湖南省衡阳八中、永州四中高一数学上学期第二次联考试卷理(含解析)

2015-2016学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（上）第二次联考数
学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共50分．在每题后面的四个选项中，只有一个是正确的．）1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）
A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm3
2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是（）
①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β ②若l∥α，α∥β，则l⊂β
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β
A．①③ B．②③④C．①②④D．①④
3．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A．①B．①② C．①②③D．②③
4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）
A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为
5．设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（∁U M）∪（∁U N）为（）
A．{x|x≥0} B．{x|x＜1或x≥5}C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|x＜0或x≥5}
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
7．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
8．设函数g（x）=x2﹣2，f（x）=，则f（x）的值域是（）A．B．[0，+∞）C．
D．
9．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围
是（）
A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）
10．设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）
A．f（b﹣2）＜f（a+1）B．f（b﹣2）＞f（a+1）C．f（b﹣2）=f（a+1）D．不能确定
二、填空题（每题5分，共25分）
11．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足
，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它
的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．
12．函数f（x）=的定义域为．
13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时，S为等腰梯形；
③当＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
15．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于．
三、解答题（共6题，共75分）
16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．
18．对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；
②存在区间[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数．（Ⅰ）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）判断函数f（x）=是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
19．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．
20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
21．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=2，b=7时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=﹣x+的图象上，求b的最小值．
2015-2016学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（上）第二次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共50分．在每题后面的四个选项中，只有一个是正确的．）1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）
A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．
【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，
其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．
故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．
故选：B．
【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．
2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是（）
①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β ②若l∥α，α∥β，则l⊂β
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β
A．①③ B．②③④C．①②④D．①④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择．
【解答】解：对于①，若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或者l∥β，故①错误；
对于②，若l∥α，α∥β，则l⊂β或者l∥β；故②错误；
对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；
对于④，若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定；故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了空间线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练运用定理，掌握定理成立的条件是关键．
3．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A．①B．①② C．①②③D．②③
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】阅读型．
【分析】对于①根据面A′FG⊥面ABC，可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上，对于②，根据BC∥DE，满足线面平行的判定定理可对于③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣FDE 的体积达到最大，符合条件．
【解答】解：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE．
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣FDE的体积达到最大．
故选C
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．
4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）
A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】应用题；空间位置关系与距离．
【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确
利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；
当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；
将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．
【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，
∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；
当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；
将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，
即AP+PD1≥，
∴D正确．
故选：C．
【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．
5．设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（∁U M）∪（∁U N）为（）
A．{x|x≥0} B．{x|x＜1或x≥5}C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|x＜0或x≥5}
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算；补集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，结合补集的意义，可得∁U M与∁U N，进而由并集的意义，计算可得答案．【解答】解：根据题意，M={x|x≥1}，则∁U M={x|x＜1}；
N={x|0≤x＜5}，则∁U N={x|x＜0或x≥5}；
则（∁U M）∪（∁U N）={x|x＜1或x≥5}；
故选B．
【点评】本题考查补集、并集的计算，要注意（∁U M）∪（∁U N）的运算的顺序，先求补集，再求并集．
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
【考点】奇函数．
【专题】压轴题．
【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，
所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，
且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，
则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，
故选B．
【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．
7．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．
当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．
当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，
故选D．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
8．设函数g（x）=x2﹣2，f（x）=，则f（x）的值域是（）A．B．[0，+∞）C．
D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据x的取值范围化简f（x）的解析式，将解析式化到完全平方与常数的代数和形式，在每一段上求出值域，再把值域取并集．
【解答】解：x＜g（x），即 x＜x2﹣2，即 x＜﹣1 或 x＞2．x≥g（x），即﹣1≤x≤2．
由题意 f（x）
==
=，
所以当x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）时，由二次函数的性质可得 f（x）∈（2，+∞）；x∈[﹣1，2]时，由二次函数的性质可得f（x）∈[﹣，0]，
故选 D．
【点评】本题考查分段函数值域的求法，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
9．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围
是（）
A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】综合题．
【分析】根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．
【解答】解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）
∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，
∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，
∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4
∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即
（，7）
∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方
∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．
10．设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）
A．f（b﹣2）＜f（a+1）B．f（b﹣2）＞f（a+1）C．f（b﹣2）=f（a+1）D．不能确定
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先由函数为偶函数，求出b的值为0，然后分a＞1和0＜a＜1进行讨论，不论哪种情况，两个变量a+1和b﹣2均大于1，从而得出结论．
【解答】解：因为函数f（x）=log a|x﹣b|是偶函数，
所以对定义图内任意实数x都有f（﹣x）=f（x），
即log a|﹣x﹣b|=log a|x﹣b|，所以|﹣x﹣b|=|x﹣b|，所以b=0．
则f（x）=log a|x|．
若a＞1，则a+1＞b+2=2，
所以log a|a+1|＞log a2，f（a+1）＞f（2）=f（﹣2）=f（b﹣2）．
若0＜a＜1，则1＜a+1＜b+2=2，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以log a|a+1|＞log a2，f（a+1）＞f（b﹣2）．
综上可得，f（a+1）＞f（b﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了不等关系与不等式，重点考查了对数函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足
，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=
在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有
x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．
由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．
又1∉（﹣1，1）
∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．
⇒＜m≤
∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．
故答案为：﹣3＜m≤．
【点评】本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．
12．函数f（x）=的定义域为（﹣3，0] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，得，
解得：﹣3＜x≤0．
∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．
故答案为：（﹣3，0]．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实
数k的取值范围为（1，2] ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意作函数f（x）的图象，由图象得到．
【解答】解：作函数f（x）=f（x）=的图象如图，
则由图象可知，1＜k≤2，
故答案为（1，2]．
【点评】本题考查了分段函数的图象和作法和函数零点与图象的交点的关系，属于基础题．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时，S为等腰梯形；
③当＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；
当CQ=时，如图，
延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确；
由上可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显
然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=，故正确．
故答案为：①②④⑤
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
15．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．
【解答】解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，
∴CE=，
∴BC=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．
三、解答题（共6题，共75分）
16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；
（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．
【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，
∴S△BCD==，
∴V C﹣BC1D=V C1﹣BCD=••6=9．
【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
【解答】解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，
故B1C⊥BC1．…2分
又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，
故B1C⊥平面ABC1．…5分
因B1C⊂平面BCC1B1，
故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分
（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．
又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．
因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，
故DF∥面ABC1．…10分
同理，EF∥面ABC1．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC1．…12分
因DE⊂平面DEF，
故DE∥面ABC1．…14分．
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．
18．对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；
②存在区间[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数．（Ⅰ）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）判断函数f（x）=是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
【考点】函数单调性的性质；进行简单的合情推理．
【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，由新定义，得到方程，解得a，b即可得到所求区间；
（Ⅱ）函数不是闭函数．可通过取特殊值检验即可判断；
（Ⅲ）由新定义即有a，b为方程的两个实根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根．对k讨论，当k≤﹣3时，当k＞﹣3时，运用二次函数的图象和性质得到不等式组解得即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，
则解得，
所以，所求的区间为[﹣1，1]；
（Ⅱ）函数不是闭函数．
理由如下：取x1=2，x2=4，则，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取，则，
f（x）不是（0，+∞）上的增函数，
所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数；
（Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，
函数y的值域也为[a，b]，即，
即有a，b为方程的两个实根，
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根．
设g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣3
当k≤﹣3时，有，解得．
当k＞﹣3时，有，无解
综上所述，．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
19．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．
【考点】对数函数的图像与性质；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；
（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；
（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【解答】解：（1）由题意知，
；
解得，﹣3＜x＜3；
故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；
（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，
函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；
则f（﹣x）=log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）=﹣f（x），
故函数f（x）是奇函数．
（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，
f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，
则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
故f max（x）=f（1）=log a2．
【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．
20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程
有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．
【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），
∴，化简得，
即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根，
化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．
令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，
所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，
此时有；（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．
【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．
21．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=2，b=7时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=﹣x+的图象上，求b的最小值．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）将a=2，b=7代入f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；
（2）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，即方程ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a （b﹣1）＞0即b2﹣4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，
故△'=16a2﹣16a＜0，故0＜a＜1；
（3）先设出两点的坐标分别为A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），又AB的中点C在函数在函数g（x）=﹣x+的图象上，
所以，即，而x1，x2是方程ax2+bx+b ﹣1=0的两个根，所以
至此题设中的条件转化为，观察发现参数b可以表示成参数a的函数，
至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．
【解答】解：（1）f（x）=2x2+8x+6=x，解得x=﹣2或x=．所以所求的不动点为﹣2或．
（2）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，即方程ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根，
所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0即b2﹣4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，
故△'=16a2﹣16a＜0，故0＜a＜1
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2）x1≠x2，
又AB的中点C在函数在函数g（x）=﹣x+的图象上，
所以，即
而x1，x2是方程ax2+bx+b﹣1=0的两个根，所以
即
所以
由（2）知：0＜a＜1
则当，即时b min=﹣1
【点评】本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．
21。