北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明1 第1课时 等腰三角形的性质
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三角形 的证明
新知一览
等腰三角形
等腰三角形的性质 等边三角形的性质
直角三角形
线段的垂直 平分线
角平分线
等腰三角形的判定 与反证法
等边三角形的判定 及含 30° 角的
直角三角形的性质
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
埃及金字塔
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
B DF E C 图②
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 于 G. A
∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG.
图①
∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE.
B
D GE C
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
A
∴ BF＝CF.
想一想，不构造辅
问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理：等腰三角形的两个底角相等. 推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗?
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方 法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相 等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
则∠AED 的度数为( C )
A.60°
B.90° D
A
C. 80°
D. 20°
B
EC
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
A
A
B DE C 图①
图②
∵ AB＝AC，
助线可以结论吗？
∴ AF⊥BC.
B DFE C
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
等腰 三角 形的 性质
等边对等角 三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高、中线和底角
B DC
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有 怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
A
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD
=∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、
证一证
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
方法一：作底边上的中线
A
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
还有其他的证法吗？
BD C
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C.
方法二：作顶角的平分线
A
证明：作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
A
D
∴∠C =∠F (等量代换).
∵ BC = EF (已知)，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
B CE F
知识要点 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等 (AAS).
根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2 等腰三角形的性质及其推论
B D C 顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：如图，在 △ABC 中，
A
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
B
C
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 及底边上的高线互相重合(三线合一）.
练一练 1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8. 三边分别相等的两个三角形全等.
1 全等三角形的判定和性质
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等 (AAS).
问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明 上面的推论吗？ 依据命题画出几何图形 → 用数学符号语言写出 “已知”“求证”→ 最后写出证明过程.
斜拉桥梁
体育观看台架
问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我
们学了哪 8 条基本事实？ 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直. 4. 同位角相等，两直线平行. 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
④ 0°＜顶角＜180° ⑤ 0°＜底角＜90°
的平分线不具有这一性质.
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使 △ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件 可以是__∠__C__＝__∠__D__(答__案__不__唯__一__)__．
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __7_5_°_，__3_0_°_；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 _7_2_°_，__7_2_°_，__或__3_6_°_，__1_0_8_°_；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_3_0_°_，__3_0_°.
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角＋2×底角＝180° ② 顶角＝180°－2×底角 ③ 底角＝(180°－顶角)÷2
新知一览
等腰三角形
等腰三角形的性质 等边三角形的性质
直角三角形
线段的垂直 平分线
角平分线
等腰三角形的判定 与反证法
等边三角形的判定 及含 30° 角的
直角三角形的性质
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
埃及金字塔
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
B DF E C 图②
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 于 G. A
∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG.
图①
∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE.
B
D GE C
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
A
∴ BF＝CF.
想一想，不构造辅
问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理：等腰三角形的两个底角相等. 推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗?
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方 法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相 等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
则∠AED 的度数为( C )
A.60°
B.90° D
A
C. 80°
D. 20°
B
EC
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
A
A
B DE C 图①
图②
∵ AB＝AC，
助线可以结论吗？
∴ AF⊥BC.
B DFE C
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
等腰 三角 形的 性质
等边对等角 三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高、中线和底角
B DC
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有 怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
A
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD
=∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、
证一证
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
方法一：作底边上的中线
A
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
还有其他的证法吗？
BD C
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C.
方法二：作顶角的平分线
A
证明：作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
A
D
∴∠C =∠F (等量代换).
∵ BC = EF (已知)，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
B CE F
知识要点 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等 (AAS).
根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2 等腰三角形的性质及其推论
B D C 顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：如图，在 △ABC 中，
A
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
B
C
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 及底边上的高线互相重合(三线合一）.
练一练 1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8. 三边分别相等的两个三角形全等.
1 全等三角形的判定和性质
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等 (AAS).
问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明 上面的推论吗？ 依据命题画出几何图形 → 用数学符号语言写出 “已知”“求证”→ 最后写出证明过程.
斜拉桥梁
体育观看台架
问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我
们学了哪 8 条基本事实？ 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直. 4. 同位角相等，两直线平行. 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
④ 0°＜顶角＜180° ⑤ 0°＜底角＜90°
的平分线不具有这一性质.
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使 △ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件 可以是__∠__C__＝__∠__D__(答__案__不__唯__一__)__．
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __7_5_°_，__3_0_°_；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 _7_2_°_，__7_2_°_，__或__3_6_°_，__1_0_8_°_；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_3_0_°_，__3_0_°.
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角＋2×底角＝180° ② 顶角＝180°－2×底角 ③ 底角＝(180°－顶角)÷2