福建省2013届高三数学上学期暑假作业 理

福建省南安一中2013届高三上学期数学（理）暑假作业
班级:__________ 座号:__________ 姓名：_______________成绩： 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设集合{}14A x|x =<<，集合{}
2230B x|x x =--≤， 则()R A C B =I ( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．()()1234,,⋃ 2．下列函数中，不满足．．．(2)2()f x f x =的是（ ）
A ．()f x x =
B ．()f x x x =-
C ．()f x x =+1
D ．()f x x =- 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ． 1y x =+ B ． 2
y x =- C ． 1
y x
= D ． ||y x x = 4．下列函数中，与函数31
x
y =
定义域相同的函数为( ) A ．x y sin 1=
B ． x
x y ln = C ．x
y xe = D ． x x y sin = 5．若集合{}{}1102A ,,B ,=-=，则集合{}z |z x y,x A,y B =+∈∈的子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．8 D ．16
6．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
7．椭圆22
2210x y (a,b )a b
+=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦
为AB ，若︒=∠901B AF ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
)22(2
1- B ．12- C ．12+
D ．
)22(2
1+
8．设12F ,F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32
a
x =上一点，
12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．23 C ．34 D ．4
5
9．设函数1221
11
x ,x f (x )log x,x -⎧≤=⎨->⎩，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞）
D ．[0，+∞）
10．已知函数2
()1,()43,x
f x e
g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ）
A
．[22+ B
．(22 C ．[1,3] D ．(1,3) 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分共20分） 11．（课本第44页A6
）函数y =
的定义域是
12．（课本第44页A9改编）若函数2
48y x kx =--在[]520,上单调递增，则实数k 的取值范围
13．若{}
{}211A x|x ,B x|ax ====，若B A ⊆，则a =
14．已知P,Q 为抛物线2
2x y =上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的坐标．．
为__________． 15．设集合{12}n P n =，，，…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n p ∈，则A C x n
p ∉2．
则(4)f ＝
三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16． （本题满分13分）
已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|. （Ⅰ）求B A Y ，()B A C R I ；
（Ⅱ）若()B A C Y ⊆，求a 的取值范围.
17．（本题满分13分）
已知函数)0,,(1)(2
≠++=a b a bx ax x f 且为实数，R x ∈时，函数)(x f 的最小值是.0)1(=-f
（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若],[)](,[1)()(n m n m n m x f x g 上的值域也为在区间<-=，求m 和n 的值．
18．（本题满分13分）
设p :实数x 满足2
2
430x ax a -+<,其中0a ≠,:q 实数x 满足2
260,
280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩
（Ⅰ）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．
19．（本题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =
C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，弦AB 过1F ，且1AB k =，求2ABF ∆的面积． 20．（本题满分14分）
已知函数24
()(0)x ax f x x x
++=
≠为奇函数， (Ⅰ)求实数a 的值；
（Ⅱ）试用单调性的定义．．．．．．证明函数()f x 在区间(0,2]单调递减，在区间(2,)+∞单调递增； （Ⅲ）是否存在实数k 同时满足以下两个条件：①不等式()02
k
f x +
>对(0,)x ∈+∞恒成立；②方程()f x k =在[]61x ,∈--上有解．若存在，试求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）（每一小题各7分）
①（选修4－2）如图，矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，变换T 所对应的矩阵为M ，矩阵N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵． （Ⅰ）求MN ；
（Ⅱ）求直线2310x y ++=在MN 作用下所得直线的方程．
②（选修4－4）在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l ：π
4θ=
与曲线C ：21,(1)
x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的一般方程； （Ⅱ）求线段AB 的中点的直角坐标．
南安一中2013届高三数学暑假试卷（理科）答案2012．07．28
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．B ．【解析】{}13B x|x =-≤≤，(){}{}1413R A C B x|x x|x x =<<<->I I
或
{}34x|x =<<，故选B ．
2．C ．【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件． 3．D ．【解析】易知A 非奇非偶的增函数；B 是偶函数；C 是奇函数且在)0,(-∞，),0(+∞上
是减函数；D 中函数可化为⎩
⎨⎧<-≥=0,0,22x x x x y 易知是奇函数且是增函数．故选D ．
4．D ．【解析】函数31
x
y =
的定义域为}0{≠x x ．所以定义域相同的是D,选D ． 5．C ．【解析】当1-=x 时，2,0=y ，此时1,1-=+=y x z ．当1=x 时，2,0=y ，此时
3,1=+=y x z ，所以集合{}113Z ,,=-,共三个元素，子集个数328＝，选C ．
6．B ．【解析】充分：若()y f x =是奇函数，则()()()f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称；不必要：取偶函数()2
y f x x ==，则()2
f x x =，图象关于y 轴对
称．
7．B ．【解析】因为︒=∠901B AF ，所以12AF F ∆是等腰直角三角形，所以
212AF c,AF ==
所以)
1222
1a AF AF c =+=，所以)
11e =
，所以1e =
8． C ．【解析】因为12PF F ∆是底角为30o
的等腰三角形，则有P F F F 212=，因为
02130=∠F PF ，
所以0
260
=∠D PF ,0
230
=∠DPF ，所以
21222
1
21F F PF D F ==
，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4
3=e ，选C ． 9．D ．【解析】若1x ≤：1221101x
,x ,x -≤∴-≤∴≤≤
若1x >：21121log x ,x -<<∴>，综上，0x ≥．
10．B 【解析】由题可知()11x
f x e =->-，2
2
()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有
()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2
431b b -+->-
，解得22b <
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分共20分） 11．[)2,+∞【解析】由20
50
x x -≥⎧⎨
+≥⎩ 有2x ≥
12．(]40,-∞【解析】对称轴5408
k
x ,k =
≤∴≤ 13．011,,-【解析】若B φ=，则0a =；若B φ≠，则1a =±； 14．()14,- 【解析】()()4822P ,,Q ,-.由22
12,,,2
x y y x y x '==
∴=则所以过点P,Q 的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P,Q 的切线分别为48,22,y x y x =-=--联立解得
1,4,x y ==-
15．(4)f =4【解析】）当=4n 时，集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，，∴
(4)f =4．
三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16． 解：（Ⅰ） {}102|<<=x x B A Y ，……………………………2分 {}
73|≥<=x x x A C R 或Θ，…………………………4分 ∴(){}
10732|<≤<<=x x x B A C R 或I ；…………………6分 （Ⅱ）由（1）知{}102|<<=x x B A Y ，
①当φ=C 时，满足()B A C Y ⊆，此时a a ≥-5，得2
5
≤
a ； ………………9分 ②当φ≠C 时，要()B A C Y ⊆，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-<-10
255a a a
a ，解得325≤<a ；……………12分
由①②得，3≤a . …………………………13分
17． 解：（Ⅰ）由已知2,1.12,01==-=-
=+-b a a
b
b a 解得且， ∴函数12)()(2
++=x x x f x f 的解析式是．………4分 （Ⅱ）11)1(21)()(2
2
-≥-+=+=-=x x x x f x g ，………5分
因为)(x g 的值域为[]m,n ，所以1-≥m ，………7分 又因为)(x g 在),1(+∞-是单调递增函数，
所以)(x g ],[n m 在区间上为单调递增函数，………9分
故(),(),g m m g n n =⎧⎨=⎩2
2
2,2.
m m m n n n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即 又因为.0,1,=-=<n m n m 可解得
所以m 和n 的值分别为10m ,n =-=．………13分 18．解：（Ⅰ）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，
当1a =时，解得1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <． ………2分
由2
260280
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤ ………4分
若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是()23,．………6分 （Ⅱ）p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， ………8分 设A ={}()x p x , B ={}
()x q x , 则A ⊃≠B ,又(2,3]B =, 当0a >时，A =(,3)a a ；0a <时，()3,A a a =．
所以当0a >时，有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩
解得12;a <≤
当0a <时，显然A B =∅I ，不合题意． 所以实数a 的取值范围是12a <≤．………13分
19．解：
（Ⅰ）由2223c e c a a =
==，所以222213
b a
c a =-=
设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b +=，所以22222
2(1)3y x a a y b
=-=- (2)
分
||PQ ===………4分
b y b -≤≤Q
所以当1b -≤-，即1b ≥时，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =
所以1,b c ==
当1b ->-即1b <时，3PQ <
=< 不合题意
故椭圆C 的方程为：2
213
x y +=………7分
（Ⅱ）由(I)知())
12
00F ,F ，直线AB ：y x =+，即x y =8分
把x y =-2
213
x y += 有2410y --=………9分 设A 、B 两点的坐标分别为()11x ,y 和()22x ,y ，
则816240∆=+=>，且1212124y y ,y y +=
=-
所以122
y y -=
=
………10分
所以212121212122
ABF AF F BF F S S S F F y y ∆∆∆=+=
-==
即2ABF ∆13分
20．解：(Ⅰ) 2244
()x ax x ax f x x x
-+-+-==--
因为24
()(0)x ax f x x x
++=
≠为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以0a a,a =-∴=． ………2分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，4()f x x x
=+
． 任取12,(0,2]x x ∈，且12x x <，
121212121212
444
()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+
-+=-， …………4分 ∵1202x x <<≤，∴120x x -<，120x x >，1240x x -<， ∴1212()()0,()()f x f x f x f x ->>，
所以，函数()f x 在区间(0,2]单调递减． ……………5分 类似地，可证()f x 在区间(2,)+∞单调递增． ……………6分
（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数()f x 在(0,)x ∈+∞上有最小值()24f = 故若()02k f x +
>对(0,)x ∈+∞恒成立，则需min ()02
k
f x +>，则8k >-……8分 对于条件②：由（Ⅱ）可知函数()f x 在(,2)-∞-单调递增，在[2,0)-单调递减， ∴函数()f x 在[]6,2--单调递增，在[]2,1--单调递减，又()20
63
f -=-
，()24f -=-，()15f -=-，所以函数()f x 在[]61,--上的值域为2043,⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
……………10分
若方程()f x k =在[]61,--有解，则需20
43
k -
≤≤-．……………12分 若同时满足条件①②，则需82043
k
k -<⎧⎪
⎨-≤≤-⎪⎩，所以2043k -≤≤-
答：当20
43
k -≤≤-时，条件①②同时满足．……14分
21．（本题满分14分）（每一小题各7分） ①（选修4－2）
解：（Ⅰ）设矩阵a b M c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则点''
(2,0)(0,2),(2,1)(1,3)A A B B →→-
故220022a b a c d c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，221123a b a b c d c d +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即20222123a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩ 解得01
11
a b c d =⎧⎪=-⎪
⎨=⎪⎪=⎩，∴0111M -⎛⎫= ⎪⎝⎭………2分,又矩阵2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……
3分
∴012003110323MN --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………4分 （Ⅱ）MN 所对应的线性变换为32233x y x x y ,x y x y y ''+⎧
=⎪'=-⎧⎪∴⎨⎨
'
'=+⎩⎪=-⎪⎩
代入2310x y ++=有10y '+=
即直线2310x y ++=在MN 作用下所得直线的方程为10y +=．………7分 ②（选修4－4）解：（Ⅰ）直线l ：y x =；………2分 曲线C ：2
2
2
)2()11()1(-=--=-=x x t y ………4分
（Ⅱ）把y x =代入()2
2y x =-，消去y 有0452
=+-x x ，………5分
设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则由韦达定理有
2520=+=
B A x x x ,又由于点P 在直线x y =上，因此AB 的中点)2
5
,25(P ．………7分。