人教A版高中数学选修2-1课件 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件2
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 解:OP OM MP OA MN 2 3 1 2 M OA (ON OM ) 2 3 1 2 1 Q OA (OB OC ) A 6 3 2
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
O
P N
C
一、空间向量的坐标分解
z
给定一个空间坐标系和向量 p p 且设 i, j , k 为空间两两垂直的向 k 量，设点Q为点P在 i, j所确定平 i O j 面上的正投影 由平面向量基本定理有
x
P
y Q
一、空间向量的坐标分解
在OQ , k所确定的平面上, 存在 实数 z , 使得OP OQ z k
为基向量 a 、 b、 c 的有关运算来处理 , 而且不用添 辅助线及作证明.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
O
M A
Q
P B N
C
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
分析 : ⑴ 这种表 示式的寻 找 ,只 要 结合图形, 充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化
z
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
k i
O
p
j
P
y
Q
OP OQ zk xi y j zk x
i, j, k 是空间两两垂直的向量，那么，对空间 由此可知，如果 任一向量 ， 存在一个有序实数组 {x，y， p pz} 使得 xi y j z k .
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的 某一个向量，二者是相关连的不同概念. 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使
OP xOA yOB zOC.
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面.
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用e1 ， e2 ， e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1，e2，e3 ，以点O为原点， 分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的 z 正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz 计算单位正交基之间的数量积
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a xi y j
i (1,0), j (0,1),0 (0,0). i
o j
a
x
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理).对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
下的坐标,记做 P {x, y, z}.
z
此时向量P的坐标恰是点P在 直角坐标系oxyz中的坐标(x， y，z)，其中x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标，z叫 做点P的竖坐标. e2 y
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点P， 对应一个向量 OP ，于是存在唯一的有序实数组 x， y， z，使 OP xe1 ye2 ze3 (如图). 我们说，点P的坐标为(x，y，z)，记作P(x，y， z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫 做点P的竖坐标. 显然， 向量 OP 的坐标，就是点P在此空间直 角坐标系中的坐标(x，y，z).
略解:⑴ MN MO ON 1 1 1 OA (OB OC ) = ( a b c ) 2 2 2 1 MP OP OM = ( c a ) 2 2 2 2 1 1 ⑵易知 a b b c c a , a b c 1 ,∴ MN MP 2 4
B
例 1.如 图 ，M ， N 分 别 是 四 面 体OABC的 边 OA， BC的 中 点 ，P， Q 是 MN 的 三 等 分.用 向
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
解:OQ OM MQ
1 1 1 1 OA MN OA (ON OM） 2 3 2 3
1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6
e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 , e1 e1 , e2 e2 , e3 e3 .
e3 e1 O e 2
y
x
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向 量 P，平移使其起点与原点o重合，得到向量 OP=P由空间向量基本定理可知，存在有序实数 组{x，y，z}使 P =xe1+ye2+ze3 x, y, z叫做向量P在单位正交基底e1 , e2 , e3
即 OP ( x, y, z ) P( x, y, z)
z e3 e1 O e2 x P(x，y， z) y
也就是说，以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和终点的 坐标建立起一一对应的关系，从 而互相转化.
例题讲解
例 1. 如 图 ，M ， N 分 别 是 四 面 体OABC的 边 OA， BC的 中 点 ，P， Q 是 MN 的 三 等 分.用 向
第三章 空间向量与立体几何
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
练习
2、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
练习3
如果三个向量a, b, c不共面,那么所有空间向量组 成的集合就是{P P xa yb zc, x, y, z R},这个 集合可以看做是由向量a, b, c生成的. 故{a, b, c}叫做空间的一个基底.
特别提示：对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c 不共面，还应明确： (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任意两 个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 .
我们称
xi, y j, zk 为向量 P 在 i, j, k
上的分向量.
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量
a , b, c
i, j , k
，你能得出类似的
结论吗？ 空间向量基本定理：
a, b, c都叫做基向量.
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一向量 P ， 存在有序实数组{x，y，z}使 p xa yb zc. 注:
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
O
P N
C
一、空间向量的坐标分解
z
给定一个空间坐标系和向量 p p 且设 i, j , k 为空间两两垂直的向 k 量，设点Q为点P在 i, j所确定平 i O j 面上的正投影 由平面向量基本定理有
x
P
y Q
一、空间向量的坐标分解
在OQ , k所确定的平面上, 存在 实数 z , 使得OP OQ z k
为基向量 a 、 b、 c 的有关运算来处理 , 而且不用添 辅助线及作证明.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
O
M A
Q
P B N
C
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
分析 : ⑴ 这种表 示式的寻 找 ,只 要 结合图形, 充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化
z
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
k i
O
p
j
P
y
Q
OP OQ zk xi y j zk x
i, j, k 是空间两两垂直的向量，那么，对空间 由此可知，如果 任一向量 ， 存在一个有序实数组 {x，y， p pz} 使得 xi y j z k .
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的 某一个向量，二者是相关连的不同概念. 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使
OP xOA yOB zOC.
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面.
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用e1 ， e2 ， e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1，e2，e3 ，以点O为原点， 分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的 z 正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz 计算单位正交基之间的数量积
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a xi y j
i (1,0), j (0,1),0 (0,0). i
o j
a
x
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理).对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
下的坐标,记做 P {x, y, z}.
z
此时向量P的坐标恰是点P在 直角坐标系oxyz中的坐标(x， y，z)，其中x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标，z叫 做点P的竖坐标. e2 y
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点P， 对应一个向量 OP ，于是存在唯一的有序实数组 x， y， z，使 OP xe1 ye2 ze3 (如图). 我们说，点P的坐标为(x，y，z)，记作P(x，y， z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫 做点P的竖坐标. 显然， 向量 OP 的坐标，就是点P在此空间直 角坐标系中的坐标(x，y，z).
略解:⑴ MN MO ON 1 1 1 OA (OB OC ) = ( a b c ) 2 2 2 1 MP OP OM = ( c a ) 2 2 2 2 1 1 ⑵易知 a b b c c a , a b c 1 ,∴ MN MP 2 4
B
例 1.如 图 ，M ， N 分 别 是 四 面 体OABC的 边 OA， BC的 中 点 ，P， Q 是 MN 的 三 等 分.用 向
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
解:OQ OM MQ
1 1 1 1 OA MN OA (ON OM） 2 3 2 3
1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6
e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 , e1 e1 , e2 e2 , e3 e3 .
e3 e1 O e 2
y
x
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向 量 P，平移使其起点与原点o重合，得到向量 OP=P由空间向量基本定理可知，存在有序实数 组{x，y，z}使 P =xe1+ye2+ze3 x, y, z叫做向量P在单位正交基底e1 , e2 , e3
即 OP ( x, y, z ) P( x, y, z)
z e3 e1 O e2 x P(x，y， z) y
也就是说，以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和终点的 坐标建立起一一对应的关系，从 而互相转化.
例题讲解
例 1. 如 图 ，M ， N 分 别 是 四 面 体OABC的 边 OA， BC的 中 点 ，P， Q 是 MN 的 三 等 分.用 向
第三章 空间向量与立体几何
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
练习
2、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
练习3
如果三个向量a, b, c不共面,那么所有空间向量组 成的集合就是{P P xa yb zc, x, y, z R},这个 集合可以看做是由向量a, b, c生成的. 故{a, b, c}叫做空间的一个基底.
特别提示：对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c 不共面，还应明确： (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任意两 个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 .
我们称
xi, y j, zk 为向量 P 在 i, j, k
上的分向量.
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量
a , b, c
i, j , k
，你能得出类似的
结论吗？ 空间向量基本定理：
a, b, c都叫做基向量.
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一向量 P ， 存在有序实数组{x，y，z}使 p xa yb zc. 注: