天津市汉沽区2019-2020学年中考第二次适应性考试数学试题含解析

天津市汉沽区2019-2020学年中考第二次适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）
A ．sin h α
B ．cos h α
C ．tan h α
D ．cot h α
2．下列运算正确的是（ ）
A ．﹣（a ﹣1）＝﹣a ﹣1
B ．（2a 3）2＝4a 6
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．a 3+a 2＝2a 5 3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A ．1234a a a ÷=
B ．()32639a a =
C ．()222a b a b +=+
D ．2236a a a ⋅=
4．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为( )
A ．1074310⨯
B ．1174.310⨯
C ．107.4310⨯
D ．127.4310⨯
5．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A ．三菱柱
B ．三棱锥
C ．长方体
D ．圆柱体
6．如图，两个反比例函数y 1＝1k x
（其中k 1＞0）和y 2＝3x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）
A 3：1
B ．23
C ．2：1
D ．29：14
7．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b岁，则下列结论中正确的是（）
A．a＜13，b=13 B．a＜13，b＜13 C．a＞13，b＜13 D．a＞13，b=13
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
9．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，那么这个多边形的边数是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
11．如图，平行四边形ABCD中，点A在反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象上，点D在y轴上，点B、点
C在x轴上．若平行四边形ABCD的面积为10，则k的值是（）
A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10
12．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所
熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）
A．
211
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
211
4322
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
26
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点
（a,b）在直线
11
+
22
y x
=图象上的概率为__．
14．若反比例函数y=
1
m
x
的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.
16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，
a），如图，若曲线y＝2
x
（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是_______．
17．分解因式：x2－9＝_ ▲ ．
18．无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可以表示为_____秒．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据图中信息求出m=，
n=；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
20．（6分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（1）若点A′落在矩形的对角线OB 上时，OA′的长= ；
（2）若点A′落在边AB 的垂直平分线上时，求点D 的坐标；
（3）若点A′落在边AO 的垂直平分线上时，求点D 的坐标（直接写出结果即可）．
21．（6分）某景区内从甲地到乙地的路程是12km ，小华步行从甲地到乙地游玩，速度为5/km h ，走了4km 后，中途休息了一段时间，然后继续按原速前往乙地，景区从甲地开往乙地的电瓶车每隔半小时发一趟车，速度是24/km h ，若小华与第1趟电瓶车同时出发，设小华距乙地的路程为()z y km ，第n 趟电瓶车距乙
地的路程为()n y km ，
n 为正整数，行进时间为()x h .如图画出了z y ，1 y 与x 的函数图象．
（1）观察图，其中a = ，b = ；
（2）求第2趟电瓶车距乙地的路程2y 与x 的函数关系式；
（3）当1.5x b ≤≤时，在图中画出n y 与x 的函数图象；并观察图象，得出小华在休息后前往乙地的途中，共有 趟电瓶车驶过．
22．（8分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
23．（8分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度；
⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有 人；
⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率
24．（10分）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴正半轴交于点
C ．
（1）如图1，若A （－1，0），B （3，0），
① 求抛物线2y x bx c =-++的解析式；
② P 为抛物线上一点，连接AC ，PC ，若∠PCO=3∠ACO ，求点P 的横坐标；
（2）如图2，D 为x 轴下方抛物线上一点，连DA ，DB ，若∠BDA+2∠BAD=90°，求点D 的纵坐标.
25．（10分）如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=
m x
（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （12，n ）两点，直线y=2与y 轴交于点C ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC 的面积.
26．（12分）在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是边BC 上任意一点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ．
（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD 的长；
（2）如图2，过点C 作CF ⊥CE ，且CF=CE ，连接FE 并延长交AB 于点M ，连接BF ，求证：AM=BM ．
27．（12分）如图， 二次函数23y ax bx =++的图象与 x 轴交于()30A -,
和()10B ,两点，与 y 轴交于点 C ，一次函数的图象过点 A 、C ．
（1）求二次函数的表达式
（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得
∠CAD=∠BCD ，然后在Rt △BCD 中 cos ∠BCD=
CD BC ，可得BC=cos cos CD h BCD α
=∠. 故选B ．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 2．B
【解析】
【分析】
根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、因为﹣（a ﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；
B 、（﹣2a 3）2=4a 6，正确；
C 、因为（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，故本选项错误；
D 、因为a 3与a 2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式即可判断．
【详解】
A 、12394a a a a ÷=≠，该选项错误；
B 、()32663279a a a =≠，该选项错误；
C 、()222222a b a ab b a b +=++≠+，该选项错误；
D 、2236a a a ⋅=，该选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键． 4．D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
解：74300亿=7.43×
1012， 故选：D ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5．A
【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】
由于左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 6．A
【解析】
试题分析：首先根据反比例函数y 2=3x 的解析式可得到ODB OAC S S V V =12×3=32
，再由阴影部分面积为6可得到PDOC S 矩形=9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=6x ，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕AC=3． 故选A ．
考点：反比例函数系数k 的几何意义
7．A
【解析】
试题解析：∵原来的平均数是13岁，
∴13×23=299（岁），
∴正确的平均数a=≈12.97＜13，
∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，
∴b=13；
故选A ．
考点：1.平均数；2.中位数.
8．D
【解析】
试题分析：反比例函数y=-的图象位于二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∵A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)在该函数图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，，∴y 3＜y 1＜y 2；
故选D.
考点：反比例函数的性质.
9．A
【分析】
设这个正多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.
【详解】
设这个多边形的边数为n,依题意得:
180(n-2)=360×3-180，
解之得
n=7.
故选A.
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和与外角和，根据题目中的等量关系,构建方程求解即可.
10．A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平
＝S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|−k|，利用反比例函数图象得到．行四边形ABCD
【详解】
作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，
而S矩形ADOE＝|−k|，
∴|−k|＝1，
∵k＜0，
∴k＝−1．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数y＝k
x
（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝
k
x
（k≠0）图象上任意一点向
x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．12．A
【解析】
【分析】
根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．
【详解】
图2所示的算筹图我们可以表述为：
211 4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1 6
【解析】【分析】
根据题意列出图表，即可表示（a，b）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在
11
+
22
y x
=图象
上的点，即可得出答案． 【详解】 画树状图得：
∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线11
+22
y x = 图象上的只有(3,2)， ∴点（a ，b ）在11
+22y x =图象上的概率为16
． 【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验． 14．m>1 【解析】 ∵反比例函数m 1
y x
-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴m 1->0， 解得：m>1， 故答案为m>1. 15．π 【解析】 试题分析：∵
，∴S 阴影=1ABB S 扇形=
2
50360
AB
π⋅=54π．故答案为54π． 考点：旋转的性质；扇形面积的计算． 16221a ≤≤
【解析】 【分析】
因为A 点的坐标为（a ，a ），则C （a ﹣1，a ﹣1），根据题意只要分别求出当A 点或C 点在曲线上时a 的值即可得到答案. 【详解】
解：∵A 点的坐标为（a ，a ）， ∴C （a ﹣1，a ﹣1），
当C在双曲线y=2
x
时，则a﹣1=
2
1
a-
，
解得；
当A在双曲线y=2
x
时，则a=
2
a
，
解得
∴a+1．
+1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.
17．(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】
x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为（x+3）（x-3）.
18．53
10-
⨯
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.005=5×10-1，
故答案为：5×10-1．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 6
【解析】
分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．
详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=
35
100
×100%=35%，即n=35，
（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为
40
100
×100%=40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105 126
．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）1；（2）点D（8﹣2，0）；（3）点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
【解析】
分析：（Ⅰ）由点B的坐标知OA=8、AB=1、OB=10，根据折叠性质可得BA=BA′=1，据此可得答案；
（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，据此知AD=ABtan∠ABD=2，继而可得答案；
（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．
详解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=1，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=1，∴OA′=1．故答案为1；
（Ⅱ）如图2，连接AA′．
∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA=AA′．
∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，
∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，
∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，
∴∠A′BA=10°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，
∴AD=ABtan∠ABD=1tan30°=2，
∴OD=OA﹣AD=8﹣2，
∴点D（8﹣2，0）；
（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时．
由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=1﹣2，
由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，
则=，即=，
解得：DN=3﹣5，
则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，
∴D（3﹣1，0）；
②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，
则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+1，
由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，
则=，即=，
解得：ME=，则OE=MO﹣ME=1+．
∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，
∴△DOE∽△A′ME，
∴=，即=，
解得：DO=3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0）．
综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
点睛：本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．
21．（1）0.8；2.1；（2）2=y 2424(0.51)x x -+≤≤；（2）图像见解析，2 【解析】 【分析】
（1）根据小华走了4千米后休息了一段时间和小华的速度即可求出a 的值，用剩下的路程除以速度即可求出休息后所用的时间，再加上1.5即为b 的值；
（2）先求出电瓶车的速度，再根据路程=两地间距-速度×时间即可得出答案；
（2）结合1
y 的图象即可画出1.5x b ≤≤的图象，观察图象即可得出答案． 【详解】
解：（1）450.8()a h =÷=，
1.585 3.1()b h =+÷=
故答案为：0.8；2.1． （2）根据题意得：
电瓶车的速度为120.524/km h ÷=
∴21224(0.5)2424(0.51)y x x x =--=-+≤≤． （2）画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：小华在休息后前往乙地的途中，共有2趟电瓶车驶过． 故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，能够从图象上获取有效信息是解题的关键．
22．（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 【解析】
分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数． 详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元， 根据题意得：
63600
500.8400.755200x y x y +⎧⎨
⨯+⨯⎩
＝＝， 解得：40
120
x y ⎧⎨
⎩＝＝．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元． （2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算． 23．（1）72；（2）700；（3）
2
3
． 【解析】试题分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 试题解析：
（1）调查的学生总数为60÷30%=200（人）， 则体育类人数为200﹣（30+60+70）=40， 补全条形图如下：
“体育”对应扇形的圆心角是360°×
40
200
=72°； （2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000×
70
200
=700（人）， （3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图所示：
所以P （2名学生来自不同班）=
82123
=． 考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；用样本估计总体． 24．（1）①y=-x 2+2x+3②35
13
（2）-1 【解析】
分析：（1）①把A 、B 的坐标代入解析式，解方程组即可得到结论；
②延长CP 交x 轴于点E ，在x 轴上取点D 使CD=CA ，作EN ⊥CD 交CD 的延长线于N ．由CD=CA ，OC ⊥AD ，得到∠DCO=∠ACO ．由∠PCO=3∠ACO ，得到∠ACD=∠ECD ，从而有tan ∠ACD=tan ∠ECD ，
AI EN CI CN =，即可得出AI 、CI 的长，进而得到34
AI EN CI CN ==．设EN=3x ，则CN=4x ，由tan ∠CDO=tan ∠EDN ，得到
3
1
EN OC DN OD ==，故设DN=x ，则
，解方程即可得出E 的坐标，进而求出CE 的直线解析式，联立解方程组即可得到结论；
（2）作DI ⊥x 轴，垂足为I ．可以证明△EBD ∽△DBC ，由相似三角形对应边成比例得到
BI ID ID AI
=， 即
D B D D D A
x x y y x x --=--，整理得()22
D D A B D A B y x x x x x x =-++．令y=0，得：20x bx c -++=．
故A B A B x x b x x c +==-，，从而得到22D D D y x bx c =--．由2D D D y x bx c =-++，得到2
D D y y =-，
解方程即可得到结论．
详解：（1）①把A （－1，0），B （3，0）代入2
y x bx c =-++得：
10930b c b c --+=⎧⎨
-++=⎩，解得：2
3
b c =⎧⎨=⎩， ∴223y x x =-++
②延长CP 交x 轴于点E ，在x 轴上取点D 使CD=CA ，作EN ⊥CD 交CD 的延长线于N ． ∵CD=CA ，OC ⊥AD ，∴ ∠DCO=∠ACO ．
∵∠PCO=3∠ACO ，∴∠ACD=∠ECD ，∴tan ∠ACD=tan ∠ECD ，
∴
AI EN
CI CN
=，AI=10AD OC CD ⨯=
∴22
10CA AI -=
，∴
3
4
AI EN CI CN ==． 设EN=3x ，则CN=4x ． ∵tan ∠CDO=tan ∠EDN ， ∴
3
1
EN OC DN OD ==，∴DN=x ，∴10， ∴10
x =
，∴DE=103 ，E(133，0)．
CE 的直线解析式为：9
313
y x =-
+， 2133923y x y x x ⎧=-+⎪
⎨
⎪=-++⎩ 2923313x x x -++=-
+，解得：1235
013
x x ==，． 点P 的横坐标
3513
．
（2）作DI ⊥x 轴，垂足为I ．
∵∠BDA+2∠BAD=90°，∴∠DBI+∠BAD=90°． ∵∠BDI+∠DBI=90°，∴∠BAD=∠BDI ． ∵∠BID=∠DIA ，∴△EBD ∽△DBC ，∴
BI ID
ID AI
=， ∴
D B D
D D A
x x y y x x --=--， ∴()2
2
D D A B D A B y x x x x x x =-++． 令y=0，得：20x bx c -++=．
∴A B A B x x b x x c +==-，，∴()2
2
2
D D A B D A B D D y x x x x x x x bx c =-++=--．
∵2
D D D y x bx c =-++， ∴2
D D y y =-，
解得：y D =0或－1． ∵D 为x 轴下方一点， ∴1D y =-， ∴D 的纵坐标－1 ．
点睛：本题是二次函数的综合题．考查了二次函数解析式、性质，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系．综合性比较强，难度较大． 25．（1）y=2x ﹣5，2y x
=-；（2）21
4．
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）把A 坐标代入反比例解析式求出m 的值，确定出反比例解析式，再将B 坐标代入求出n 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形ABC 面积． 试题解析：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=
2
m
，即m=﹣2，∴反比例解析式为2y x =-，
把B（1
2
，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（
1
2
，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：
21
{1
4
2
k b
k b
+=-
+=-
，
解得：k=2，b=﹣5，则一次函数解析式为y=2x﹣5；（2）
如图，
S△ABC=
1113121 266323
222224⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
26．(1) 2﹣
3
3
;(2)见解析
【解析】
分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得
∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x，则CD=2x3x=1，求得x的值，可得BD的长；（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．
详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAE=45°﹣15°=30°，
Rt△ACE中，CE=1，
∴AC=2CE=2，
Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，
∴CD=2ED，
设ED=x，则CD=2x，
∴3，
3，
x=
3
3
，
∴CD=2x=233
， ∴BD=BC ﹣CD=AC ﹣CD=2﹣
23； （2）如图2，连接CM ，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF ，
∵AC=BC ，CE=CF ，
∴△ACE ≌△BCF ，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∵∠CFE=45°，
∴∠MFB=45°，
∵∠CFM=∠CBA=45°，
∴C 、M 、B 、F 四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=45°，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵AC=BC ，
∴AM=BM ．
点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE ≌△BCF 是关键．
27．（1）223y x x =--+；（2）30x -<<．
【解析】
【分析】
（1）将()30A -,
和()10B ,两点代入函数解析式即可； （2）结合二次函数图象即可．
【详解】
解：(1)∵二次函数2
3y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，
933030
a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=-⎩
∴二次函数的表达式为223y x x =--+．
(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围是30x -<<．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．。