2022-2023学年上海九年级数学上学期课时同步练22-1：比例线段(解析版)

22.1：比例线段 一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A ．任意两个等腰三角形相似
B ．任意两个菱形相似
C ．任意两个矩形相似
D ．任意两个等边三角形相似
【答案】D 【解析】利用相似图形的定义及性质逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：A 、任意两个等腰三角形不一定相似，故选项错误； B 、任意两个菱形不一定相似，故选项错误；
C 、任意两个矩形不一定相似，故选项错误；
D 、任意两个等边三角形满足相似图形的定义，故选项正确．
故选D ． 【点评】本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边成比例的图形相似．
2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，2AB =，则AC 为（ ）
A ．51-
B ．35-
C ．512-
D ．0.618
【答案】A
【解析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，
∴512AC AB -=， 而AB =2，
∴5 1.AC =-
故选A.
【点评】考查黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键.
3．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定//DE BC 的是（ ）
A ．AD AE D
B E
C = B ．A
D A
E AB AC = C ．DB AB EC AC = D ．AD DE DB BC
= 【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A 、∵
AD AE DB EC =，∴//DE BC ，本选项不符合题意； B 、∵AD AE AB AC
=，∴//DE BC ，本选项不符合题意；
C、∵DB AB
EC AC
=，∴//
DE BC，本选项不符合题意；
D、若AD DE
DB BC
=，不能判定//
DE BC，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．已知a a4c
b b2d
+
=
+
，且()
d b3d0
-≠，则下列结论中：①
a c
b d
=；②
a2c
b d
=；③
a a6c
b b3d
-
=
-
，正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C
【解析】根据合分比定理：a a4c
b b2d
+
=
+
，可得
a2c
b d
=，再根据合分比定理：
a a6c
b b3d
-
=
-
．
【解答】由合分比定理，得a4c2c
b2d d
==，故①错误，故②正确；
由a2c
b d
=，合分比定理，得
a a6c
b b3d
-
=
-
，故③正确；
故选；C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了合分比定理，要熟练掌握．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解答】∵DE∥BC，
∴AD AE BD CE
=，
∵AD=4，AE=3，CE=6，
∴
43
6 BD
=，
∴BD=8，
故选C ．
6．已知线段x ，y 满足()x y +：()x y 3:1-=，那么x :y 等于（ ）
A ．3:1
B ．2:3
C ．2:1
D ．3:2
【答案】C
【解析】根据比例的基本性质可得(x+y)=3(x-y) ，再去括号，合并同类项，进行变形即可求解．
【解答】∵ ()x y +：()x y 3:1-=，
∴ ()x y 3x y +=-，
2x 4y =，
x :y 2:1=． 故选：C ． 【点评】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解．
7．已知线段MN=6cm ，P 是线段MN 的一个黄金分割点，则其中较长线段MP 的长是（ ） A ．(9-35)cm B ．(35-3)cm C ．(35-1)cm D ．(3-5)cm 【答案】B
【解析】直接利用黄金比值是
5-12计算即可． 【解答】解：MP=
5-12×6=(35-3)cm ． 故答案为B ．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为
5-12． 8．已知
234a b c ==，则32a b c a -+的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】A
【解析】根据
234a b c ==，就可以设234a b c k ===．则可以得到：2a k =，3b k =，4c k =．代入所求式子即可求得．
【解答】解：设
234a b c k ===．则可以得到：2a k =，3b k =，4c k =． 则326642a b c k k k a k
-+-+==2 故选A ．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握性质．
9．根据ab cd =，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】按照题目要求，将等积式转换成比例式即可．
【解答】解：以a 为第四比例项的比例式有：b d c a =，b c d a =共两个． 故选C ． 【点评】本题主要考查了比例的变形，变形的依据是比例的基本性质．
10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，则下列各式的值不等于512-的是（ ） A ．AP AB B ．PB AP C ．PB AB D ．PB AB
【答案】C
【解析】根据黄金分割点定义：线段上一点把线段分成两段,其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,比值=512
-即可解题. 【解答】解：由题可知AP 较长,BP 较短,根据黄金分割点的定义可知,
AP AB =PB AP =512
-, 设AB=2,则AP=51-,
BP=3-5,
∴PB 35AB 2
-==512-, 故选C.
【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义,中等难度,熟悉黄金分割点的定义是解题关键.
二、填空题
11．请指出图中从图1到图2的变换是________变换．
【答案】相似
【解析】由图可以看出，图1和图2形状相同，只是大小不同，根据相似图形的定义，即可得出结果．
【解答】解：∵ 从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴ 从图1到图2的变换是相似变换． 故答案为：相似． 【点评】本题考查了相似的定义，理解好相似的定义是解题关键．
12．如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________． 【答案】相似
【解答】∵图形甲与图形乙相似,图形乙与图形丙相似,
∴图形甲与图形丙相似.故答案为:相似.
13．若x 6y 164x 3y 17-=-+，则x y =________． 【答案】23
【解析】由
x 6y 164x 3y 17-=-+，根据比例的性质，即可得()()17x 6y 164x 3y -=-+，然后整理即可求得81x 54y =，继而求得x y
的值． 【解答】解：∵
x 6y 164x 3y 17-=-+， ∴ ()()17x 6y 164x 3y -=-+，
∴ 81x 54y =，
∴ x 2y 3
=． 故答案为：23
． 【点评】本题考查了比例的性质，利用内项积=外项积得出x 与y 的关系是解题的关键
14．已知a 3b 4=，那么a b b
-=________． 【答案】14
- 【解析】先根据已知条件可求出3a b 4
=
，然后再把a 的值代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵
a 3
b 4=， ∴ 3a b 4=， ∴ 3b b a b 14b b 4
--==-．
故答案是：14-． 【点评】本题考查了比例的性质，得出3a b 4
=是解题的关键 15．如图，梯形ABCD 中，////AD BC EF ，:2:1AE EB =，8DF =，则FC =________．
【答案】4
【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【解答】解：∵ ////AD BC EF ，:2:1AE EB =，8DF =，
∴ 2DF AE FC BE
==， ∴ 4FC =．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握利用平行线分线段成比例定理列出比例式求值是解决此题的关键．
16．所有的黄金矩形都是________．
【答案】相似形
【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：根据相似形的定义得到所有的黄金矩形都是相似形．
故本题答案为：相似形．
【点评】本题考查了相似形的定义，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
17．一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________（判断对错）
【答案】错.
【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积扩大为原来的81倍，故原说法错误．
故答案为：错．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 18．若25a b =，则2a b b
+=________．
【答案】95 【解析】根据等式的性质，可用b 表示a ，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由25a b =，得 25
a b =． 222955
b b a b b b ⨯++==， 故答案为：95
． 【点评】本题考查了比例的性质，利用a 表示b ，得出关于a 代数式，利用分式的性质得出答案． 19．若234a b c ==，则b c a
+=________． 【答案】
72 【解析】根据题意，设2x k =，3y k =，4z k =，代入
b c a
+计算即可． 【解答】解：由题意，设2x k =，3y k =，4z k =，
∴ 原式34722k k k +=
=． 故答案为：72． 【点评】此题考查的是根据已知条件，求比，掌握设参法是解决此题的关键．
20．如图，AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为______．
【答案】1.2
【解析】由平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出
GH CH AB BC =，由GH ∥CD ，得出GH BH CD BC
=，将两个式子相加，即可求出GH 的长．
【解答】∵AB ∥GH ，
∴GH CH AB BC =，即GH CH 2BC =①， ∵GH ∥CD ，
∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得
GH GH CH BH BC 123BC BC BC +=+==， ∴GH GH 123
+=， 解得65GH =
． 故答案是：1.2.
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．
三、解答题
21．已知线段a ，b ，c 满足326
a b c ==，且226a b c ++=． ()1求a ，b ，c 的值；
()2若线段x 是线段a ，b 的比例中项，求x ．
【答案】（1）6a =， 4b =， 12c =；（2）26x =
【解析】()1设比值为k ，然后用k 表示出a ，b ，c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可； ()2根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：()1设326
a b c k ===， 则3a k =，2b k =，6c k =，
所以322626k k k +⨯+=，
解得2k =，
所以326a =⨯=，
224b =⨯=，
6212c =⨯=．
()2∵ 线段x 是线段a ，b 的比例中项，
∴ 26424x ab ==⨯=，
∴ 线段26x =．
【点评】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键． 22．（1）已知35
a b =，求a b b +的值； （2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，P A ＞PB ，AB =2，求P A 、PB 的长．
【答案】（1）85
；（2）P A 51，PB =35
【解析】(1)设a=3k ，则b=5k ，代入a b b +，计算即可求解； (2)根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则PA=
512-AB ，PB=352
-AB ，代入数据即可得出PA 、PB 的长．
【解答】解：(1)∵a b =35， ∴可设a=3k ，则b=5k ， ∴a b b
+=3k 5k 5k +=85； (2)∵点P 是线段AB 的黄金分割点，PA>PB ，AB=2，
∴PA=512-AB=5−1，PB=352
-AB=3−5. 故答案为（1）85
；（2）P A =51-，PB =35-． 【点评】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的
352
-，较长的线段=原线段的512-．同时考查了比例的性质． 23．如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF DC ．求证：2AD AB AF =⋅．
【答案】见解析
【解析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD ：AB=AE ：AC 以及AF ：AD=AE ：AC ，即可得出结论正确．
【解答】证明：∵//DE BC ，
∴::AD AB AE AC =，
∵//EF DC ，
∴::AF AD AE AC =，
∴::AD AB AF AD =，
∴2AD AB AF =⋅．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.
24．如图，已知：梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 、BD 交于点O ，E 是BC 延长线上一点，点F 在DE 上，且DF AO EF OC
=．求证：//OF BC ．
【答案】详见解析
【解析】根据平行线分线段成比例定理得出AO DO
CO BO
=，推出
DO DF
BO EF
=，得出
DO DF
DB EF
=，根据
ODF BDE
∠=∠，推出DOF DBE
∽，得出DOF DBE
∠=∠，根据平行线的判定推出即可．【解答】证明：∵//
AD BC，
∴AO DO CO BO
=，
∵DF AO EF OC
=，
∴DO DF BO EF
=，
∴DO DF DB EF
=，
∵ODF BDE
∠=∠，
∴DOF DBE
∽，
∴DOF DBE
∠=∠，
∴//
OF BC．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE．
25．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，
AE=5，求：（1）AG
AF
；（2）AC的长．
【答案】（1）2
3
；（2）
15
2
【解析】（1）由于DE∥BC，AD=2BD，
2
3
AD
AB
=根据平行线分线段成比例定理可得
2
3
AG AD
AF AB
==；
（2）同（1），易求
2
3
AE
AC
=，而AE=5，从而可求AC．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
2
3 AG AD
AF AB
==
（2）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
2
3 AE AD AC AB
==
∵AE=5
∴AC=15 2
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
26．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
【答案】3+3秒或3﹣3秒
【解析】根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2，列方程求解即可；
【解答】解：设运动时间为ts，则AD=2tcm，DB=（12﹣2t）cm．
∵DF∥AC，
∴BF BD BC BA
=，
∴
122 1012
BF t
-
=，
∴BF=5
6
（12﹣2t），
∵DE∥BC，
∴DE AD BC AB
=，
∴21012DE t =， ∴DE=53t ， 根据题意得：12×12×10﹣12×2t×53t ﹣12×（12﹣2t ）×56
（12﹣2t ）=20． 整理得t 2﹣6t+6=0，
解得：t 1=3+3，t 2=3﹣3．
∴D 出发3+3或3﹣3秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据四边形DFCE 的面积=△ABC 的面积﹣△ADE 的面积﹣△DBF 的面积=20cm 2列关于t 的方程是解题的关键．
27．如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l ，2l ，3l ，于点A 、
B 、
C 和点
D 、
E 、
F ，23
DE EF =，10AC =. (1)求AB 、BC 的长；
(2)当7AD =，12CF =时，求BE 的长.
【答案】(1) 4AB =；BC=6；(2)BE=9.
【解析】（1）由于平行线分线段成比例定理和比例的性质得出
25AB DE AC DF ==，即可求出AB 的长，进而求出BC 的长；
（2）过点A 作//AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点C,得出7AD HE GF ===，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出结果．
【解答】【解】(1) ∵////AD BE CF ，23
AB DE BC EF ∴==， 25
AB AC ∴=. ∵10AC =，
∴4AB =，
∴1046BC =-=.
(2)如图所示，过点A 作//AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点C.
又∵////AD BE CF ，7AD =，∴7AD HE GF ===.
∵12CF =∴1275CG =-=.
∵//BE CF ，BH AB CG AC
∴=，2BH =， ∴279BE BH HE =+=+=.
【点评】本题考查知识点是平行线分线段成比例定理，添加辅助线构成成比例线段是关键．
28．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB
的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．
请你直接写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：如图2，题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ____DB （填“>”“<”或“=”）．
理由如下：（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．
【答案】（1）=；（2）=；（3）3或 1
【解析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；
（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可； （3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E 在BA 的延长线上，D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．
【解答】解：（1）如图 1 ，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ，
ABC ∆为等边三角形，
60AFE ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，∠A=60°，
∴AEF ∆为等边三角形，
120EFC EBD ∴∠=∠=︒，EF AE =，
ED EC =，
EDB ECB ∴∠=∠，ECB FEC ∠=∠，
EDB FEC ∴∠=∠，
在BDE ∆和FEC ∆中，
EBD EFC EDB FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDE FEC AAS ∴∆≅∆，
BD EF ∴=，
AE BD ∴=，
故答案为：=；
（2）如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，
∵等边三角形ABC ，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AE=EF=AF ，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠ECD ，
∴∠BED=∠ECF ，
在△DEB 和△ECF 中，
DEB ECF DBE EFC DE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△DEB ≌△ECF （AAS ），
∴BD=EF=AE ，
即AE=BD ，
故答案为：=．
（3）CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图2
过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，
则AM ∥EN ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM ⊥BC ，
∴BM=CM=12BC=1
2，
∵DE=CE ，EN ⊥BC ，
∴CD=2CN ，
∵AB=1，AE=2，
∵EN ⊥DC ，AM ⊥BC ，
∴∠AMB=∠ENB=90°，
在△ABM 和△EBN 中，
ABM EBN AMB ENB AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△AMB ≌△ENB （AAS ），
∴BN=BM=12， ∴CN=1+12=32
， CD=2CN=3；
②如图3，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，
则AM ∥EN ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM ⊥BC ，
∴BM=CM=12BC=1
2，
∵DE=CE ，EN ⊥BC ，
∴CD=2CN ，
∵AM ∥EN ，
∴AB BM AE MN =， ∴1
122MN
=，
∴MN=1，
∴CN=1-12=1
2，
∴
即CD=3或1．
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．。