得:
sin(sin)
A B C C
=
)sin sin cos
B C B C B C
+=sin sin
sin
B C B
C
=-----------------3分sin0,sin
C B B
≠=
Q即tan B=
(0,),
3
B B
π
π
∈∴=
Q-----------------------------------------------------------------------------------6分（2）在BCD
V中，2,1
BD CD
==222
12212cos
BC D
∴=+-⨯⨯⨯54cos D
=-
又
3
A
π
=，则ABC
V为等边三角形，2
1
sin
23
ABC
S BC
π
=⨯=
V
D-------------------8分又
1
sin sin
2
BDC
S BD DC D D
=⨯⨯⨯=
V
，
sin
ABCD
S D D
∴==2sin()
3
D
π
+---------------------------------------------10分∴当
5
6
D
π
=时，四边形ABCD2
+. ------------------------------12分18.解：
（1）
★保密
----------------------------------------------------------------------------------------------------3分
2
2
45(1516104)7.29 6.63525201926
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯Q
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ----------------------------5分
（II ）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人
此人每周上线时间不少于5小时的概率为15
0.625
= ------------------------------------------------------10分 设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)Y B :，故()200.612E Y =⨯=,()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-= --------------------12分
19．解“
（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH
,,AB CE HAB HCE =∠=∠Q BHA CHA ∠=∠
ABH ∴∆≌CEH ∆
AH CH FH PC ∴=∴P ---------------------------------------------------------------------------------------2分
FH ⊂Q 面,FBE PC ⊄面FBE
PC ∴P 面FBE -------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥
Q 面PAD ⊥面ABCD
PO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=o ，AD AB = OB AD ∴⊥
以,,OA OB OP 分别为,,X Y Z 轴建立如图所示空间直角坐标系 ----------------------------------------6分 设2AD =，则(1,0,0)A ，B ,(1,0,0)D -,
1
1(0,0,1),(,0,)22
P F
(2,0,0)EB DA ==u u u r u u u r ，11
(,)22
BF =u u u r -------------------8分
1(0,0,1)n =u r
为面BEA 的一个法向量 ------------------------9分 设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =u u r
，
A B
C
D
E
F P
x
y
z H
O
依题意，220
0EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r
即00002011
022
x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩
令0y =
解得026.z n ==u u r
----------------------------------------------------------------------10分
121212
,cos ,13n n n n n n ==
=⋅u r u u r
u r u u r u r u u r
-------------------------------------------------------------------12分 20.解：
（1）由题意设直线AB 的方程为2
p y x =+
令11(,)A x y 、22(,)B x y ，联立222p y x x py ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得22
304p y py -+= --------------------------------------3分 123y y p ∴+=，
根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=，又8AB =， 48,2p p ∴==
故所求抛物线方程为2
4x y = --------------------------------------------------------------------------------5分
（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,
)4
D
D x D x 设1l 的方程为20
0()4
x y k x x -=-，与24x y =联立 消去y 得22
00440x kx kx x -+-= -----------------------------------------------------------------------------7分
04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=- -----------------------------------------------------------------------8分 02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CD
x x K x x -=-=1()4
C D x x +012x =- ----------------------10分
切线l 的斜率001
2
l x x K y x ='==。

由0l CD K K +=，得α与β互补 ---------------------------------12分
21. 解：
（1）依题意0x >，当0a =时，1
()(1)f x b x
'=
-+ ---------------------------------------------------------1分 ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；----------------------------------3分 ②当1b >-时，若10,
1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫
∈+∞ ⎪+⎝⎭
，()0f x '<
故此时()f x 的单调增、减区间分别为10,
1b ⎛
⎫ ⎪+⎝
⎭、1,1b ⎛⎫
+∞ ⎪+⎝⎭
------------------------------------5分
（2）方法1：由2
()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m == ------------------------------------7分
依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，21
12
ln
2x x a x x ∴-=- ------------------------- 8分
要证121142a x x +>-，只需证2
121
1212
2ln
2(2)x x x x a x x x x -+>-=-（不妨设12x x <），
即证
122211
2ln x x x
x x x -<- -----------------------------------------------------------------------------------------------10分 令
21(1)x t t x =>，1()2ln ,g t t t t =-+ 22211
()1(1)0Q g t t t t
'=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，()(1)0g t g ∴<=，从而有
12
11
42a x x +>- -------------12分 方法2：由2
()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1
()(2)g x a x
'=-- -----------------7分 当1(0,
)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a
∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 在1(0,)2a -上单调递增，在1
(,)2a
+∞-上单调递减， ---------------------------8分
不妨设12x x <，则121
02x x a
<<<-，
要证
121142a x x +>-，只需证212(42)1
x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---，
故只需证212()(
)(42)1x g x g a x <--，即证2
22()()(42)1
x g x g a x <-- --------------------10分
令()()(
)(42)1x h x g x g a x =---，
（1
2x a
>-）， 则()2
1()()()(42)1
421x
h x g x g a x a x '''=+
----⎡⎤⎣⎦
g
=()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()2
24(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦
-------------------11分
（也可代入后再求导）
()h x ∴在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-， 故对于1
2x a
>-时，总有()(
)(42)1x g x g a x <--。

由此得121142a x x +>- -------------12分 22. 解：
（1）由曲线1C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x y += -----------------------2分 曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+
=即sin cos
cos sin
26
6
π
π
ρθρθ+=
40x -= ---------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）依题意得1C 的极坐标方程为
2222cos sin 13
ρθ
ρθ+= ------------------------------------------------- 5分
设1(,)A ρθ,2(,)2B π
ρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2
C π
ρθ+
则
222
2
11
cos sin 13
ρθ
ρθ+=，
2
22222sin cos 13
ρθ
ρθ+=，故
2
2
121
1
4
3
ρρ+
=
-------------------------7分 2
2
12
122
1
1
43ρρρρ∴
≤
+
=
，当且仅当12ρρ=（即4
π
θ=）时取“=” -------------------------------------8分 故121324AOB S ρρ∆=
≥，即AOB ∆面积的最小值为3
4 -----------------------------------------------9分 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==
++g 4
8cos 3π
== 故所求四边形的面积为329
844
-= ------------------------------------------------------------------------10分
23. 证明
（1）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a b c =+
+-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c
=++ ∴
222111
4a b c
++1= -------------------------------------------------------------------------------------3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c
++2
(111)9≥++=
当且仅当2a b c ===“=”。

∴22249a b c ++≥ ----------------------------------------------5分
（2） 22112,a b ab +≥Q
22111,4b c bc +≥22
111
4a c ac
+≥
（以上三式当且仅当2a b c ===“=”） ------------------------------------------------------7分 将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111
2()24a b c
++= 即111
122ab bc ac
++≤ --------------------------------------------------------------------------------------10分。