人教版八年级数学下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析)

人教版八年级数学下册期末试卷（培优篇）（Word 版含解析）
一、选择题
1．要使二次根式1x +有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．1≥x
B ．1x >
C ．1x ≥-
D ．1x >- 2．要做一个直角三角形的木架，以下面各组木棒为三边，刚好能做成的是（ ） A ．5，6，7
B ．10，4，8
C ．10，26，24
D ．9，15，17
3．在四边形ABCD 中，连接对角线AC ，已知AB ＝CD ，现增加一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（ ） A ．AB ∥CD B ．AD ＝BC
C ．∠B ＝∠D
D ．∠BAC ＝∠ACD
4．某校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班平均得分
（ ）
A ．9
B ．6.67
C ．9.1
D ．6.74
5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小值是（ ）
A ．2.4
B ．2
C ．1.5
D ．1.2
6．规定：菱形与正方形的接近程度叫做“接近度”，并用d 表示．设菱形的两个相邻内角分别为°α、°β，菱形的接近度定义为180d αβ=--．则下列说法不正确的是（ ） A ．接近度d 越大的菱形越接近于正方形 B ．有一个内角等于100°的菱形的接近度160d = C ．接近度d 的取值范围是0180d ≤≤ D ．当180d =时，该菱形是正方形
7．如图，在ABC 中，点D E 、分别是AB AC 、的中点，10,AC ＝
点F 是DE 上一点，1DF ＝．连接AF CF 、，若90,AFC ∠︒＝则BC 的长度为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
8．如图1，在矩形ABCD 的边AD 上取一点E ，连接BE ．点M ，N 同时以1cm/s 的速度从点B 出发，分别沿折线B -E -D -C 和线段BC 向点C 匀速运动．连接MN ，DN ，设点M 运动的时间为t s ，△BMN 的面积为S cm 2，两点运动过程中，S 与t 的函数关系如图2所示，则当点M 在线段ED 上，且ND 平分∠MNC 时，t 的值等于（ ）
A ．2+25
B ．4+25
C ．14﹣25
D ．12﹣25
二、填空题
9．若
121
x
x -+有意义，则x 的取值范围为_______________． 10．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为__________． 11．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______ ．
12．如图，点E 是矩形纸片ABCD 的边BC 上的一动点，沿直线AE 折叠纸片，点B 落在点
B '位置，连接
C B '．若AB ＝3，BC ＝6，则线段C B '长度的最小值为 ________________．
13．直线y kx b =+与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)-、(0,3)则这条直线的解析式为__________．
14．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是菱
形；③如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）
15．直线y ＝
2
2
x +3与两坐标轴围成的三角形面积是 __________________． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB y ⊥轴，且()0,16A ，12AB =，过点B 作直线l 与y 轴负半轴交于点D .已知点A 关于直线l 的对称点为1A ，连结1BA ，并延长交x 轴于点C .当20BC =时，则点D 的坐标为_______.
三、解答题
17．计算 （1）
182
32
+- （2）123273
+-
（3）(57)(57)2-++ （4）021
4(37)8(12)2
++
⨯-- 18．学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m ，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m （如图所示），求旗杆的高度．
19．如图所示，在77⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点A 、B 均
在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB 为边的菱形ABCD ，菱形的面积为8；
（2）在图中画出腰长为5的等腰三角形ABE ，且点E 在小正方形顶点上； （3）连接CE ，请直接写出线段CE 的长．
20．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ． （1）求证：△AEF ≌△DEB ；
（2）若∠BAC ＝90°，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
21．[阅读材料]
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用秦九韶公式可以更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地求出答案，即三角形的三边长分别为a 、b 、c ，则其面积S 2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦
出一辙，即三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记p ＝
2
a b c
++，则其面积S ＝()()()p p a p b p c ---价的，计算各有优劣，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平． [解决问题]
（1）当三角形的三边a ＝7，b ＝8，c ＝9时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．
（2）当三角形的三边a ＝7，b ＝22，c ＝3时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．
22．黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式． 方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x 次，选择方式一的总费用为y 1（元），选择方式二的总费用为y 2（元）． （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？ 23．在菱形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，，垂足为点
， 垂足为
点G ．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，如图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若菱形ABCD 的面积为
，菱形ABCD 的周长为
，四边
形
的面积为 ，线段DF 的长为 ．
24．如图，一次函数5y x =-+与坐标轴交于,A B 两点，将线段OB 以点O 为中心逆时针旋转一定角度，点B 的对应点落在第二象限的点C 处，且OBC 的面积为10．
（1）求点C 的坐标及直线BC 的表达式；
（2）点D 在直线AB 上第二象限内一点，在BCD △中有一个内角是45︒，求点D 的坐标； （3）过原点О的直线，与直线AB 交于点P ，与直线BC 交于点Q ，在,,O P Q 三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求OCP △的面积．
25．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值. (3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
26．在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 是边AD 上一动点，以CE 为边，在CE 的右侧作正方形CEFG ，连结BF ．
（1）如图1，当点E 与点A 重合时，则BF 的长为 ． （2）如图2，当AE ＝1时，求点F 到AD 的距离和BF 的长． （3）当BF 最短时，请直接写出此时AE 的长．
【参考答案】
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x ＋1≥0，再解即可． 【详解】
解：由题意得：x ＋1≥0， 解得：x ≥−1， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为222
567
+≠，故不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
B、因为222
4810
+≠，故不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
C、因为222
102426
+=，故能作为直角三角形三边长度，符合题意；
D、因为222
91517
+≠，故不能作为直角三角形三边长度，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
【详解】
解：A、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB＝CD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】
解：该班平均得分5889710
587
⨯+⨯+⨯
++
=9.1（分），
故选：C．【点睛】
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5．D
解析：D
【分析】
首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的最小值．
【详解】
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝1
2EF＝1
2
AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝22
AB AC
＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝1
2×3×4＝1
2
×5×AP，
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，
∴AM的最小值是1.2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据接近度的意义，逐项计算判断即可．
【详解】
解：菱形的两个相邻内角°α、°β越接近，菱形越接近于正方形，也就是说αβ-的值越小，菱形越接近于正方形，即接近度d 越大的菱形越接近于正方形，故A 正确，不符合题意；
有一个内角等于100°的菱形的两个邻角的度数分别为100°和80°，
180********d =--=，故B 正确，不符合题意；
∵菱形的两个相邻内角分别为°α、°β，
∴0180αβ≤-<，d 的取值范围是0180d <≤，故C 错误，符合题意； 当180d =时，90αβ==︒，所以该菱形是正方形，故D 正确，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了菱形与正方形的性质，正方形的判定，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据直角三角形的性质求出EF ，进而求出DE ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】
解：90AFC ∠=︒，点E 是AC 的中点，10AC =，
11
10522
EF AC ∴=
=⨯=， 1DF =，
6DE DF EF ∴=+=，
点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
212BC DE ∴==，
故选：C ． 【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．D
解析：D 【分析】
分析图像得出BE 和BC ，求出AB ，作EH ⊥BC 于H ，作EF ∥MN ，M 1N 2∥EF ，作DG ⊥M 1N 2于点G ，求出EF 和M 1N 2，在△DM 1N 2中，利用面积法列出方程，求出t 值即可． 【详解】
解：由题意可得：点M 与点E 重合时，t =5，则BE =5， 当t =10时，点N 与点C 重合，则BC =10， ∵当t =5时，S =10，
∴5102
AB
⨯=
，解得：AB =4， 作EH ⊥BC 于H ，作EF ∥MN ，M 1N 2∥EF ，作DG ⊥M 1N 2于点G ，
则EH =AB =4，BE =BF =5， ∵∠EHB =90°， ∴BH 2254-， ∴HF =2，
∴EF 222425+ ∴M 1N 2=25
设当点M 运动到M 1时，N 2D 平分∠M 1N 2C ， 则DG =DC =4，M 1D =10-AE -EM 1=10-3-（t -5）=12-t ， 在△DM 1N 2中，1121122
DM AB M N DG ⨯⨯=⨯⨯， 即()111242542
2
t ⨯-⨯=⨯， 解得：1225t =- 故选D ． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像，矩形的性质，勾股定理，面积法，解题的关键是读懂图象，了解图象中每个点的实际含义．
二、填空题
9．1
2
x ≤
且1x ≠- 【解析】 【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】
解：由题意得：120x -≥，且10x +≠ 解得：1
2
x ≤
且1x ≠- 故答案为：1
2
x ≤且1x ≠- 【点睛】
本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【解析】
【分析】
因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．【详解】
解：菱形的面积为：1
61030
2
⨯⨯=．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线乘积的一半求出结果．
11．36cm2
【解析】
【分析】
利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积．
【详解】
解：由题意可知：正方形的边长为：22
1086
-=
∴正方形的面积为：6²=36
故答案为：36 cm2．
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形，题目比较简单，正确计算是解题关键．
12．A
解析：35﹣3
【分析】
连接AC，当A、B'、C共线时，C B'的值最小，进而解答即可．
【详解】
解：如图，连接AC．
∵折叠，
∴AB＝A B'＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2222
3635
AB BC
++=
∵C B'≥AC﹣A B'，
∴当A、B'、C共线时，C B'的值最小为：53，
故答案为：53．
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型．
13．y=3x+3．
【分析】
把（-1，0）、（0，3）代入y=kx+b 得到03k b b -+=⎧⎨=⎩
，然后解方程组可． 【详解】
解：根据题意得
03
k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得33k b =⎧⎨=⎩
， 所以直线的解析式为y=3x+3．
故答案为y=3x+3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式：设一次函数的解析式为y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0），然后把函数图象上两个点的坐标代入得到关于k 、b 的方程组，然后解方程组求出k 、b ，从而得到一次函数的解析式．
14．D
解析：①③
【分析】
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【详解】
解：∵DE ∥CA ，DF ∥BA ，∴四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC =90°，四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是矩形，故②错误；
∵AD 平分∠BAC ，四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是菱形，故③正确；
∵AB =AC ，四边形AEDF 是平行四边形，
不能得出AE =AF ，故四边形AEDF 不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】
此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
15．【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线y ＝x+3与两坐标轴围成的三角形面积．
解：当x ＝0时，y ＝3，
∴直线
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的
面积计算公式，即可求出直线y +3与两坐标轴围成的三角形面积． 【详解】
解：当x ＝0时，y ＝3，
∴直线y +3与y 轴的交点坐标为（0，3）；
当y ＝0+3＝0，解得：x ＝﹣
∴直线y
2x +3与x 轴的交点坐标为（﹣0）．
∴直线y
+3与两坐标轴围成的三角形面积为12×|﹣
【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b 是解题的关键．
16．【分析】
先根据已知条件得出B 的坐标(12,16)，然后根据等腰三角形和勾股定理得出E 点坐标(4,0)，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式，即可求出D 点坐标.
【详解】
作BF ⊥OC,垂足为F
解析：()0,8-
【分析】
先根据已知条件得出B 的坐标(12,16)，然后根据等腰三角形和勾股定理得出E 点坐标(4,0)，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式28y x =-，即可求出D 点坐标.
【详解】
作BF ⊥OC,垂足为F
∵()0,16A ，12AB =
∴B(12,16)
∵AB y ⊥
∴AB ∥OC
∴∠ABE=∠BEC
∵A 关于直线l 的对称点为1A
∴∠ABE=∠EBC
∴∠BEC=∠EBC
∴BC=EC=20
在Rt △BFC 中
2222201612CF BC BF =--=
∴EF=20-12=8
∴OE=12-8=4
∴E(4,0)
设直线BD 的解析式为y=kx+b ，把点B ，E 代入解析式得121640
k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得28k b =⎧⎨=-⎩
∴直线BD 的解析式为28y x =- ；
所以D ()0,8-；
故答案：()0,8-
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式及交点、位置、勾股定理、对称等问题，掌握一次函数解析式和交点及找出等腰三角形是解题的关键.
三、解答题
17．（1）1；（2）；（3）0；（4）．
【分析】
（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；
（4）先
解析：（1）1；（2；（3）0；（4）3+ 【分析】
（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；
（4）先运用零次幂、二次根式的性质、完全平方公式化简，然后再计算即可．
【详解】
解：（13
3
=6232+- =4-3
=1；
（2）
=
；
（3）2+ =5-7+2
=0；
（4）02(1+
=41(12)⨯+-
=423+-+
=3+
【点睛】
本题主要考查了二次根式的运算，掌握分母有理化、二次根式的性质成为解答本题的关键．
18．8m
【分析】
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即
可解答．
【详解】
解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+2）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+
解析：8m
【分析】
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】
解：设旗杆的长度为x m，则绳子的长度为：（x+2）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，
解得：x=8，
答：旗杆的高度为8m．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】
(1)根据菱形的性质：菱形的四边都相等，利用网格画出对应的菱形即可；
(2)根据图中所给的AB计算出AB的长不等于5，即AB为底，然后利用勾
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）CE
【解析】
【分析】
(1)根据菱形的性质：菱形的四边都相等，利用网格画出对应的菱形即可；
(2)根据图中所给的AB计算出AB的长不等于5，即AB为底，然后利用勾股定理找出E点即可；
(3)利用勾股定理进行相应的计算即可得到答案.
【详解】
解：(1) 根据菱形的性质：菱形的四边都相等，菱形的面积为8，画出的图形如下图所示
(2)如图所示
22105
∵
=+=≠
AB BP AP
∴AB为等腰三角形ABE的底
∴AE=BE=5
225
∵
=+==
BE BT ET AE
∴下图即为所求
(3)如图所示，连接EC
则由题意得2217
+=
CE CH EH
【点睛】
本题主要考查了应用设计与作图，正确利用网格结合勾股定理是解题的关键.
20．（1）见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS”可证△AEF ≌△DEB ；
（2）先证四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD ＝CD ，可得结论．
【详
解析：（1）见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS ”可证△AEF ≌△DEB ；
（2）先证四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD ＝CD ，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD ＝CD ，
∵点E 是AD 的中点，
∴AE ＝ED ，
∵AF ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠EBD ，
在△AEF 和△DEB 中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEF ≌△DEB （AAS ），
（2）四边形ADCF 是菱形，
理由如下：∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
又∵BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质．证明四边形ADCF是平行四边形是解题的关键．
21．（1）S=12；（2）S＝
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的三边均为整数，可选择海伦公式进行计算；
（2）利用三角形的三边中有无理数，可选择秦九韶公式进行计算．
【详解】
解：（1），
由海伦
解析：（1）S2）S
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的三边均为整数，可选择海伦公式进行计算；
（2）利用三角形的三边中有无理数，可选择秦九韶公式进行计算．
【详解】
解：（1）
789
12
2
p
++
==，
∴由海伦公式得：
S=
=
=
（2）由秦九韶公式得：
S=
=
【点睛】
本题主要考查了数学常识，三角形的面积，二次根式的应用，根据三角形三边数字的特征选择恰当的公式是解题的关键．
22．（1）y1=40x，y2=20x+800；（2）在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二
【分析】
（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x=15代入（
解析：（1）y1=40x，y2=20x+800；（2）在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二
【分析】
（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x=15代入（1）中函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题．【详解】
解：（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y1=40x，
方式二的费用为：y2=20x+800；
（2）若一年内来此游泳馆游泳的次数为60次，
方式一的费用为：y1=40×60=2400（元），
方式二的费用为：y2=20×60+800=2000（元），
∵2400＞2000，
∴在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出y1，y2与x之间的函数表达式，利用一次函数的性质解答．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）78，或
【分析】
（1）如图①中，如图1中，过点作于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）根
解析：（1）见解析；（2），理由见解析；（3）78，或
【分析】
（1）如图①中，如图1中，过点D作于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）根据菱形的周长求出菱形的边长，利用菱形的面积公式求出菱形的高EF，再利用勾股定理求出，利用（2）中结论解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图①中，如图1中，过点D作于．
四边形ABCD是菱形，
，//
AD BC，，
，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
=，
，，AB AC
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，结论：．
理由：过点D作于．
同法可证，，，
．
如图③中，结论：．
理由：过点D作于．
同法可证，，，
．
（3）菱形ABCD的周长为52，
，
菱形ABCD的面积，，
，
，
，
四边形的面积．
，
，
，
如图②中，，
如图③，
故答案为78，或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）；（2），或；（3）5或0或
【解析】
【分析】
（1）由的面积，求出，由，进而求解；
（2）①当为时，证明，得到点的坐标为，进而求解；②当时，过点作轴于点，当时，，即可求解；
（3）分点是中
解析：（1）152
y x =
+；（2）5(2-，15)2或(4,9)-；（3）5或0或5517 【解析】
【分析】
（1）由OBC ∆的面积11||5()1022C C OB x x =⨯⨯=⨯⨯-=，求出4C x =-，由
22222(4)525OC t OB =-+===，进而求解； （2）①当DCB ∠为45︒时，证明()HMR CNH AAS ∆≅∆，得到点R 的坐标为(7,6)--，进而求解；②当45CD A ∠'=︒时，过点D '作D K x '⊥轴于点K ，当4x =-时，59y x =-+=，即可求解；
（3）分点O 是中点、点P 是中点、点Q 是中点三种情况，利用一次函数的性质，求出点P 的坐标，进而求解．
【详解】
解：（1）一次函数5y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，
故点A 、B 的坐标分别为(5,0)、(0,5)，则5OB =，
则OBC ∆的面积11||5()1022
C C OB x x =⨯⨯=⨯⨯-=，
解得4C x =-，
则设点C 的坐标为(4,)t -，
则22222(4)525OC t OB =-+===，
解得3t =，
故点C 的坐标为(4,3)-，
设BC 的表达式为y kx b =+， 则345k b b =-+⎧⎨=⎩，解得125
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故直线BC 的表达式为152y x =
+； （2）令1502
y x =+=，解得10x =-， 设直线BC 交x 轴于点(10,0)H -，
在BCD ∆中有一个内角是45︒，这个角不可能是DBC ∠，
①当DCB ∠为45︒时，
过点H 作RH CD ⊥于点R ，过点H 作y 轴的平行线NM ，交过点R 与x 轴的平行线于点M ，交过点C 与x 轴的平行线于点N ，
45HCR DCB ∠=∠=︒，
CHR ∴∆为等腰直角三角形，则90CHR ∠=︒，CH CR =，
90RHM CHN ∠+∠=︒，90CHN HCN ∠+∠=︒，
RHM HCN ∴∠=∠，
90HMR CNH ∠=∠=︒，CH RH =，
()HMR CNH AAS ∴∆≅∆，
4106HM CN ∴==-+=，3MR NH ==，
故点R 的坐标为(7,6)--，
由点C 、R 坐标，同理可得，直线CR 的表达式为315=+y x ，
联立315=+y x 和5y x =-+并解得52152x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故点D 的坐标为5(2-，
15)2
； ②当45CD A ∠'=︒时， 过点D '作D K x '⊥轴于点K ，
当4x =-时，59y x =-+=，
即点(4,9)D '-；
综上，点D 的坐标为5
(2-，15)2
或(4,9)-； （3）设点P 的坐标为(,5)m m -+，
则OP 的表达式为5m y x m -=
， 联立上式与152
y x =+并解得10103m x m =-， 即点Q 的横坐标为
10103m m -， ①当点O 是中点时，
则点P 、Q 的横坐标互为相反数，
即10103m m m =--， 解得0m =（舍去）或20，
故点P 的坐标为(20,15)-，
②当点P 是中点时，
同理可得：102103m m m
=-， 解得0m =（舍去）或53， 故点P 的坐标为5
(3，10)3
； ③当点Q 是中点时，
同理可得，点10(3P -，25)3
； 当点P 的坐标为5
(3
，10)3时，如图2，
设直线CP 交y 轴于点K ，
由点C 、P 的坐标得：直线CP 的表达式为1551717
y x =
+， 故5517OK =， 则OCP ∆的面积1155555()(4)221736
P C OK x x =⨯⨯-=⨯
⨯+=； 当点P 的坐标为(20,15)-时，
同理可得：OCP ∆的面积0=；
当点P 的坐标为10(3-，25)3时， 同理可得：OCP ∆的面积5=，
综上，OCP ∆的面积为5或0或
5517
． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（1）；（2）t=s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q坐标为：或或或.
【分析】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．证明△COA≌△AHB（AAS），可得
BH=OA=1，AH=OC=2
解析：（1）
1
2
3
y x
=-+；（2）t=
2
3
s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q
坐标为：
618
,
55
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或(3,1)
-或(3,1)
-或
155
,
88
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【分析】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．证明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，
AH=OC=2，求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题．（3）如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．
∵A（1，0）、C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，
∴∠ACO=∠BAH，
∵AC=AB，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=3，
∴B（3，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有
2
31 b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
3
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴123y x =-+； （2）如图2中，
∵四边形ABMN 是平行四边形，
∴AN ∥BM ，
∴直线AN 的解析式为：1133
y x =-+， ∴10,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴103
BM AN ==， ∵B （3，1），C （0，2），
∴BC=10，
∴2103CM BC BM =-=
， ∴21021033
t =÷=， ∴t=23
s 时，四边形ABMN 是平行四边形； （3）如图3中，
如图3中，当OB 为菱形的边时，可得菱形OBQP ，菱形OBP 1Q 1．菱形OBP 3Q 3， 连接OQ 交BC 于E ，
∵OE ⊥BC ，
∴直线OE 的解析式为y=3x ，
由
3
1
2
3
y x
y x
=
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，解得：
3
5
9
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴E（3
5，
9
5
），
∵OE=OQ，
∴Q（6
5，
18
5
），
∵OQ1∥BC，
∴直线OQ1的解析式为y=-1
3
x，
∵OQ1
，设Q1（m，-1
m
3
），
∴m2+1
9
m2=10，
∴m=±3，
可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），
当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，
由
35
1
3
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，解得：
15
8
5
8
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴Q2（15
8，
5
8
-）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为：
618
,
55
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或(3,1)
-或(3,1)
-或
155
,
88
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（1）；（2）点F到AD的距离为3，BF=；（3）2
【分析】
（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC
解析：（1
）2）点F到AD的距离为3，BF
3）2
【分析】
（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，证明△EHF≌△CDE，再用勾股定理即可；
（3）当B ，D ，F 共线时，此时BF 取最小值，求出此时AE 的值即可．
【详解】
解：（1）如图，连接DF ，
∵∠CAF =90°，∠CAD =45°，
∴∠DAF =45°，
在△CAD 和△FAD 中，
AF AC CAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CAD ≌△FAD （SAS ），
∴DF =CD ，
∴∠ADC =∠ADF =90°，
∴C ，D ，F 共线，
∴BF 2=BC 2+CF 2=42+82=80，
∴BF ＝45，
故答案为：45；
（2）如图，过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，FH ⊥BC 交BC 的延长线于K ，
∵四边形CEFG 是正方形，∴EC =EF ，∠FEC =90°，
∴∠DEC +∠FEH =90°，
又∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC =90°，
∴∠DEC +∠ECD =90°，
∴∠ECD =∠FEH ，
又∵∠EDC =∠FHE =90°，
在△ECD 和△FEH 中，
FHE EHC FEH ECD EF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ECD ≌△FEH （AAS ），
∴FH =ED ，
∵AD =4，AE =1，
∴ED =AD -AE =4-1=3，
∴FH =3，即点F 到AD 的距离为3，
∴∠DHK =∠HDC =∠DCK =90°，
∴四边形CDHK 为矩形，
∴HK =CD =4，
∴FK =FH +HK =3+4=7，
∵△ECD ≌△FEH ，
∴EH =CD =AD =4，
∴AE =DH =CK =1，
∴BK =BC +CK =4+1=5，
在Rt △BFK 中，BF
（3）∵当A ，D ，F 三点共线时，BF 的最短，
∴∠CBF =45°，
∴FH =DH ，
由（2）知FH =DE ，EH =CD =4，
∴ED =DH =4÷2=2，
∴AE =2．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要作辅助线构造全等的三角形，在正方形和三角形中辅助线一般是垂线段，要牢记正方形的两个性质，即四边相等，四个内角都是90°．。