直线与椭圆的位置关系的另类判别方法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１
／
图 ４
联 立直 线 与 椭 圆 的方 程 得
ｆ ｘ ｎ＋ ＝ ， ＋ｙ ｔ ０ ｍ
＝
？ｔ Ｔ ２Ｃ２
＂ 山
ｍ。６ ＋ｃ） ｍ２２ 即 ２ ＝ ａ 所 以 上 （ ＝ 。， ｔ ２
，
～、 ＼
、
０ Βιβλιοθήκη ｍ／ ±ａ 此 时２ ， 的方程为 ｘ＝土ａ 所以直线２ ， 与椭圆 相切． ｍ ２ｃ２ 若 ｄ ． ２＞ ｂ， — １ｄ ２即 ￥ ２ ＞ｂ时， ２ 整理
（ 当 直 线 ｌ Ｘ轴 垂 直 时 ， ｎ ＝ ０ 寸 １ Ｊ 与 即 日，
直 线方 程 为 ＝ 一 ｔ
，
证明：１ 点 Ｆ 、Ｆ 分别位于直线 ｆ （） ｌ ２ 的两侧，
或点 Ｆ 或 Ｆ 在直线ｆ ｌ ２ 上时， 图 １ 如 所示， 此时直
此ｄＩ＋，＝ ｃ 时＝三ｃ 一一 一 ｌ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ｍ ｄ ｍ 所ｄ２ ＋・ 以＂ Ｉ ｃ ｃ ｌ－ ｆｍ Ｉ ｄ一 ｌ 一 ￣ｍ Ｊ Ｉ 一 ＝ 『 Ｉ ｌ Ｊ ．
／
图３
为ｄ＝ １
所
Ｉ２ Ｉｃ １ ｄ ＝丽 ＋ｔ ｍ
．
．２ ｄ＝
Ｖ ‘ 十 ｎ ‘ ｍ
・［ｃ ｔ 丽 ＋ｌ ｍ
Ｖ ｍ 十 ｎ
当ｄ ．２＜ｂ 时， ＞０ 所 以直线２ １ｄ △ ， 与椭 圆
＝
相交 （ 如图４． ）
Ｉ 一ｍ 。 ｔ 一ｍ２２ ｔ 。 ｃＩ ２ ｃ
关 系的判别是否有类似 的方法呢？ 结论 已知直线 ｆ ｍｘ ｙ ＝０ ｍ。 ： ＋ｎ ＋ｔ （ ＋
图 １
。
（） Ｆ 、Ｆ 位于直线的同侧时， ２点 １ ２
礼 ≠ 。 与椭 圆： ２＋ ｙ ） ２ ｘ
＝ １。＞６＞０， （ ）椭
设ｇｘＹ ＝ｍ ｙ ， （ ０与ｇ－ ， （，） ＋ｎ ＋ｔ则ｇｃ ） （ ｃ ，
法 【． Ｊ 数学教学，０９９． ８ ２． １ ２０ （） ２ — ９
２１ 年第 ５ ００ 期
数 学教 学
图 ２． ）
：
５３ —３
Ｉ ｌ ＝
若 ｃ ．ｆ ６ ， — ｆ （ １ ２： ２ 即 ／ ； ２
＿ —
所 以当ｄ ・２＞ｂ时， ｌｄ 直线 ２ 与椭圆相离 （ 如
６ 时，２ 。 ｔ：
交．
同理 ， ｄ ｄ 当 １． ２＝ ｂ 时 ， ＝ ０ 所 以直 线 ｌ 。 △ ，
与椭圆相切 （ 图３ 如 ）
（） ｉ 当直线 轴不垂直， ｉ 与ｚ 即ｎ≠ ０ 时， 由点到直线 ｌ 的距离 公式知， Ｆ （ ｃ０、 点 ｌ一 ，）
／
．
Ｆ （，） ２ｃ０到直线 ２ ｍ ＋ｎ ： ｙ＋ｔ 的距离分别 ＝０
０ 同号， ） 即
圆左、右焦点分别为Ｆ （ ｃ０、Ｆ （，）点Ｆ、 ｌ一 ，） ２ｃ０， ｌ
Ｆ 到直线２ ２ 的距离分别为ｄ 、ｄ ， １ ２ 则
ｇｃ０ ・（ ｃ０ （ ） ｇ－ ，）＝ （ ＋ｔ（ ｍｃ ）＝ ， ｍｃ ）一 ＋ｔ
ｔ ２一 ｍ ２ ２ ＞ ０ ｃ
． … … … … … … … … … … … … … … ． ．
＝
线ｆ 与椭圆必相交．
（，） １３． ２ ２２ （ —９ ） ２ 十２ ０
１ ３’
－
（ Ａ天 － 线 ｘ－ｙ ＝Ｏ丑 灯 杯 点 坐 杯 ． Ｊ ｋ且 － ＋ｃ 可
解：（） １设对称点Ｂ（ｌＹ）则由求对称点 ｘ，１，
公式 得
１
１ ・
・
＝
＝
＿ｃ ｊ
— 虿 — 一 ｍ ２＋ ｎ２ ’ ｍ ２＋ ｎ２
若ｄ ． ２＞６， — ＿Ｔ２２＞ｂ 时 整 理 １ｄ 即 ｔ ．Ｃ ２ ／ ｔ ２
，
一 、
、 ／
。
得
ｔ ＞ ｍ ２ ２ ｍ ｎ２ ＝ ｍ ２ ２ ｎ ｂ ．． ０ ｃ＋ ６＋ ｂ ａ ＋ ２ ． ②
＿
—
７ ‘ ｎ
得 ｔ ｍ ＞ ｍ 即 ｔ 一 Ｃ ｂ， ＞ ｍ。６ ＋Ｃ） （ 。 ＝
２
，
ｌ ／
／ 图２
所 以
或 ＞ ａ ， 上 ＞ ０ 土 ＜ 一０ ２即
竹 ＂１
，
此时直线ｌ 垂直于椭圆的长轴且位于椭 圆的两侧． 所 以直 线 ｌ 与椭 圆相 离 ． 同理可得， ｄ ・２ ｂ， 若 ｌ ｄ ＜ 则直线 １ 与椭圆相
例２ 已 知点Ａ ｘ ， ） （ｏｙ ． ｏ
’ ■ —
・
－
－
Ｘ －ｃ ｏ｛ ， －
所 以对 称点是 （ｏ ，Ｏ ） Ｙ —ＣＸ ＋ｃ．
参考文献 ．
ｆ 姚 格．圆锥 曲线 的轴 对 称 图形 方 程 的求 ｉ １
（ 求Ａ １ ） 关于直线ｘ ｙ ｃ Ｏ ＋ ＋ ＝ 的对称点坐标；
①
（） １ 两焦点分别位于直线 ｆ 的两侧、点目 或 Ｆ 在直线２ ２ 上时， 直线 ２ 与椭 圆相交．
（） ２ 两焦点位于直线２ 的同侧时， 若 ｄ ・ ２ ｂ， １ ｄ ＝ 则直线 ｆ 与椭 圆相切； 若 ｄ ・２＞ｂ， １ｄ 则直线 ２ 与椭 圆相离； 若 ｄ －２＜ｂ， ｌｄ ２ 则直线 ｆ 与椭 圆相交．
一
３ ２２ 十２ （ —９ ）
３ ０
１ ３’
故直线的法 向量 为
２ ０
，一
器． ）
将点Ｐ １ ） （ ３按此向量平移， ，
（） ＝ 一 １ ・ （ ｙ＋ｃ ＝ ２ 。 —ｘ－ ｏ ） ２ ｏ
Ｙ Ｙ
＝ 。一 １ －
一 ｃ，
十 ＝ ， （０ 两 詈。 一／ ， 嚣 ３＼ ）９ 一 ＋ 面＝ ’ 十 ３一 故称Ｑ３ ） 对点（， ． ３
５３ —２
数学教 学
２１年第 ５ ００ 期
直线 与椭 圆的位 置关 系的 另类 判 别方法
２１ ５ 上海市尚德实验学校 晏银林 ０１ ３
直线与 圆锥 曲线的位置关 系问题是高 中数 学里常见的一类数学 问题， 联立方 程组， 然后根
据所得到的一元二次方 程判别式的正负来加以 判别是我们常用的方法．但是 圆与直线的位置 关系却可以借助圆心到 直线 的距离与圆的半径 的大小加以比较来确定， 那么椭圆与直线的位置
／
图 ４
联 立直 线 与 椭 圆 的方 程 得
ｆ ｘ ｎ＋ ＝ ， ＋ｙ ｔ ０ ｍ
＝
？ｔ Ｔ ２Ｃ２
＂ 山
ｍ。６ ＋ｃ） ｍ２２ 即 ２ ＝ ａ 所 以 上 （ ＝ 。， ｔ ２
，
～、 ＼
、
０ Βιβλιοθήκη ｍ／ ±ａ 此 时２ ， 的方程为 ｘ＝土ａ 所以直线２ ， 与椭圆 相切． ｍ ２ｃ２ 若 ｄ ． ２＞ ｂ， — １ｄ ２即 ￥ ２ ＞ｂ时， ２ 整理
（ 当 直 线 ｌ Ｘ轴 垂 直 时 ， ｎ ＝ ０ 寸 １ Ｊ 与 即 日，
直 线方 程 为 ＝ 一 ｔ
，
证明：１ 点 Ｆ 、Ｆ 分别位于直线 ｆ （） ｌ ２ 的两侧，
或点 Ｆ 或 Ｆ 在直线ｆ ｌ ２ 上时， 图 １ 如 所示， 此时直
此ｄＩ＋，＝ ｃ 时＝三ｃ 一一 一 ｌ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ｍ ｄ ｍ 所ｄ２ ＋・ 以＂ Ｉ ｃ ｃ ｌ－ ｆｍ Ｉ ｄ一 ｌ 一 ￣ｍ Ｊ Ｉ 一 ＝ 『 Ｉ ｌ Ｊ ．
／
图３
为ｄ＝ １
所
Ｉ２ Ｉｃ １ ｄ ＝丽 ＋ｔ ｍ
．
．２ ｄ＝
Ｖ ‘ 十 ｎ ‘ ｍ
・［ｃ ｔ 丽 ＋ｌ ｍ
Ｖ ｍ 十 ｎ
当ｄ ．２＜ｂ 时， ＞０ 所 以直线２ １ｄ △ ， 与椭 圆
＝
相交 （ 如图４． ）
Ｉ 一ｍ 。 ｔ 一ｍ２２ ｔ 。 ｃＩ ２ ｃ
关 系的判别是否有类似 的方法呢？ 结论 已知直线 ｆ ｍｘ ｙ ＝０ ｍ。 ： ＋ｎ ＋ｔ （ ＋
图 １
。
（） Ｆ 、Ｆ 位于直线的同侧时， ２点 １ ２
礼 ≠ 。 与椭 圆： ２＋ ｙ ） ２ ｘ
＝ １。＞６＞０， （ ）椭
设ｇｘＹ ＝ｍ ｙ ， （ ０与ｇ－ ， （，） ＋ｎ ＋ｔ则ｇｃ ） （ ｃ ，
法 【． Ｊ 数学教学，０９９． ８ ２． １ ２０ （） ２ — ９
２１ 年第 ５ ００ 期
数 学教 学
图 ２． ）
：
５３ —３
Ｉ ｌ ＝
若 ｃ ．ｆ ６ ， — ｆ （ １ ２： ２ 即 ／ ； ２
＿ —
所 以当ｄ ・２＞ｂ时， ｌｄ 直线 ２ 与椭圆相离 （ 如
６ 时，２ 。 ｔ：
交．
同理 ， ｄ ｄ 当 １． ２＝ ｂ 时 ， ＝ ０ 所 以直 线 ｌ 。 △ ，
与椭圆相切 （ 图３ 如 ）
（） ｉ 当直线 轴不垂直， ｉ 与ｚ 即ｎ≠ ０ 时， 由点到直线 ｌ 的距离 公式知， Ｆ （ ｃ０、 点 ｌ一 ，）
／
．
Ｆ （，） ２ｃ０到直线 ２ ｍ ＋ｎ ： ｙ＋ｔ 的距离分别 ＝０
０ 同号， ） 即
圆左、右焦点分别为Ｆ （ ｃ０、Ｆ （，）点Ｆ、 ｌ一 ，） ２ｃ０， ｌ
Ｆ 到直线２ ２ 的距离分别为ｄ 、ｄ ， １ ２ 则
ｇｃ０ ・（ ｃ０ （ ） ｇ－ ，）＝ （ ＋ｔ（ ｍｃ ）＝ ， ｍｃ ）一 ＋ｔ
ｔ ２一 ｍ ２ ２ ＞ ０ ｃ
． … … … … … … … … … … … … … … ． ．
＝
线ｆ 与椭圆必相交．
（，） １３． ２ ２２ （ —９ ） ２ 十２ ０
１ ３’
－
（ Ａ天 － 线 ｘ－ｙ ＝Ｏ丑 灯 杯 点 坐 杯 ． Ｊ ｋ且 － ＋ｃ 可
解：（） １设对称点Ｂ（ｌＹ）则由求对称点 ｘ，１，
公式 得
１
１ ・
・
＝
＝
＿ｃ ｊ
— 虿 — 一 ｍ ２＋ ｎ２ ’ ｍ ２＋ ｎ２
若ｄ ． ２＞６， — ＿Ｔ２２＞ｂ 时 整 理 １ｄ 即 ｔ ．Ｃ ２ ／ ｔ ２
，
一 、
、 ／
。
得
ｔ ＞ ｍ ２ ２ ｍ ｎ２ ＝ ｍ ２ ２ ｎ ｂ ．． ０ ｃ＋ ６＋ ｂ ａ ＋ ２ ． ②
＿
—
７ ‘ ｎ
得 ｔ ｍ ＞ ｍ 即 ｔ 一 Ｃ ｂ， ＞ ｍ。６ ＋Ｃ） （ 。 ＝
２
，
ｌ ／
／ 图２
所 以
或 ＞ ａ ， 上 ＞ ０ 土 ＜ 一０ ２即
竹 ＂１
，
此时直线ｌ 垂直于椭圆的长轴且位于椭 圆的两侧． 所 以直 线 ｌ 与椭 圆相 离 ． 同理可得， ｄ ・２ ｂ， 若 ｌ ｄ ＜ 则直线 １ 与椭圆相
例２ 已 知点Ａ ｘ ， ） （ｏｙ ． ｏ
’ ■ —
・
－
－
Ｘ －ｃ ｏ｛ ， －
所 以对 称点是 （ｏ ，Ｏ ） Ｙ —ＣＸ ＋ｃ．
参考文献 ．
ｆ 姚 格．圆锥 曲线 的轴 对 称 图形 方 程 的求 ｉ １
（ 求Ａ １ ） 关于直线ｘ ｙ ｃ Ｏ ＋ ＋ ＝ 的对称点坐标；
①
（） １ 两焦点分别位于直线 ｆ 的两侧、点目 或 Ｆ 在直线２ ２ 上时， 直线 ２ 与椭 圆相交．
（） ２ 两焦点位于直线２ 的同侧时， 若 ｄ ・ ２ ｂ， １ ｄ ＝ 则直线 ｆ 与椭 圆相切； 若 ｄ ・２＞ｂ， １ｄ 则直线 ２ 与椭 圆相离； 若 ｄ －２＜ｂ， ｌｄ ２ 则直线 ｆ 与椭 圆相交．
一
３ ２２ 十２ （ —９ ）
３ ０
１ ３’
故直线的法 向量 为
２ ０
，一
器． ）
将点Ｐ １ ） （ ３按此向量平移， ，
（） ＝ 一 １ ・ （ ｙ＋ｃ ＝ ２ 。 —ｘ－ ｏ ） ２ ｏ
Ｙ Ｙ
＝ 。一 １ －
一 ｃ，
十 ＝ ， （０ 两 詈。 一／ ， 嚣 ３＼ ）９ 一 ＋ 面＝ ’ 十 ３一 故称Ｑ３ ） 对点（， ． ３
５３ —２
数学教 学
２１年第 ５ ００ 期
直线 与椭 圆的位 置关 系的 另类 判 别方法
２１ ５ 上海市尚德实验学校 晏银林 ０１ ３
直线与 圆锥 曲线的位置关 系问题是高 中数 学里常见的一类数学 问题， 联立方 程组， 然后根
据所得到的一元二次方 程判别式的正负来加以 判别是我们常用的方法．但是 圆与直线的位置 关系却可以借助圆心到 直线 的距离与圆的半径 的大小加以比较来确定， 那么椭圆与直线的位置