线性代数的应用案例解析

案例一
不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩
苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5
第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。

（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？
（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：
5 10 3 0.10 0.15
D
0.15 0.20
4 5 5
0.10 0.10
此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.10
2.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为
3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。

（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：
1000 500 5 10 3 E
2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000
此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。

题后说明：
这是一个矩阵的具体应用问题。

其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。

此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇
1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人
员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。

商店 A
中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。

现问 : （1）每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （
2）每
个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（ 1 ）商店 A ：
人员 A 购买水果的费用为：
5 0.10 10 0.15 3 0.10 2.30
人员 B 购买水果的费用为：
4 0.10
5 0.15 5 0.10 1.65
已知不同商店三种水果的价格、 阵：
商店A 商店B 苹果 0.10 0.15 橘子 0.15 0.20 梨 0.10 0.10
人员 A 人员 B
城镇1 1000 500 城镇 2 2000 1000
商店B：
人员A购买水果的费用为：
5 0.15 10 0.20 3 0.10 3.05
人员B购买水果的费用为：
4 0.1
5 5 0.20 5 0.10 2.10
此时如果用矩阵表示的话，有:
商店A 商店B
人员A 2.30 3.05
人员B 1.65 2.10
显然答案与用矩阵算出来的是- 一致的；同理对于( 2)也是一样的
然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。

就此问题而言，数据简单且较少，如
果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有 10个，商店有50个的话。

显然用一般解法是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。

案例二
某文具商店在一周内所售出的文具如下表，周末盘点结账，计算该店每天的售货收入及一周
解由表中数据设矩阵
15 8 5 1 12 20 0.
A 15 20 18 16 8 25 ，
B 0.
5
20 0 12 15 4 3 1
则售货收入可由下法算出
15 15 20 32
8 20 0 12.4
0.3
5 18 12 22.5
A T
B 0.5
1 16 15 23.3
12 8 4 1 11.6
20 25 3 21.5
所以，每天的售货收入加在一起可得一周的售货总账，即
32 12.4 22.5 23.3 11.6 21.5 123.3（元）
案例三
某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%, 乙种原料分别含锌与镁10%与 30%,现在要用这两种原料分别配制 AB 两种试剂， A 试剂需含锌镁各2克，5克，B 试剂需含锌镁各1克，2克.问配制AB 两种试 剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？ 解： 设配制A 试剂需甲乙两种化学原料分别为 x ，y 克；配制B 试剂需甲乙两 种化学原料分别为s ，t 克；根据题意，得如下矩阵方程
0.1 0.1 x s 2 1 0.2 0.3 y t
5 2
10 0
10克，配制B 试剂需甲乙两种化学
案例四
一百货商店出售四种型号的 T 衫:小号，中号，大号和加大号.四种型号的T 衫的售价分别为：22元，24元，26元，30元.若商店某周共售出了 13件T 衫, 毛收入为320元.已知大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号的销售 收入也为小号和加大号销售收入的总和，问各种型号的 T 衫各售出多少件？
解 设该T 衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为 y(i 1,2,3, 4)，由
题意得
22x 1 24x 2 26x 3 30x 4 320
X-! X 3 x 4 0 22为 26x 3 30x 4 0
F 面用初等行变换把A 化成行简化矩阵
x s 30
10 2 1
10 所以X
y t
20 10 5 2
10 0.1 0.1
0.2 0.3，X
x s 2 1 y t ，B 5 2
则 X A 1
B ，
0.1 0.1 1 0 10r 1 1 1 10 0 0.2 0.3 0 1
10r
2
2 3 0 10
即A 1
30 20 10 10 ，
r 2r
1 1 10 0
r r
1 0 30 '
2 1
1
1 '2
0 1 20 10 0
1 20
10 10
即配制A 试剂分别需要甲乙两种化学原料各 原料分别为10克，0克.
x 1 x 2 x 3 x 4 13
F 面用初等行变换求A 1，
案例五
一个牧场，12头牛4周吃草10/3格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧 草，多少头牛18周吃完？（注:格尔一一牧场的面积单位）
解设每头牛每周吃草量为x ，每格尔草地每周的生长量（即草的生长量）为
y ，每格尔草地的原有草量为a ，另外设24格尔牧草，z 头牛18周吃完.
12 4x 10a/3 10/3 4y
则根据题意得21 9x 10a 10 9y
其中（x, y,a ）是线性方程组的未知数
z 18x 24a 24 18y
1 1 1 1 13
1
1 1 1 13 2
2 24 26 30 320 「2 22「1，
i 3
0 2
4 8 34 1
0 1 1 0
「
4
22H 0
1 2 0 13 22 0
26 30 0
22
48 8 286
1
1 1 1 13
1
1 1 1 13
0 1 2 0 13 「3 2「2 0 1 2 0
13
2 4 8 34 「4
22q
0 0 0 8
8
22
48
8
286
4 8
1 1 1 1
13
1 1 1
1 13
「4
0 1 2 0
1
3 1
「2 =「0 1 2 0 13
0 0 4 8 0
1 8「4
0 0 1 2 0
A
r 2
r .
3 0 0
0 8
8 0 0 0 1
1
「3 2卬
1 0 0 0 1 1 0 0 1
2 1 0 0 0 0 1 12
13 2 1
「2 「
2「3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10
9 2 1
r i 「2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
9 2 1
所以方程组解得
X 1 X 2 X 3 X 4 1 9 2 1
因此T 衫小号，中号, 大号和加大号的销售量分别为
1件, 9 件, 2件和1件.
144x 40 y 10a 0 化简得
189x 90y 10a 0
18zx
432y 24 a 0
根据题意知齐次线性方程组有非零解，故
r(A) 3,即系数行列式
所以24格尔牧草36头牛18周吃完.
案例六
田忌和齐王赛马双方约定出上、 中、下三个等级的马各一匹进行比赛，
比赛共3场，胜者得
一分，负者-1分。

已知在同一等级的马进行赛跑，齐王可稳操胜券，另外，齐王的中等马 对田忌的上等马，
或者齐王的下等马对田忌的中等马， 则田忌赢。

齐王和田忌在排列赛马出
场顺序时各取下列 6种策略之一：
｛上、中、下｝｛上、下、中｝｛中、上、下｝｛中、下、上｝｛下、中、上｝｛下、上、中｝ 若将这6种策略从1到6依次编号，则可写出齐王的赢得矩阵
3 1 1 1 1
13 111
113
111
A
1113 1 1
11113 1
1
11113
案例七
144 40 10
189
90 10 18z 432
24
0，计算得z 36. 5 8 10 7 3
5
15 1 12 1 20 2
甲乙两超市销售三种奶粉的日销售量见下表
单价与利润见下表
抽象为矩阵B
15 1 由此得矩阵C AB
5 8 10 371 33 12 1
7 3 5
241 20
20 2
案例八 ——机床定模型
兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格机床，其价格和成本见下表
案例九——军事通讯中的加密与解密
军事中通讯中，需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与 数字
对应， 如：
a b c d .. ..... x y z
1
2
3
4 ……24 2
5 26
如are 对应的矩阵B=
（1 18 5）,如果直接按这种方式传输，则很容
易被敌人破译而造成巨大的损失，这就需要加密，通常的做法是用一 个约定的加密矩阵A 乘以原信号矩阵B ，传输信号时，不是传输的矩 阵B ，而是传输的转换后的矩阵 C=A B T ,收到信号时，再将信号还原。

如果敌人不知道加密矩阵，则他就很难弄明白传输的信号的含义。

设
-1 0 1
收到的信号为 C= 21 27 31T
,并且已知加密矩阵是 A= 0 1 1，问 原信号 B 是什么？
解答：由加密原理知：
B T=A -1C
所以先求逆矩阵：
-1 0 1 100 -1 0 1 1 0 0 -1 0 1 1 00
01 1 010 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 10
11 1 001 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 -1 1
-1 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 -1 1
01 0 -1 2 -1 0 1 0 -1 2 -1
00 1 1 -1 1 0 0 1 1 -1 1
0 -1 1
从而得到 A -1= -1 2 -1
1 -1 1
0 -1 1 21 4
所以T -1
B T=A -1C= -1 2 -1 27 = 2
1 -1 1 31 25
所以 B= 4 2 25 ，信号为dby.
案例十 -- 韩信点兵
有兵一队，人数在 500 到 1000 人之内，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问这队士兵多少人？
案例十一---- 商品市场占有率
有两家公司 R 和 S 经营同类产品，他们相互竞争，每年 R 公司保有四分之一的顾客，而四分之三转移到 S 公司，每年S公司保有三分之二的顾客，三分之一转移向R公司。

当产品
开始制造时 R 公司占有五分之三的市场份额，而 S 公司占有五分之二的市场份额，问两年后，两家公司占有的市场份额变化怎样？五年后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年市场份额分配额定不变？解答：两年后市场份额 R 和 S 公司分别为 31% 和 69%，五年后市场份额 R 和 S 公司分别为 31%和 69%， R 和 S 两家公司市场稳定的初始份额为十三分之四约为 31%和十三分之九约为 69%。

案例十二---- 工人工资定价问题
现有一个木工、一个电工、一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们约定：(1) 没人总共工作10 天( 包括给自己家干活在内)；(2) 每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间；(3) 每人的日工资数应使得每人
的总收入与总支出相等，下面的表格是他们工作天数的分配方案， 根据分配方案 表，确定他们每人的日工资•
解：设X i ,X 2,X 3分别表示木工、电工、油漆工的日工资，根据总收入等于总支出, 建立方程组
2X -| X 2 6X 3 10X -| 4X 1
5X 2 X 3 10X 2 整理得齐次线性方程组
4X 1 4X 2 3X 3 10X 3
8X 1 X 2 6X 3 0
4X 1
5X 2
X 3
解出方程组的全部解为
4X -I 4X 2
7X 3 0
31
36
k 8 （其中k 为任意实数）.
9 1
由于日工资在60~80元之间，故取k 72,得日工资分别为
X 1 62, X 2 64, X 3 72.
案例十四
一制造商生产三种不同的化学产品 A 、B 、C,每种产品都需要经过两种机器 M 和 N 的制作。

而生产每一吨不同的产品需要使用两部机器不同的时间
（见下表）。

机
器M 每星期使用最多80小时，N 每星期使用最多60小时.假设制造商可以卖出 每周制造的所有产品，经营者不希望使昂贵的机器有空闲时间， 想知道在一周内 每一产品需制造多少吨才能使机器被充分利用?
X i X 2 X 3
解：设A B C一周生产的吨数分别为人兀必，可列方程组
2x13X24X3 80
80解出方程组的全部解为
2x12X
2
3X3 60
片1
2 10
X2 k 1 20
X3
1 0
由题意可知找寻方程组的非负解即可即X i 0，得0 k 20。