大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第四章三角函数题组22含解析

题组层级快练(二十二)
1．(2016·衡水调研卷)与图中曲线对应的函数是( )
A ．y ＝sinx
B ．y ＝sin|x|
C ．y ＝－sin|x|
D ．y ＝－|sinx|
答案 C
2．(2016·西安九校联考)将f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，则g(π2)
＝( ) A.
3
2
B ．－
32 C.12 D ．－12
答案 C
解析 由题意得g(x)＝cos(x －π6)，故g(π2)＝cos(π2－π6)＝sin π6＝1
2
.
3．(2015·山东)要得到函数y ＝sin(4x －π
3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移π
3
个单位
答案 B
解析 y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π
12
个单位．故选B.
4．若把函数y ＝f(x)的图像沿x 轴向左平移π
4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sinx 的图像，则y ＝f(x)的解析式为( ) A ．y ＝sin(2x －π
4)＋1
B ．y ＝sin(2x －π
2)＋1
C ．y ＝sin(1
2x ＋π4)－1
D ．y ＝sin(12x ＋π
2
)－1
答案 B
解析 将y ＝sinx 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y ＝sin2x ＋1的图像，再把函数y ＝sin2x ＋1的图像向右平移π
4
个单位，
得到y ＝sin2(x －π4)＋1的图像，即函数f(x)的图像，所以f(x)＝sin2(x －π4)＋1＝sin(2x －π
2)＋1，故选B.
5．函数y ＝sinx －cosx 的图像可由y ＝sinx ＋cosx 的图像向右平移( ) A.3π
2个单位 B ．π个单位 C.π
4个单位 D.π
2
个单位 答案 D
解析 y ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，
y ＝sinx －cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π4
＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.
6．(2015·邯郸一中期末)设函数f(x)＝2sin(π2x ＋π
5)．若对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－
x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.1
2
答案 B
解析 f(x)的周期T ＝4，|x 1－x 2
|
min ＝
T 2
＝2. 7．(2013·湖北)将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π
6 C.π3 D.5π6
答案 B
解析 y ＝3cosx ＋sinx ＝2(
32cosx ＋1
2sinx)＝2sin(x ＋π3)的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3
)的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin(m ＋π3)＝±2，所以m ＋π3＝π
2＋k π，k ∈Z ，由于
m>0，所以m min ＝π
6
，故选B.
8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π
2
)的图像如右图所示，则当t
＝
1
100
秒时，电流强度是( )
A ．－5 A
B ．5 A
C ．5 3 A
D ．10 A
答案 A
解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1
100.
∴ω＝2π
T
＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．
(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1
300＋φ＝π2
. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1
100
秒时，I ＝－5 A ，故选A.
9. (2016·武汉市二中)已知函数f(x)＝Acos (ωx ＋φ)的图像如图所示，f(π2)＝－23
，则f(0)＝
( )
A ．－2
3
B ．－12
C.23
D.12
答案 C
解析 由图像可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将(11π12，0)代入解析式得11
4π＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以
φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos(3x －π4)，又因为f(π2)＝－Acos π4＝－2
3，所以f(0)＝Acos(－
π4)＝Acos π4＝2
3
，故选C. 10．将函数y ＝sinx 的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图像，则φ等于( )
A.π6
B.5π6
C.7π6
D.11π6
答案 D
解析 平移后图像的解析式为y ＝sin(x ＋φ)，依题意可得φ＝2k π－π
6，k ∈Z ，又0≤φ<2π，故只有选项D 正
确．
11．(2016·宁夏一模)函数y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧kx ＋1，－3≤x<0，2sin （ωx ＋φ），0≤x ≤8π3的图像如下图，则( )
A ．k ＝13，ω＝1
2，φ＝π6
B ．k ＝13，ω＝1
2，φ＝π3
C ．k ＝－1
3，ω＝2，φ＝π6
D ．k ＝－3，ω＝2，φ＝π
3
答案 A
解析 由图像可知f(－3)＝0⇒－3k ＋1＝0⇒k ＝1
3.
又知T 4＝8π3－5π3＝π⇒T ＝4π，故ω＝12
，
根据五点法作图可知(8π3，－2)应为第四个点，即令12· 8π
3＋φ＝3π2⇒φ＝π6
.
12．(2014·四川卷改编)(1)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sinx 的图像上所有的点向________平移________个单位长度．
(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像上所有的点向________平移________个单位长度．
答案 (1)左，1 (2)左，1
2
13．将函数y ＝sin(－2x)的图像向右平移π
3个单位，所得函数图像的解析式为________．
答案 y ＝sin(2
3
π－2x)
14．(2014·重庆文)若将函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π
2图像上每一个点的横坐标缩短为原来的一
半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sinx 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π
6＝________．
答案
22
解析 将y ＝sinx 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原
来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝2
2.
15．若函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π
6对称，则φ的最小值
是________． 答案
5π12
解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12. 16. (2014·北京)函数f(x)＝3sin(2x ＋π6
)的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f(x)在区间[－π2，－π
12
]上的最大值和最小值．
答案 (1)T ＝π，x 0＝7π
6，y 0＝3 (2)最大值为0，最小值为－3
解析 (1)f(x)的最小正周期为π. x 0＝7π
6
，y 0＝3.
(2)因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π
6，0]．
于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，f(x)取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，f(x)取得最小值－3.
17．(2016·江西测试)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π
6
)＋a 的最大值为2.
(1)求实数a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图像． 答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略
解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcos π6＋cosxsin π
6)＋a
＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π
6)＋a ＋1，
最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π
2＝π.
(2)列表如下：
画图如下：
18.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<
π
2
)的部分图像如图所示．
(1)试确定函数f(x)的解析式； (2)若f(α2π
)＝1
3，求cos(2π3－α)的值．
答案 (1)f(x)＝2sin(πx ＋π6) (2)－17
18
解析 (1)由图像知，f(x)max ＝A ＝2，设函数f(x)的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝1
2，所以T ＝2，∴ω＝2πT ＝
2π
2
＝π，故函数f(x)＝2sin(πx ＋φ)． 又∵f(1
3)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1.
∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6.
故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f(x)＝2sin(πx ＋π6
)． (2)∵f(α
2π)＝13，即2sin(π·α2π＋π6
)＝2sin(α2＋π6)＝13，∴sin(α2＋π6)＝16.
∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(π6＋α2)]＝sin(π6＋α2)＝1
6
.
∴cos(2π3－α)＝cos[2(π3－α2)]＝2cos 2(π3－α2)－1＝2×(16)2－1＝－1718
.
1．(2015·湖南理)将函数f(x)＝sin2x 的图像向右平移φ(0<φ<π2
)个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足
||f （x 1）－g （x 2）＝2的x 1，x 2，有||
x 1－x 2min ＝π
3
，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6
答案 D
解析 向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x －2φ)．
又∵|f(x 1)－g(x 2)|＝2，∴不妨2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，∴x 1－x 2＝π
2
－φ＋(k －m)π，又∵||
x 1－x 2
min ＝π3
，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π
6，故选D 项．
2．(2016·西安八校联考)若函数y ＝cos (ωx ＋π6)(ω∈N *)图像的一个对称中心是(π
6，0)，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 B
解析 πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∴ωmin ＝2，故选B.
3. (2016·洛阳统考)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π
2
)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是( )
A ．f(x)＝sin(3x ＋π
3)
B ．f(x)＝sin(2x ＋π
3)
C ．f(x)＝sin(x ＋π
3)
D ．f(x)＝sin(2x ＋π
6
)
答案 D
解析 由图像可知T 4＝5π12－π
6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题
意．
4．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(2x －π
2)(x ∈R )，下列结论错误的是( )
A ．函数f(x)是偶函数
B ．函数f(x)的最小正周期为π
C ．函数f(x)在区间[0，π
2]上是增函数
D ．函数f(x)的图像关于直线x ＝π
4对称
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x －π
2)＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确，函数图像的对称轴
方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π
4
，所以D 错误，答案为D.
5．(2013·福建文)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π
2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的
图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P(0，3
2
)，则φ的值可以是( ) A.5π
3
B.5π6
C.π2
D.π6
答案 B
解析 因为函数f(x)的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin(2x ＋π
3)．又函数f(x)的图像向右平移φ个单
位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x －φ)＋π3]的图像，所以sin(π3－2φ)＝3
2，所以φ可以为5π6，故选B.
6．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π
4个单位，
所得到的图像解析式是( ) A ．f(x)＝sinx B ．f(x)＝cosx C ．f(x)＝sin4x D ．f(x)＝cos4x
答案 A
解析 y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin(x ＋π
4)
→y ＝sin(x －π4＋π
4
)＝sinx.
7．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2cos3x 的图像( ) A ．向右平移π
4个单位
B ．向左平移π
4个单位
C ．向右平移π
12个单位
D ．向左平移π
12个单位
答案 C
解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3x －π4＝2cos3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移
π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
3x －π4的图像，故选C.
8．(2016·重庆一中)要得到函数y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π
3)的图像( )
A ．向左平移π
3个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移2π
3个单位
D ．向右平移2π
3
个单位
答案 C
9．(2016·临沂一中月考)如图的函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
8
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
8
C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4
答案 C
解析 A ＝2，T ＝7π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π，ω＝2，当x ＝－π
8
时，y ＝0.
10．(2016·长沙雅礼中学)将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π
4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函
数解析式是( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝2cos 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π
4)
D ．y ＝2sin 2x 答案 B
解析 所得解析式是y ＝sin2(x ＋π
4
)＋1＝cos2x ＋1＝2cos 2x.
11．(2016·杭州学军中学)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ≤π
2)，且此函数的图像如图所示，则点P(ω，
φ)的坐标是( )
A ．(2，π
2)
B ．(2，π
4)
C ．(4，π
2)
D ．(4，π
4
)
答案 B
解析 ∵T ＝2(7π8－3π
8)＝π，∴ω＝2
2×3π8＋φ＝π，∴φ＝π
4
，∴选B.
12．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π
12)的图像，则需将函
数y ＝sin ωx 的图像向________平移________个单位长度．
答案 左，π
6
解析 由图像知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x.
又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin 1
2(x ＋π6
)，
∴将函数y ＝sin 12x 的图像向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x 2＋π
12
)的图像．
13.若函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________．
答案 3
解析 由函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像可知： T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝2
3π. ∵T ＝2πω＝2
3
π，∴ω＝3.
14.已知函数f(x)＝Atan (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<
π2)，y ＝f(x)的部分图像如图所示，则f(π
24
)＝________．
答案
3
解析 由图像知T 2＝3
8π－π8＝π4，T ＝π2，ω＝πT ＝2，2×π8＋φ＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k ∈Z .
又|φ|<π2，∴φ＝π
4
.
∵函数f(x)的图像过点(0，1)，∴f(0)＝Atan π
4＝A ＝1.
∴f(x)＝tan(2x ＋π
4
)．
∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π
3
＝ 3. 15．(2015·湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________． 答案
π
2
解析 由题意，两函数图像交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin (ωx －π
4)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝
(2π
2ω
)2
＋(22)2
，ω＝π
2.
16．(2016·石家庄二中调研)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入的数据如下表：
(1)求x 1，x 2，x 3(2)将函数f(x)的图像向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图像，求函数y ＝f(x)·g(x)在区间(0，5π
3)的最
小值．
答案 (1)x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3，f(x)＝2sin(12x －π
3)
解析 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝1
2，φ＝－π3
，
由1
2x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又Asin(12×5π3－π
3
)＝2，∴A ＝2，
∴f(x)＝2sin(12x －π
3
)．
(2)函数f(x)＝2sin(12x －π3)的图像向左平移π个单位，得g(x)＝2sin(12x －π3＋π2)＝2cos(x 2－π
3)的图像，
∴y ＝f(x)g(x)＝2sin(x 2－π3)·2cos(x 2－π
3)＝2sin(x －2π3)，
∵x ∈(0，5π3)，∴x －2π3∈(－2π
3
，π)，
∴当x －2π3＝－π2，即x ＝π
6时，y ＝f(x)·g(x)取得最小值－2.。