陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析

高二数学试题（文科）
第I 卷（选择题 共60 分）
【答案】
_J i 2 .
故选
1.设集合
A y|y
ln x, x > 1 ,B
y|t 1 2x ,x R 则 AI B (
).
A . [0 ),1]
B . [0,1)
C . (,1]
D . [0,)
【答
案】 B
【解析】
x > 1 时， ln x > ln1 0,故 A [0,),
因为2x 0,所以1
2x 1，故 B (
,1)，
故AI B
[0,1).
故选B .
一、选择题：本大题共 合题目要求的. 3.已知在 则 n , l 1 , l 2表示直线， ). m , //的一个充分条件是 表示平面. ,I 1
,l 2 , l 1I l 2 M ,
B . m // 且n
C . m
//
且n l
2
m // l 1 且 n // 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
2.已知 i 为虚数单位，复数
导的共轭复数为
|z| ).
3. i 2
1 3. i
2 2
C .
——i 2
3i i 2
【解析】
計的共轭复数为z ，
_2i 2 i
, |z|
|z|
【答案】
【解析】由题意得， m , n 是平面 内的两条直线，l i , I 2是平面 内的两条相交直线, 要使 // ，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可.
故选D .
4 •某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》 、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每
天一部.受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；
《茶馆》不能在周一和周三上演； 《天
籁》不能在周三和周四上演； 《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是(
).
A .《雷雨》只能在周二上演
B .《茶馆》可能在周二或周四上演
C .周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D .四部话剧都有可能在周二上演
【答案】C
【解析】由题意，周一上演《天籁》 ，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 故选C .
5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 ( ).
A . n 6
B . n<6
C . n < 6
D . n < 8
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图，可得 SO , n 2 ,
满足条件，
S 1
2，
n
4 , 满足条件， S 1 1
2 4
3 ,n 6,
4
11
S 为，则判断框中填写的内容可以是
12
1 1 1 11
满足条件，
S
2 & 6悝，n 8，
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出
S 的值为 ，
12
故判断框中填写的内容可以是 n < 6 .
故选C .
1
2 n 6.已知 sin cos -贝 y
3
cos
4
1 1
A .
B —
18 9
【答案】 C
【解析】
本题主要考查三角函数.
因为sin 1
cos -，故(sin
3
cos )2
所以 cos
2
n
—2
cos
J 2
sin
4
2 2
故选C . ( ).
17 C .
D .辽
18
9
1 2sin cos
-2sin 8 cos
9，
9，
1
(12sin cos ) 17
2
18 •
A . P 在厶ABC 内部
B . P 在厶AB
C 外部
C . P 在AB 边所在直线上 【答案】D
ULU uuu uur uuu
【解析】••• PA PB PC AB , uuu uuu uuiu uuu uuci • PA PB PC PB PA , uuir UUL uuu • PC 2PA 2AP ,
••• P 是AC 边的一个三等分点.
故选D .
7.已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点 的关系为（
）.
uuu uuu P 满足PA PB uu
u PC
AB ,则点P 与△ ABC
D . P 在△ ABC 的AC 边的一个三等分点上
8《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一^五步，问勾中容圆，径几何? ”其大意：已知
直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步? 粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（
【答案】A
•••内切圆的面积为n2 9n,
故选A .
【答案】D
【解析】如图，可行域,
•- x 2y (0,2],
• sin(x 2y)的最小值为1，最大值为0.
故选D .”现若向此三角形内随机投一
A. 1
20 3n
20
3n
10
)•
【解析】直角三角形的斜边长为15 17，
设内切圆的半径为r，则815 r 17, 解得r 3 ,
豆子落在内切圆外部的概率3n 20 .
9 •若实数x , y满足x y 1 > 0,
x y > 0,则z sin(x
x w 0,
2y）的最小值与最大值和是（)•
A. 1 si n2
B. sin2
C. 0
D. 1
10•四棱锥P ABCD的三视图如图所示，四棱锥P ABCD的五个顶点都在一个球面上，是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球表面积为（）
•
A • 12 n
B • 24 n
C • 36 n
D . 48 n
【答案】A
【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P ABCD的五个顶点位于
同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，
设该正方体的棱长为a，设处接球的球心为O,则O也是正方体的中心，
设EF中点为G，连接OG , OA, AG ,
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2」2 ,
即正方体面对角线也是 2 2，可得AG .2 A ,
所以正方体棱长a 2 ,
1
••• Rt A OGA中，OG -a 1 , AO 3 ,
即外接球半径R 3,
•••外接球表面积为4 T R212 n.
故答案为：12 n.E、F分别
【答案】
B i (0，b) , h(c,0),
uuuir --B 1F 2
(c,b),
uuuu
r
A 2
B 2
(a,b),
uuur B 1F 2 UJULt 2 AB 2 ca b
0,
即b 2
2 2
ac a c ,
即e 2
2
1 e , e e 1
0,
••• e 1
.5
2
，
由椭圆0 e 1 ,
O 11.如图， 交于P 点, 椭圆的中心在坐标原点 O ,顶点分别是A , A 2, B 若/ BPA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ B 2, 焦点为F 1 , F 2 ,延长B 1F 2与A 2B 2
).
C .亠
4
【解析】
由题意, B 1F 2 _L A 2 B 2 ,
A 2(a,0),
B 2(0,b),
12 .定义：如果函数 f (x)在［a,b ］上存在x, , X 2, (a x, x ? b)，满足f (为)丄^―空,
【答案】
满足 fg f(m) f(0)
m
1 3
2
m m 3 m
•- f(x)
f (X 2)
f(b) f (a)
，则称数冷,X 2为［a,b ］上的 対望数”，函数f(x)为［a,b ］上的 対望函数”. 数 f (x)
b
1 3 x 3
m 是［0,m ］上的 対望函数”，贝U 实数m 的取值范围是(
).
已知函
U 3,3 2
C . (2,3)
D . |，3
【解析】 由题意可知, 在区间［0, m ］存在x 1, x 2(0
X i X 2
m)
,
二 f (x)
x 2 2x ,
•••方程x
2x ^m ：
3
(0,m)有两个解,
2
令 g(x) x 2x
m(0 x m)，
44 2 m
34m
nrt g(x) 1 2 m m 则3
g(m) 1 2 m m 0
0 3
，解得
3
m 1
3
•••实数m 的取值范围是 3 ,3 2
故选D .
第II 卷(非选择题
共90分)
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分. 13.某学校对高三年级一次考试进行抽样分析.
如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方
图，其中抽样成绩的范围是 [96,106]，样本数据分组为
96,98 , 98,100 , 100,102 , 102,104 ,
[104,106].已知样本中成绩小于 100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于 98分且小于104分的人
数是 ___________ .
【答案】90
【解析】本题主要考查频率分布直方图.
成绩小于100分的频率是(0.0500.100) 2 0.300 ,频数是36，故样本容量是 120人,
0.300
成绩大于或等于 98分且小于104分的频率是(0.1000.1500.125) 2 0.750 ,
所以成绩大于或等于 98分且小于104分的人数是120 0.750 90 .
x 1 x W 1
14.函数f(x)
,
，的零点个数为 __________
log 2(x 1),x 1
【答案】3
【解析】①当x < 1时，令f (x) x 2 1
0 , 解得x 1或x 1.
0.150 0.125 0.100 0.075 0.050
②当 x 1 时，令 f (x) log 2(x 1) 0 , 解得x 2 ,
故答案为：3.
2 2
15•已知离心率为2的双曲线 — —1(m,n R)的右焦点与抛物线 y 2 4x 的焦点重合，则
m n
m n
【答案】3
1
3 m 1
4,解得m
-，n -，所以--•
【答案】330 【解析】解：如图，
5
12 由 sin B ，得 cosB -
13
13
又T cos / ADC
3
4
二 cosZ ADB
, sin /ADB -,
5 5
••• sin / BAD sin(B / BDA)
sinBcos Z BDA cosB sin / BDA
_5 3 12 4 13
5 13 5
15 48 33
65
65，
由正弦定理得
故函数f(x)
x 2 1,x W 1 log 2(x 1),x
1的零点个数为
3
-
【解析】由题意可得 16 •在厶ABC 中，D 为边BC 上的一点， BD 33 , sin B
5 13，
cos / ADC
3
,贝U S A
ABD
33 |AB|
sin Z BAD sin/ADB
33
••• | AB |
33
4 13 52,
--S A ABD
33
65
1
-| AB| | AD| sin Z B 52
13
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共
17. （本题满分12分）已知等比数列a n的各项为正数，且9af a?a6（1 ）求a n的通项公式.
（2 ）设nb n logsd log s a? L log 3 a n，若数列b的前n 和为S n 【答案】见解析.
【解析】（1 ）设数列N的公比为q , 70 分).
,a3 2a2 9.，求S100 .
••• 9a f a
2 a
6 ,
2 2
即9a?q
4 2
a2 a?q，解得q 9 ,
又q0,则q 3 ,
••• a32a2 9, 即9a16a1 9，解得a1 3, ••• a n3n.
(2) log3a1log 3 a2L log 3 a n
log 3 ai a2 a3 L a n
log a31
10300
18. （本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此， 某市公交公司在某站台 60名候车乘客中随机抽取 15人，将他们的候车时间作为样本分成 5组，如下表
所示（单位： min ）.
（1 ）求这15名乘客的平均候车时间.
（2） 估计这60名乘客中候车时间少于 10分钟的人数.
（3） 若从下表第三、四组的 6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
【答案】见解析.
1
1
【解析】(1 )
(2.5 2 7.5 6 12.5 4 17.5 2 22.5 1)
157.7 10.5min . 15
15
8
所以候车时间少于
10
分钟的人数为
60
-
32
人
a
1
, a 2 ,比,a 4，第四组乘客编号为 bl , D ,
佝电），佝^3）,（砂4）,⑻七）,（a 「b 2）,
n(1 n)
b n
n(1 n)
2__ n
100 1
101 Soo
候车时间少于 10分钟的概率为
2 6 15
8 15， 从6人中任选两人有包含以下
15个基本事件:
（3）将第三组乘客编号为
(a 2,a 3), @284) , (a 2,bj , @2,鸟),@3,84),
19. (本题满分12分)如图，已知三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，侧面A i ACC i 丄底面ABC ，底面边长和侧棱 长均为2 , AB 6 .
(1 )求证：平面 A.BG 丄平面AB I C . (2 )求四棱锥 A BCC 1B 1的体积.
【答案】见解析.
【解析】(1 )证明：取AC 的中点O , AQ , BO , 因为△ ABC 是等边三角形，所以 BO 丄AC ,
因为侧面A 1ACC 1丄底面ABC ，侧面AAC 。

I 底面ABC AC , BO 丄AC , 所以BO 丄侧面ACGA , AO 侧面ACGA , ••• BO 丄 AO , 在 Rt △ A 1BO 中， 因为 A ,B .6 , BO 3 , 所以 AO 3, AA 2 , AO 1 ,
所以 AO 2 AO 2 AA 2 , 所以△ RAO 为直角三角形, 所以AO 丄AC , 又 BO 丄 AC , AO I BO O ,
所以AC 丄平面ABO , AB 平面ABO , 所以A i B 丄AC , 因为四边形ABB i A i 为菱形，
@,0) , (a 3,b 2),⑻也), (a 4,b 2), (db),
其中两人恰好来自不同组包含
8个基本事件，所以概率为 -.
15
1
所以AB丄AB,,
因为A,BI AC A，所以AB丄平面AB,C .
(2 )由(1)知，AO 丄底面ABC , AQ ■. 3 , 所以三棱锥A ABC的体积为V A ABC A BC AO A3
【答案】见解析.
【解析】(1) ■丁 f (x) (ax
2 x 1)e x,
f (x) (2ax1)e x (ax2 x 1)e x (ax2(2a 1)x)e x ax x 2a 1 x
e, a
当a丄时， f (x) w 0恒成立，故函数 f (x)在R上单调递减；
2
12a 1 ,2a 1 ,
当a < 时，x < 时，f (x) <0 ; < x < 0 时，f(x)>0 ；
2a a
当x>0时，f(x)<0 ；
故函数f (x)在
2a 1
, 上单调递减，a
2a 1
在,0上单调递增，在(0,)上单调递减，a
1
2a 1
当 <a<0 时，x< 0 时，f(x)<0, 0 < x <
时，f(x)>0 ; 2
a
⑴ 2a 1
当 x >
时，f (x) < 0 ；
a
故函数f(x)在(，0)上单调递减，
所以菱形BBiGC 的面积为15 , 设所求为h ，可得-,15 h 2，解得h 2丄5
3
5
所以点A i 到平面BB i C i C 的距离为2艾.
5
20.(本题满分12分)设函数 f(x) (ax x 1)e x , (a 0).
(1 )讨论f (x)的单调性.
(2)当a 1时，函数y
f (x)与 g(x)
^x 2 m 的图象有三个不同的交点，求实数 2
m 的范围.
菱形BB iG C 中，得B 1
C
6 ,
2a 1 2a 1 在0, 丝丄 上单调递增，在 竺」， 上单调递减.
a
a
(2 )当 a 1 时,f (x) g(x)
(x 2
x 1)e x
1 3 x
3
1 2 x m 2
故m ( 2
x x
1)e x
1 3 1 x
2 x ,
3 2
令 h(x) (x 3 4 x 1)e x
1 3 x 3 1
2 x 2
则 h (x)
(x 2 x)e x (x 2 x)
x(x 1)(e x 1),
故当x < 1时， h(x)< 0 ；
当 1<x<0 时，h(x)>0 ； 当 x>0 时， h (x)<0 ；
h( 1)
3 1 -,h(0) 1 ,
e 6
故 3 1 < 1
m < 1(
e 6
1(a b 0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点
P
1
^2_
ULJLJL1D r F 2M 0 •
(1 )求椭圆的标准方程.
(2 )0 O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l ：y kx m 与O O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、B •当
2 3
，且满足- <
< -时，求△ AOB 面积5的取值范围.
【答案】见解析.
uuuu luuuu r
【解析】解：(1 )••• PM F 2M 0 , •••点M 是线段PF 2的中点， ••• OM 是 △ PF 1F 2的中位线,
2 2
21. (本题满分12分)已知F 1、F 2是椭圆Xy 与
a b ujuu
在椭圆上，线段 PF 2与y 轴的交点M 满足PM
uuu uuu OA OB
又••• OM 丄F1F2,
2
2
2
2
PF 1 _L F 1F 2 ,
1
1 2k
ABO
1
|AB| 1
(X 1 X 2)2 4X 1X 2
4km 2 2m 2 2 1 2k 2 4
1 2k 2
1 a
2
a
1
2b b 2 1，解得a c 2
•••椭圆的标准方程为 (2 )•••圆 O 与直线 l 相切,
|m| k 2
1 2
X 联立~2
y
kx
消去y
, (i
2k 2)x 2 4kmx 2m 2
••直线l 与椭圆交于两个不同点,
(4 km)2 4(1 2k 2)(2 m 2
2)>
设 A (N,yJ ， B(X 2』2)，则 X i X 2
4km 2 ，
1 2k
X i X 2
…y i y 2 (kx 2
m)(kx 2 m) k x 1x 2
km(x 1 x 2)
2
2m 2
2
，
1 2k
2
1 k
UUU UJU OA OB
X 1X 2
1 k 2
3 1
4
2(k 5 k 2 6 7)
4(k 4 k 2) 1
3
设 u k 4 k 2，则 一 v u < 2 , 4
3
••• S 关于u 在 ,2单调递增， 4
J 6 22. (本题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程
1
已知圆0:x 2 y 2 4上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线C .
2 (1 )写出曲线C 的参数方程.
(2 )设直线l : x 2y 2 0与曲线C 相交于A , B 两点，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，直线 m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线 l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程. 【答案】见解析.
【解析】
解：
(1)设曲线C 上任意一点P(x, y)，则点Q(x,2y)在圆0上,
x 2y 2
0 (2 )联立 2 2 ，解得
x 4y 4
得 A( 2,0) , B(0,1), 一 1
•线段AB 的中点N 的坐标 1,?,
5(x 1) 1，即 8x 6y 11 0,
3 2 ••• x 2 (2y)2 4，即-y 2 1 ,
7 •直线m 的方程为: 2u 3 o S , u , , ,4u 1 4 3 6 2 S , S(2)-, 4 4 3
•曲线C 的参数方程是
x 2cos
y sin (为参数)，
设直线l 的倾斜角为
，则tan -tan 2 2， 2ta n 1 tan 2
23. (本题满分10分)选修4 5 :不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点P(X1,yJ , Q(X2,y2)之间的直角距离为L(P,Q) |刘X2 | |屮y2 |，已知点A(x,1) , B(1,2) , C(5,3).
(1 )若L(A,B) L(A,C)，求x的取值范围.
(2 )当x R时，不等式L(A,B) W t L(A,C)恒成立，求t的最小值.
【答案】见解析.
【解析】(1 )由定义得|x 1| 1 >|x 5| 2，即|x 1| |x 5|>1 , 当x > 5时，不等式化为4>1，解得x > 5 ;
当1<x<5，不等式化为2x
6>1，解得7<X<5 ;
(2 )当x R时，不等式|x 1| 1 < t |x 5| 2恒成立，也就是t >| x 1| | x 5| 1恒成立,函数令f(x) |x 1| | x 5|，所以f(X)max 4 ,
4, x W 1
2x 6,1 < x W 5 ,
4,x > 5
要使原不等式恒成立只要t > 3即可，故t min 3 .
1 1 4 虫..3
3 2 2
当x<1时，不等式化为4>1无解，故不等式的解集为
1,
所以四棱锥 A BBC i C的体积为2 ,
过C i作G D丄AC交AC的延长线于D，连BD ,
则C i D 丄底面ABC , GD AO .3 ,
在Rt△ C i DC，得CD ,4—3 1 ,
在^BDC 中，BD1 22212 2 2 1 cos120°7,二BD . 7 ,
在Rt △ BC1D 中，得BC1 7 3 ,。