扬州市2019届高三上学期期中调研测试数学试题模拟试卷

2019 学年度第一学期高三期中调研测试
数学试题Ⅰ
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合 A { x|| x | 2} ，B { x |3x 2 1} ，则 A B = ▲．
2．已知复数z满足iz 1 3i （i 为虚数单位），则z = ▲．
3．命题“R,sin 1 ”的否定是▲．
4．若
1
sin , [2 ,3 ]
2 2
，则▲．
x y 2 0
5．设x，y 满足约束条件2x y 5 0 ，则z 3x 2y的最大值为▲．
y 2
6．已知双曲线
2
2 y 1
x 的一条渐近线与直线x 2y 3 0平行，则实数 a ▲．
a
7．在ABC 中，若AB 1，BC 2，CA 5 ，则AB BC BC CA CA AB 的值是▲．
8．已知函数 f (x)
x
e ( x 0)
x 1 ( x 0)
，则不等式 2
f (x ) f (2 x) 的解集为▲．
9．将函数 f (x) A s in( x )( A 0, 0, ) 图象上每一点的横坐标变为原
2 2
来的 2 倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移
个单位，得到
3 函数y 2sin x的图象，则 f ( ) ▲．
10 ．已知直线x y 3 0 与圆 2 2 2
O: x y r( r 0 相)交于M , N 两点，若OM ON 3 ，则圆的半径r ▲．
11．若x轴是曲线f (x) ln x kx 3的一条切线，则k ▲．
1
12．已知定点M ( 1,2) ，动点N 在单位圆 2 2 1
x y 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形OMPN ，则点P 到直线3x 4y 10 0距离的取值范围是▲．
13．ABC 中，tan 1
A ，
3 B ．若椭圆 E 以AB 为长轴，且过点 C ，则椭圆 E 的离
4
心率是▲．
14．实数a 、b 、c满足
2 2 2 5
a b c ，则
2
6ab 8bc 7c 的最大值为▲．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（本小题满分14 分）
设函数( ) sin( ) cos
f x x x．
4 6 4
（1）求 f (x) 的单调增区间；
（2）若x (0, 4) ，求y f (x) 的值域．
16．（本小题满分14 分）
C 在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c，向量(cos ,sin )
m C ，
2 C
n (sin ,cos C) ，且m/ /n ．
2
（1）求角 C 的大小；
（2）若 2 2 2 2
a b c ，求tan A的
值．
17．（本小题满分14 分）
2
2 2
x y 1
如图，已知椭圆: 1( 0)
C a b
．过原点的直线与椭圆 C 交，离心率为
2 2
2 a b
于A，B 两点（ A ，B 不是椭圆 C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ．（1）若椭圆 C 的右准线方程为：x 4 ，求椭圆 C 的方程；
（2）设直线BD 、AB 的斜率分别为k 、
1 k ，求
2
k
1
k
2
的值．
y
A
D
O x
B
（17 题图）
18．（本小题满分16 分）
有一块三角形边角地，如图中ABC ，其中AB 8（百米），AC 6 （百米），
A 60 ．某市为迎接2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中
AEF ）供市民休闲，其中点 E 在边AB 上，点 F 在边AC 上．规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为l （百米）．
（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值；（2）如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时 E 、F 的位置．
A
F
E
C
B
（18 题图）19．（本小题满分16 分）
3
已知直线x 2y 2 0 与圆 2 2
C : x y 4y m 0相交，截得的弦长为2 5 5
．
（1）求圆 C 的方程；
（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y x2 相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；
（3）若抛物线 2
y x 上任意三个不同的点P 、Q 、R，且满足直线PQ 和PR都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分16 分）
已知函数 3 3
f (x) | x 1| x ax (a R) ．
（1）解关于字母a的不等式 2
[ f ( 1)] f (2) ；
（2）若a 0，求 f (x) 的最小值；
（3）若函数 f (x) 有两个零点x1,x2 ，试判断 f (x1x2 ) 的符号，同时比较 f (x1x2 ) 与a 1
的
大小，并说明理由．
2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试
数学试题Ⅱ
4
（全卷满分40分，考试时间
30分钟）
2015．11 21．（本小题满分10 分）
已知矩阵
A 1
b
a
2
，属于特征值 4 的一个特征向量为
2
3
，求 2
A ．
22．（本小题满分10 分）
3 个女生，
4 个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X 的概率分布
及数学期望．
23．（本小题满分10 分）
如图，已知直三棱柱A BC A B C中，AB AC ，AB 3，AC 4 ，B1C AC1．
1 1 1
（1）求A A 的长．
1
（2）在线段B B1 存在点P ，使得二面角P A1C A大小的余弦值为
3
3
，求
BP
BB
1
A
1
的值．
B C1 1
A
P
B
C
（23 题图）
24．（本小题满分10 分）
已知
n
k k
F ( x) [( 1) C f ( x)] （
n n k
k 0
*
n N ）．k
（1）若f (x) x ，求F2015 (2) 的值；
k
（2）若( )
f x
k
x
x k
（x {0 ，1，⋯，n} ），求证：
F (x)
n
n!
(x1)( x2) (x n)
．
2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试
题Ⅰ参考答案
数学试
2015．11
5
一、填空题
7 1．[1,2] 2．2 3．R,sin 1 4．
3
1
4
5．9 6．
7． 5
2
8．( 2,1) 9．0 10． 6 11．e 12．[2, 4] 13．
6
3
14．45
二、解答题
15．解：（1）
3 3
f ( x) sin( x ) cos x sin x cos x 3 s in( x )
4 6 4 2 4 2 4 4 3
⋯⋯4分
∵ 2 2
k x k ∴
2 4
3 2 2 10
8k x 8k ，k Z 3 3
∴f (x) 的单调增区间为：
2 10
[ 8k, 8k ]( k Z)⋯⋯7分
3 3
（2）∵x (0,4) ∴
2
x ∴
3 4 3 3
3
sin( x ) 1
2 4 3
∴f (x) 的值域为：( 3 , 3]
2 ⋯⋯14
分
16．解：（1）∵m/ /n ∴
C
2 2
cos C sin 0 ⋯⋯3分
2
∴ 2 1 cos C
cos C 0 整理得：
2
1
2
2cos C cos C 1 0 ，解得：cosC 或cos C 1
2
∵C (0, ) ∴ C ⋯⋯7
分
3
（2）∵ C ∴
3
2 2 2 2 cos 2 2
c a b ab a b ab
3
∵ 2 2 2 2
a b c ∴
2 2 2 2 2
a b a b ab ∵b 0 ∴a 3b ∴c 7b ⋯⋯10
分
∴cos A
2 2 2
7b b 9b 1
2
2 7b 2 7
∵A (0, ) ∴tan A 3 3 ⋯⋯14
分
17．解：（1）∵分e
2
a
c
c
a
4
1
2
，解得：
a
c
2
1
∴ 2 3
b ∴椭圆方程为：
2 2
x y
4 3
1 ⋯⋯
6
（2）法（一）设A( x ,y ) ，D(x2 ,y2) ，则B( x1, y1) ，∵A ，D 在椭圆上
1 1
∴
2 2
x y
1 1
2 2
a b
2 2
x y
2 2
2 2
a b
1
1
1 1
∴ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
(x x )(x x ) ( y y )( y y ) 0
a b
∴ 1 1
2 2
a b
k k
AD BD
0 e
∵
c
a
1
2
∴
2
2
b
a
3
4
∴1
k
3
4k AD
⋯⋯11
分
6
3
∵AD AB ∴k
2
1
k
AD
∴
k4k 3
1 AD
k
2
1 4
k
AD
⋯⋯14
分
法（二）设A(x , y )，D (x1, y1)，则B( x0 , y0)
0 0
则
k k
AD BD
2 2
x x
2 1 2 0
b (1 ) b (1 )
2 2 2 2 2
y y y y y y a a b
1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2
x x x x x x x x a
1 0 1 0 1 0 1 0
，下同法（一）
18．解：（1）设A E x（百米）
∵
1
S S ∴
AEF ABC
2
1 1 1
AE AF sin A AB AC sin A
2 2 2
24
x
∵
0 x 8
24
0 6
x
∵AB 8，AC 6 ∴∴4 x 8 ⋯⋯2分
AF
∵AEF 中，
2
24 24 24
2 2 2 2
EF x ( ) 2x cos60 x 24
2
x x x
∴
2
24 24
2
l x x 24, x [4,8]
2
x x
⋯⋯5
分
2
24 24
2
l x x
2
x x
24 2 24 2 24 24 6 6 ，当且仅当x 2 6 时取“=”
∴l⋯⋯8分
min 6 6 （2）由（1）知：
2
24 24
2
l x x 24, x [4,8]
2
x x
令
24
t x ,x[4,8]
x
∴
t ' 1
2
24 x 24 (x 2 6)( x 2 6)
2 2 2
x x x
列表得：
x (4,2 6) 2 6 (2 6,8)
t ' 0
t 极小值4 6
且x 4时，t 10 ；x 8时，t 11，则t[4 6,11] ⋯⋯12 分
2 72
l t t 在[4 6,11]上单调增∴当t 11时，l max 18，此时AE 8, AF 3 答：水管总长
度l 的最小值为6 6 百米；当点 E 在A 处，点F 在线段A C 的中点时，长廊
度l 的最大值为18 百米．⋯⋯16 分
总长
7
19．解：（1）∵C (0, 2) ∴圆心C 到直线x 2y 2 0 的距离为
| 0 4 2 | 2
d ，
5 5
∵截得的弦长为2 5
5
∴r 2
2 2 5 2
( ) ( ) 1
5 5
∴圆C 的方程为： 2 ( 2)2 1
x y ⋯⋯4
分
（2）设过原点的切线方程为：y kx ，即kx y 0 ∴|02|
2
k 1
1 ，解得：k 3
∴过原点的切线方程为：y 3x，不妨设y 3x与抛物线的交点为M ，则
y 3x
2
y x
，解得：M ( 3,3) ，同理可求：N( 3,3) ∴直线MN : y 3 ⋯⋯7
分
∵圆心C (0, 2) 到直线MN 的距离为 1 且r 1 ∴直线MN 与圆C 相切；⋯⋯9分（3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：
设 2 2 2
P(a, a ), Q(b, b ), R(c, c ) ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：
PQ ：(a b)x y ab 0，PR ：(a c)x y ac 0 ；QR ：(b c)x y bc 0
∵PQ 是圆C 的切线∴| 2 ab|
2
(a b) 1
1 ，化简得：
2 2 2
(a 1)b 2ab 3 a 0 ①
∵PR 是圆C 的切线，同理可得： 2 2 2
(a 1)c 2ac 3 a 0 ②⋯⋯12
分
则b,c 为方程 2 2 2
(a 1)x 2ax 3 a 0的两个实根∴
2
2a 3 a
b c ,bc
2 2
a 1 a 1
∵圆心到直线QR 的距离为：
2
3 a
|2|
2
| 2 bc| a2 1 a 1 1
d r
2 2 4 2
(b c) 1 4a a 2a 1
1
2 2
(a 1)
∴直线QR 与圆C 相切．⋯⋯16 分
20．解：（1）∵ 2
[ f ( 1)] f (2) ∴
2
(1 a) 15 2a，即 2
4 14 0
a a ，
解得：2 3 2 a 2 3 2 ．⋯⋯3分
8
（2）∵ 3 3
f (x) | x 1| x ax 1 ax, x 1
3
2x ax 1,x 1
∴
f '(x)
a, x 1
2
6x a, x 1
a a 2
设x ，若 6 a 0 ，则0 1
6x a 0 ，则
，
6 6
∴当x 1时， f '(x) 0 ，当x 1时，f '( x) 0 ，∴f ( x) 在( ,1)上单调减，在(1, ) 上单调增，故函数 f (x) 有最小值f (1) a 1；⋯⋯ 6 分
a
若a 6，则1，∴当x 1时， f '(x )0，当1
6
a
x 时， f '(x) 0 ，当
6
a a
x 时， f '(x ) 0，又 f (x) 是连续函数，∴ f (x) 在( , )
6 6
上单调减，在
a ( , )
6
a 2a a a
f ( ) 1 6a 1；上单调增，故函数 f (x) 有最小值
6 3 6 9
a 1 ( 6 a 0)
综上可得：
f (x) a
min
9 6a 1 (a 6)
⋯⋯9
分
（3）由（2）知，当a 0 时， f '( x) 0 ，函数 f (x) 在R上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当 1 a 0 时，f (x) a 1 0 ，不可能有两个零点；⋯⋯11
分
min
若a 1，∴ a 1，则f (0) 1 0, f (1) a 1 0, f ( a) a a 1 0，
则f (x) 在(0,1) ，(1, a ) 分别有一个零点，不妨设x x ∴0 x1 1 ，
1 2 1 x a ，
2
且
1 ax 0
1
3
2x ax 1 0
2 2
∴
a
x
1
1
a
3
2x
1
2
x
2
∴
2
2
1 x
x x ( )x
1 2 2 3
a 2x 1
2
又
2 3 2 2
x 2x x 1 (x 1)(2x x 1)
2 2 2 2 2 2
x x 1 1 0
1 2 3 3 3
2x 1 2x 1 2x 1
2 2 2
，∴x1 x1x2 1，
又 f (x) 在(0,1) 上单调递减，∴ f (1) f (x x ) f (x ) ，即a 1 f (x1x2) 0 ．⋯⋯
16
1 2 1
分
数学试
题Ⅱ参考答案
9
21．由条件，1 a 2 2
4
b 2 3 3
∴
23a 8
2b 6 12
，解得
a
b
2
3
⋯⋯ 5
分
∵
1 2
A ，∴
3 2
2 7 6
A ⋯⋯10
分
9 10
22．X 的可能取值有0, 2,3
P( X 0)
4 3
A A
4 5
7
A
7
2
7
；P( X 2)
2 4 2
A A A
3 4 5
7
A
7
4
7
；P( X 3)
3 5
A A
3 5
7
A
7
1
7
⋯⋯ 6
分
随机变量X 的概率分布为：
X 0 2 3
2 4 1
7 7 7 P
2 4 1 11 E( X ) 0 2 3
7 7 7 7
答：数学期望为
11
7 ．⋯⋯10 分
23．（1）以AB, AC, AA1所在直线为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设A A1 t ，
则A(0,0,0) ，C1(0,4, t) ，B1(3,0, t) ，C (0,4,0) ∴AC1 (0,4, t) ，B1C ( 3,4, t)
BC AC 1 1 AC BC ，即
1 1 0
2
16 t 0 ，解得t 4，即AA 的长为4 ．⋯⋯ 3
1
分
（2）设
P(3,0, m) ，又A(0,0,0) ，C (0,4,0) ，A1 (0,0,4)
A1C (0,4, 4) ，A P(3,0, m 4) ，且0 m 4
1
设
n(x, y, z) 为平面PAC 的法向量
1
n A1C,n A1P
∴4y 4z 0
3x (m 4)z 0
，取z 1，解得
4 m
y 1,x ，
3
∴
4 m
n ( ,1,1) 为平面
3
PAC 的一个法向量．⋯⋯ 6
分
1
又知AB (3,0,0) 为平面ACA 的一个法向量，则c os n, AB
1
4 m
4 m 3 1 1 ( )
3
2
∵二面角P AC A大小的余弦值为
1 1
3
3
，∴
4 m 3
4 m
3 1 1 ( )
3
2
3 ，
10
解得：m 1 BP
BB
1
1
4
⋯⋯10
分
24．（1）
n n
k k k k n
F x C f x x C x ∴F2015 (2) 1 ⋯⋯3
( ) [( 1) ( )] [( ) ] (1 )
n n k n
k 0 k 0
分
（2）①n 1时，左边 1
x 1
x 1 x 1
右边
②设n m时，对一切实数x(x 0, 1, , m) ，
k m
k k
( 1) C
m
x m!
x k (x1)( x2) ( x m)
有，⋯⋯ 5 分那么，当n m 1时，对一切实数x(x 0, 1, , (m 1)) ，有
m 1 m
x x x
k k k k k 1 m 1
( 1) C 1 ( 1) [C C ] ( 1)
m 1 m m
x k x k x m
k 0 k 1
1
m m 1 m m
x x x x 1 x k k
k k 1 k k k k
( 1) C ( 1) C ( 1) C ( ( 1) C ) m m m m x k x k x k x 1 k x 1 k 0
k 1 k 0 k 0
m! m! x
(x1)( x2) (x m) (x2)( x 3) (x 1 m) x 1
m![( x m 1) x] (m 1)!
(x 1)( x2) (x m)( x m 1) ( x 1)( x 2) ( x m 1)
即n m 1时，等式成立．
故对一切正整数
n及一切实数x(x 0, 1, , n) ，有
k n
k k
( 1) C
n
x n!
x k (x1)( x2) (x n)
⋯⋯10 分
...
11
...。