三角函数的概念(第一课时)
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解 经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，
π
此时∠BOA 的弧度为3＋3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间.
解
设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，
π
5π
则 t(1＋2)＋3＝2π，解得 t＝ 9 ，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为
(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方
向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针
方向在单位圆上运动.
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
5.2.1三角函数的概念
（第一课时）
知识回顾
初中时学过的锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中：
b
sin
c
A
a
cos
c
b
tan
a
任意角的三角函数如何定义呢？
c
B
b
a
C
问题1： 锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？
y
sin α＝ y
cos α＝ x
y
tan α＝
x
α
O
1
A.－ ，
2
√
3
2
1
C.－ ，－
2
3
2
B.－
3
1
2 ，－2
D.－
3 1
2 ，2
2π
解析 点 P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为 3 ，
2π
1
2π
3
由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 3 ＝－2，y＝sin 3 ＝ 2 .
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a
5
y 2a 2 5
x
a
所以 sin α＝r ＝
＝ 5 ，cos α＝r ＝
＝5.
5a
5a
(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝－ 5a(a<0)，
2a
2 5
y
所以 sin α＝r ＝
变而改变呢？
由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只
与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.
例 2. (1)角 α 的终边经过点 P(－3，－4)，求角 α 的正弦、余弦和正切值.
3
(2)若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ ，求tan α的值.
1
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，－
23Biblioteka ，25π3
5π 1
5π
所以 sin 3 ＝－ 2 ，cos 3 ＝2，tan 3 ＝－ 3.
问题3：设α是一个任意角，α∈R，P(x,y)为它的终边上的任意一点，将
α的三角函数用点P的坐标表示.
sin α＝
cos α＝
tan α＝
5
3
3
解 (2) ∵cos α＝
＝5，
32＋y2
∴ 3 ＋y ＝5，∴y ＝16，
2
2
2
4
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－3.
P (3,y)
.
y
α
O
x
例3. 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α的值.
解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，
为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值
为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
由于角α用弧度制表示，角α的集合与实数集
之间一一对应，三角函数可以看成是自变量为实
数的函数。
1 2 3 4
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值
等于( A )
1
A.2
1
B.－2
5π
即经过 9 s 后质点 A，B 在单位圆上第一次相遇.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.4.1对数函数的概念
（第一课时）
主讲人：××××中学
张三
通用色：
图标：
主色
辅色
辅色
文字
用色
任意角三角函数的定义
当角α的终边不在y轴上时，上述三个值都是
唯一确定的，所以正弦、余弦、正切都是以角α
y
α
O
P (x,y)
.
Q( x0 , y0 )
1
x
2. 设α是一个任意角，α∈R，点P(x,y)为它终边上任意一点，点P与原点的距离为r,
r x2 y 2
sin α＝
cos α＝
tan α＝
y
α
O
P (x,y)
.
r
x
问题4
对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改
5
y
解 (1)由已知可得 r=|OP|＝ －3 ＋－4 ＝5.
2
于是，sin
cos
2
4
α＝ ＝－5；
3
α＝ ＝－5；
y 4
tan α＝x＝3.
α
O
P (-3,-4)
.
x
例 2. (1)角 α 的终边经过点 P(－3，－4)，求角 α 的正弦、余弦和正切值.
3
(2)若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ ，求tan α的值.
＝－ 5 ，
－ 5a
5
x
a
cos α＝r＝
＝－ 5 .
－ 5a
3
练习: 1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－ ，
5
若点M(x,8)是角θ终边上一点，求x的值
解：
3
x
x
由任意角的三角函数的定义可得，cos θ＝r＝ 2
＝－5，
x ＋64
所以 x=-6
2
练习：2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长 到达点Q，求点Q的
3
坐标.
解：
2π
点 P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为 3 ，
2π
1
2π
3
由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 3 ＝－2，y＝sin 3 ＝ 2 .
小结
直角三角形中定义锐角三角函数
直角坐标系中利用锐角终边与单位圆的交点坐标表示锐角三角函数 sin y, cos x, tan
3
C.－ 2
3
D. 2
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
1
∴r＝2，∴cos α＝2.
P (x,y)
α
O
y
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即
x
y
tan ( x 0)
x
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
1
x
三角函数
定义域
y=sinα
R
y=cosα
R
y tan
k (k Z )
2
解 在直角坐标系中，
y
x
直角坐标系中利用任意角终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数 sin y, cos x, tan
直角坐标系中利用任意角终边上任意一点定义任意角三角函数 sin
y
x
y
, cos , tan
r
r
x
y
x
2π
5.点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 3 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为
P (x,y)
1
x
问题2：如何定义任意角的三角函数？
y
sin α＝ y
cos α＝ x
y
tan α＝
x
P (x,y)
α
O
1
x
任意角三角函数的定义
1. 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
y
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即 x=cosα
π
此时∠BOA 的弧度为3＋3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间.
解
设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，
π
5π
则 t(1＋2)＋3＝2π，解得 t＝ 9 ，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为
(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方
向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针
方向在单位圆上运动.
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
5.2.1三角函数的概念
（第一课时）
知识回顾
初中时学过的锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中：
b
sin
c
A
a
cos
c
b
tan
a
任意角的三角函数如何定义呢？
c
B
b
a
C
问题1： 锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？
y
sin α＝ y
cos α＝ x
y
tan α＝
x
α
O
1
A.－ ，
2
√
3
2
1
C.－ ，－
2
3
2
B.－
3
1
2 ，－2
D.－
3 1
2 ，2
2π
解析 点 P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为 3 ，
2π
1
2π
3
由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 3 ＝－2，y＝sin 3 ＝ 2 .
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a
5
y 2a 2 5
x
a
所以 sin α＝r ＝
＝ 5 ，cos α＝r ＝
＝5.
5a
5a
(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝－ 5a(a<0)，
2a
2 5
y
所以 sin α＝r ＝
变而改变呢？
由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只
与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.
例 2. (1)角 α 的终边经过点 P(－3，－4)，求角 α 的正弦、余弦和正切值.
3
(2)若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ ，求tan α的值.
1
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，－
23Biblioteka ，25π3
5π 1
5π
所以 sin 3 ＝－ 2 ，cos 3 ＝2，tan 3 ＝－ 3.
问题3：设α是一个任意角，α∈R，P(x,y)为它的终边上的任意一点，将
α的三角函数用点P的坐标表示.
sin α＝
cos α＝
tan α＝
5
3
3
解 (2) ∵cos α＝
＝5，
32＋y2
∴ 3 ＋y ＝5，∴y ＝16，
2
2
2
4
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－3.
P (3,y)
.
y
α
O
x
例3. 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α的值.
解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，
为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值
为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
由于角α用弧度制表示，角α的集合与实数集
之间一一对应，三角函数可以看成是自变量为实
数的函数。
1 2 3 4
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值
等于( A )
1
A.2
1
B.－2
5π
即经过 9 s 后质点 A，B 在单位圆上第一次相遇.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.4.1对数函数的概念
（第一课时）
主讲人：××××中学
张三
通用色：
图标：
主色
辅色
辅色
文字
用色
任意角三角函数的定义
当角α的终边不在y轴上时，上述三个值都是
唯一确定的，所以正弦、余弦、正切都是以角α
y
α
O
P (x,y)
.
Q( x0 , y0 )
1
x
2. 设α是一个任意角，α∈R，点P(x,y)为它终边上任意一点，点P与原点的距离为r,
r x2 y 2
sin α＝
cos α＝
tan α＝
y
α
O
P (x,y)
.
r
x
问题4
对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改
5
y
解 (1)由已知可得 r=|OP|＝ －3 ＋－4 ＝5.
2
于是，sin
cos
2
4
α＝ ＝－5；
3
α＝ ＝－5；
y 4
tan α＝x＝3.
α
O
P (-3,-4)
.
x
例 2. (1)角 α 的终边经过点 P(－3，－4)，求角 α 的正弦、余弦和正切值.
3
(2)若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ ，求tan α的值.
＝－ 5 ，
－ 5a
5
x
a
cos α＝r＝
＝－ 5 .
－ 5a
3
练习: 1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－ ，
5
若点M(x,8)是角θ终边上一点，求x的值
解：
3
x
x
由任意角的三角函数的定义可得，cos θ＝r＝ 2
＝－5，
x ＋64
所以 x=-6
2
练习：2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长 到达点Q，求点Q的
3
坐标.
解：
2π
点 P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为 3 ，
2π
1
2π
3
由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 3 ＝－2，y＝sin 3 ＝ 2 .
小结
直角三角形中定义锐角三角函数
直角坐标系中利用锐角终边与单位圆的交点坐标表示锐角三角函数 sin y, cos x, tan
3
C.－ 2
3
D. 2
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
1
∴r＝2，∴cos α＝2.
P (x,y)
α
O
y
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即
x
y
tan ( x 0)
x
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
1
x
三角函数
定义域
y=sinα
R
y=cosα
R
y tan
k (k Z )
2
解 在直角坐标系中，
y
x
直角坐标系中利用任意角终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数 sin y, cos x, tan
直角坐标系中利用任意角终边上任意一点定义任意角三角函数 sin
y
x
y
, cos , tan
r
r
x
y
x
2π
5.点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 3 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为
P (x,y)
1
x
问题2：如何定义任意角的三角函数？
y
sin α＝ y
cos α＝ x
y
tan α＝
x
P (x,y)
α
O
1
x
任意角三角函数的定义
1. 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
y
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即 x=cosα