陕西省黄陵中学高三数学下学期开学考试试题理(普通班)

陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期开学考试试题 理（普通班）
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{}{}
03,21,x A x x B y y x A =<<==+∈，则A B ⋂=（ ） A ．()0,3 B ．()2,5 C ．()2,9 D ．()2,3 2.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()3413i z i -=-，则z =（ ） A ．
225 B ．425 C ．25 D ．45
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ） A ．147a a a B ．147a a a ++ C ．18a a D ．18a a +
4.已知点(),M x y 是圆22:20C x y x +-=的内部任意一点，则点M 满足y x ≥的概率是（ ） A ．
14 B ．24π- C ．12π D ．24ππ
- 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ．14
B ．642+．862+ D ．842+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则
11
x y
+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．4
8.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a
的值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
9．在约束条件21010x x y m x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≥下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的
取值范围（ ）
A )3,3(-
B ]3,0[
C ]0,3[-
D ]3,3[- 10.设02
x π
<<
，记sin ln sin ,sin ,x
a x
b x
c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）
A c b a <<
B b a c <<
C a b c <<
D b c a <<
11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n
n S S S T n
++
+=
，称n T 为数列1a ，2a ，……，n
a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，
2a ，……，500a 的“理想数”为
（ ）
A ．2002
B ．2004
C ．2006
D ．2008
12．过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AF 、BF 的
长分别为m 、n ,则
mn m n
+等于( )
A.12a
B. 2a
C.
14a
D.
4
a
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线2
y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为 ．
14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，c =，cos A =则b = ．
15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影
为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．
16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2
PB PC BC ⋅+的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1n a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n
n n
a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点.现将矩形ABCD 沿
着对角线AC 折成二面角'D AC B --，使得'D B =
（1）求证：当3AF =时，'D F BC ⊥；
（2）试求CF 的长，使得二面角'A D F B --的大小为
4
π. 19. “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照
，
分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从购物者中随机抽取10人，这10人中获得电子优惠券的人数为，求的数学期望.
20. 已知椭圆
的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程； （2）过点
的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中
，求
的取值范围.
21.已知函数()x
f x ae =，5
()ln()2
g x ax =+
，0a >．
（Ⅰ)若()y f x =的图像在1x =处的切线过点(3,3)，求a 的值并讨论
))(12()()(2R m x x m x xf x h ∈-++=在(0,)+∞上的单调增区间；
（Ⅱ）定义：若直线:l y kx b =+与曲线11:(,)0C f x y =、22:(,)0C f x y =都相切，则我们称直线l 为曲线1C 、2C 的公切线．若曲线()y f x =与()y g x =存在公切线，试求实数a 的取值范围．
选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），直线l
的参数方程为
2x t y t ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩t 为参数），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）求AB 的值；
（2）若F 为曲线C 的左焦点，求FA FB ⋅的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()2
2f x x =+，()1g x x a x =---，a R ∈.
（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；
（2）若对任意12x x R ∈、，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1-5: DCBDC 6-10: CBADC 11-12.DA 13.2
3
14.2或4 15.6π
16.
17.解法一：（1） 21n a S =，24(1)n n S a ∴=+． 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =． 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，
2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
0,n a >12n n a a -∴-=．
∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，
12(1)21n a n n ∴=+-=-．
（2）由（1）可知，1(21)3n n
b n =-⋅
， 231111
135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①
23111111
13(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅
2111111
332(21)13313
n n n ++-=+⨯--⋅-，
化简得1
13
n n n T +=-
． 解法二：（1）同解法一. （2）由（1）可知，1
(21)3n n
b n =-⋅， 设11111
(21)()[(1)](232)3333n n n n n
b n An B A n B An A B -=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅
， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
1111111
(21)(1)()(1)33333
n n n n n n
b n n n n n --∴=-⋅
=--⋅--⋅=⋅-+⋅， 12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+
0112
1111111
(12)(23)[(1)]333333n n
n n -=⨯-
⨯+⨯-⨯++⋅
-+
⋅ 1
13n
n +=-
. 18.解: （1）连结DF ，BF ． 在矩形ABCD
中，6AD CD ==, 030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．
在ADF ∆中，∵AF =,
2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，
∵22293DF AF DA +=+=，
DF AC ∴⊥，即
D F AC '⊥．
又在ABF ∆中，
2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，
∴在D FB '∆中，222223D F FB D B ''+=+=,
BF D F '∴⊥,
又
AC FB F =,
∴D F '⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．
（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，
由（1）可知，,,OE OC OD '两两垂直，
以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则
A
C
D
F
(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),(3,23,0)D B ',
EO ⊥平面AD F '
,
(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．
设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n
(0,,0)F t ，(3,23,3),(3,23,0)BD BF t '∴=--=--,
由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得323303(23)0x y z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，
取3,y =则23,x t z t =-=，(23,3,)t t ∴=-n ． ||cos
,4
||||OE OE π
⋅∴=
n n 即22|23|2
(23)9t t t
-=
-++, 3
t ∴=
． ∴当1134
CF =时，二面角A DF
B '--的大小是4π
．
19.【答案】（1）64；（2）8.7
【解析】试题分析：⑴通过频率分布直方图可以算出购物者在每个购物金额区间的概率，进而得到购物者获得电子优惠券金额的平均数；
⑵计算出购物者中任取一人获得电子优惠券的概率，进而得到的数学期望 解析：（1）购物者获得50元优惠券的概率为：；
购物者获得100元优惠券的概率为：
购物者获得200元优惠券的概率为：
∴获得优惠券金额的平均数为：
（元）
（2）从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：
依题意：，所以
20.【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：⑴依题意，有，代入椭圆方程即可
⑵该直线存在斜率，设其方程为
，联立直线与椭圆的方程，可得 ，令
，解得的范围，设
，
，
，又根据
，利用根与系数的关系可得点坐标，代入椭圆方程进而得出。

解析：（1）依题意，有
，∴椭圆方程
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得
，∴，得
设，，，则
由得，代入椭圆方程得
由得，
∴
令，则，∴
21.解：（Ⅰ）由()x f x ae =，得'()x
f x ae =．又(1)f ae =，
故在1x =的切线方程为(1)y ae ae x -=-．带入(3,3)，得1
a e
=
…………2分 1()x f x e -=．从而，12()(21)x h x xe m x x -=++-，1'()(1)(2)x h x x e m -=++． …………
3分
①当0m ≥时，'()0h x >，(0,)x ∈+∞．故()h x 的单调增区间为(0,)+∞； ②当1ln(2)0m +-≤，即1
02m e
-≤<时，'()0h x ≥，(0,)x ∈+∞．故()h x 的单调增区间为(0,)+∞；
③当1ln(2)0m +->，即1
2m e
<-时，由'()0h x >得1ln(2)x m >+-，故()h x 的单调增区间为(1ln(2),)m +-+∞． 综上，当12m e ≥-
时，()h x 的单调增区间为(0,)+∞；当12m e
<-时，()h x 的单调增区间为(1ln(2),)m +-+∞．
…………6分
（Ⅱ）设()x f x ae =的切点横坐标为1x x =，'()x
f x ae =，
切线方程为111()x x
y ae ae x x -=-……① 设5()ln()2g x ax =+
的切点横坐标为2x x =，1'()g x x
=， 切线方程为222
51
ln()()2y ax x x x --
=-……②
…………7分
联立①②，得11212
13(1)ln()2x x ae x ae x ax ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+
⎪⎩，消去2x 得1
111312(1)1x x a x e x -=≠-． 考虑函数312()1
x
x x e x ϕ-
=-，21(21)(2)'()2(1)x x x x e x ϕ--=--． …………9分
令'()0x ϕ=，得1
2
x =或2． 当12x <
或2x >时，'()0x ϕ<，函数()y x ϕ=在区间1
(,)2-∞，(2,)+∞上单调递减，当122x <<且1x ≠时，'()0x ϕ>，函数()y x ϕ=在区间1
(,1)2
，(1,2)上单调递增．
1()2ϕ=，21(2)2e ϕ=．故当21(0,][,)2a e e ∈+∞时，方程1113
121x x a e x -
=-有解， 从而，函数()x f x ae =与5()ln()2g x ax =+
存在公切线． …………12分
22.解：（1）由4cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ得：
22
1164x
y +=. 由2x t y t ⎧=
⎪⎨=-⎪⎩t
得：2y x =-.
将2y x =
-代入22416x y +=中得：2
1716110x -+⨯=. 设()11,A x y
，()22,B x y ，则1212171611
17x x x x ⎧+=⎪
⎪⎨⨯⎪=⎪⎩
. 124017
AB x =-==.
AB ∴值为4017
.
（2）()()
1122FA FB
x y x y ⋅=+⋅
+
(
(121222x
x x x =+++
--
))1212121212412x x x x x x x x ⎡⎤
=++++-++⎣⎦ )12125
60x x x x =
-++
11165604417⨯=-+=. 23.解：（1）在4a =时，2241x x x +>---.
()3,44125,143,1x g x x x x x x -≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪≤⎩
.
①在4x ≥时，2
23x +>-恒成立.4x ∴≥.
②在14x <<时，2225x x +>-+，即2230x x +->，即1x >或3x <-. 综合可知：14x <<.
③在1x ≤时，223x +>，则1x >或1x <-，综合可知：1x <-. 由①②③可知：{}
|11x x x <->或. （2）在1a ≥时，
()1,12,11,1a x a g x a x x a a x -≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤⎩，()g x 取大值为1a -.
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-.则3a ≤.13a ∴≤≤.
在1a ≤时，()1,121,11,a x g x x a a x a x a -+≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤⎩
，()g x 最大值为1a -.
要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-.1a ∴≥-.从而11a -≤≤. 综合以上讨论可知：13a -≤≤.。