新高考模拟卷数学【山东、海南地区】黄金卷01【详细解析】

2
2
4
所以 D 正确.
故选：BD
【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个
选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.
10．已知等比数列an 中，满足 a1 1, q 2 ，则（ ）
A．数列a2n 是等比数列 C．数列log2 an 是等差数列
即当 x＝1 时，函数 g（x）＝xf（x）取得极小值 g（1）＝f（1） 1 ， 2
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关
系是解决本题的关键．
12．已知点 F 是抛物线 y2 2 px p 0 的焦点，AB,CD 是经过点 F 的弦且 AB⊥CD，AB 的斜率为
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.
15．函数 f x cos 2x 2sin x 的最小值为______.
【答案】 3
【解析】Q f x cos 2x 2sin x 1 2sin2 x 2sin x
所以令 t sin x ，则 f x y 2t2 2t 1 2(t 1)2 3 ,t [1,1]
9．下列结论正确的是（ ）
A． x R ， x 1 2 x
B．若
a
b
0
，则
1 a
3
1 b
3
C．若 x x 2 0 ，则 log2 x 0,1
D．若 a 0 ， b 0 ， a b 1，则 0 ab 1 4
【答案】BD
【解析】当 x 0 时， x 1 为负数，所以 A 不正确； x
1 B．数列 是递增数列
an
D．数列 an 中， S10 , S20 , S30 仍成等比数列
【答案】AC
【解析】等比数列an 中， a1 1, q 2 ，所以 an = 2n- 1 ， Sn 2n 1 ．
于是 a2n 4n1
，
1 an
1 2
n1
，
log
2
an
n 1，故数列
2
【解析】由 x2f′（x）+xf（x）＝lnx 得 x＞0，
则 xf′（x）+f（x） lnx ， x
即[xf（x）]′ lnx ， x
设 g（x）＝xf（x），
即 g′（x） lnx ＞ 0 得 x＞1，由 g′（x）＜0 得 0＜x＜1， x
即 xf x 在 1, 单调递增，在 0,1 单调递减，
5．若向量
m
sin
x 2
,
3
，
n
cos
x , cos2 2
x 2
，函数
f
x
mn
，则
f
x 的图象的一条对
称轴方程是（ ）
A． x 3
B． x 6
C． x 3
【答案】B
【解析】
f
x
mn
sin
x
cos
x
3 cos2 x
22
2
1 sin x 3 cos x 3 sin(x ) 3 ，
7．斜率为 3 的直线 l 过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，若 l 与圆 M : (x 2)2 y 2 4 相 3
切，则 p （ ）
A．12
B．8
C．10
D．6
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为 3 ， 3
所以倾斜角为 30°，即 MFA 30
结合题意作图，由图可得 | MF | 2 | AM | 4 ，
AB |
2p sin2
,| CD |
sin 2
2p
2
2p cos2
，所以
1 AB
1 CD
1 2 p ，C 正确；
|
AF
|
1
p cos
,
|
BF
|
p 1 cos
，若
AF
BF
4 p2 ，则 sin
1 2
，
tan
3， 3
直线 CD 的斜率为 3 ，D 正确；
S ABCD
1 2
AB
CD
2 p2 sin 2 cos2
A．甲得分的平均数比乙的大
B．乙的成绩更稳定
C．甲得分的中位数比乙的大
D．甲的成绩更稳定
【答案】B
【解析】甲、乙得分的平均数均为 13，中位数均为 13，
甲得分的方差明显比乙大.
故选:B
【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.
4．函数
f
(x)
ln | x
x | cos sin x
x
在[ , 0)
【解析】当 n 2 时， an Sn Sn1 3an n 3an1 (n 1) ，
整理得 2an 3an1 1，
又
S1
a1
3a1
1
，得
a1
1 2
，
2a2
3a1
1
3 2
1 ，得 a2
5 4
，
2a3
3a2
1
15 4
1，得
a3
19 8
，
故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.
黄金卷 01 备战 2020 年新高考全真模拟卷
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
若 a b 0 ，则 1 1 0 ，考虑函数 f (x) x3 在 R 上单调递增， ba
所以 f ( 1 ) f (1 ) ，即 ( 1 )3 (1 )3 ，所以 B 正确；
a
b
ab
若 x x 2 0 ，则 0 x 2 ， log2 x (,1) ，所以 C 不正确；
若 a 0 ， b 0 ， a b 1，根据基本不等式有 ab a b , 0 ab ( a b )2 1
(0, ] 的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
f
(x)
ln | x
x | cos sin x
x
f
(x)
，所以
f
(x)
为奇函数，关于原点对称，故排除
A，
又因为
f
(1)
0
，
f
(
)
0，
f
(
)
0
，
f
()
0
，故排除
B
、C
,
2
3
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.
k，且 k>0，C,A 两点在 x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）
uuur uuur A． OC OD
3
p2
4
B．四边形 ACBD 面积最小值为16 p2
C．
1 AB
1 CD
1 2p
D．若 AF BF 4 p2 ，则直线 CD 的斜率为 3
【答案】ACD
【解析】设
AB
的倾斜角为
|
，则有
4 3
3
3，
V1
所以 V2
8
1 3
3
3 72
，
故选：B.
【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 a, b, c ，则其外接球半径公式为:
4R2 a2 b2 c2 .
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
an
2
3
4
n
1
n(n 3) 2
，
n (n 2)an
2 (n 2)(n 3)
2(
n
1
2
n
1
) 3
，
Sn
2(1 3
1) 4
2( 1 4
1) 5
2( n
1
2
1 n
) 3
2(1 3
n
1
) 3
2n 3n
9
.
n(n 3) 2n 故答案为： 2 ； 3n 9 .
【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.
方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．设向量
a
3,
0
，
b
2,
6
，则
b
在
a
上的投影为__________.
【答案】2
【解析】向量
a
（﹣3，0），
b
（﹣2，6），
向量 b
在向量
a
上的投影为|
b
|cos＜a，b＞
aab
2
2
2
32
f x 一条对称轴为 x .
6
故选:B
D． x 2
【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基
础题.
6．设数列an 前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 3an n ，则 a3 （ ）
9
A．
8
15
B．
8
19
C．
8
27
D．
8
【答案】C
8 p2 sin 2 2
8p 2 ，所以 B 不正确；
设 C x1, y1 , D x2, y2
，由抛物线过焦点弦的性质可知， x1x2
p2 4
,
y1 y2
p2
，
OC OD
x1x2
y1 y2
3 4
p2
，所以
A
正确．
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标
a2n
是等比数列，
数列
1 an
是递减数列，数列
log2
an
是等差数列．
因为 S10 210 1, S20 220 1, S30 230 1,
S20 S30 S10 S20
，所以 S10 , S20 , S30 不成等比数列．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1．已知集合 A {x | ln x 1} ， B {x | 1 x 2} ，则 A B （ ）
A． (0, e)
B． (1, 2)
C． (1, e)
D． (0, 2)
22
因此当 t 1时， f x 取最小值 3 ，
故答案为： 3
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中
首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货
的体积为
V2
，则
V1 V2
的值为（
）
A． 3 36
B． 3 72
1
C．
64
D． 3 24
【答案】B
【解析】由题意易得： V1
1 8
4 3
13
，
将三棱锥 P ABC 补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：
2R PA2 PB2 PC 2 2 3 ，
从而 R
3
， V2
【答案】D
【解析】因为 A {x | ln x 1} {x | 0 x e} ，所以 A B {x | 0 x 2} .
故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.
2．已知复数 z
2 ，则 | z | （ 3i
）
A．1
B．2
C． 3
D． 2
【答案】A
【解析】因为 z 2 2( 3 i) 3 i 3 1 i ， 3 i ( 3 i)( 3 i) 2 2 2
所以 | z |
3 2
2
1 2
2
1.
故选： A .
【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题. 3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）
型，属于基础题．
11．设 f x 为函数 f x 的导函数，已知 x2 f x xf x ln x ， f 1 1 ，则下列结论不正
2
确的是（ ）
A． xf x 在 0, 单调递增 C． xf x 在 0, 上有极大值 1
2
【答案】ABC
B． xf x 在 0, 单调递减 D． xf x 在 0, 上有极小值 1
物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第 n 层货物的个数为 an ，则数
列{an} 的通项公式
an
_______，数列
(n
n 2)an
的前 n 项和
Sn
_______.
【答案】 n(n 3) 2
2n 3n 9
【解析】由题意可知 a1 2 ， a2 a1 3 ， a3 a2 4 ， ， an an1 n 1，累加可得
32
9
06
2
故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量4． (x 1) 1 2x5 的展开式中 x4 的系数为_________.
【答案】160
【解析】 (x 1) 1 2x5 的展开式中 x4 的系数为 C53 23 C54 24 160
p 2 2r 4 ，解得 p 12 . 2
故选： A
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.
8．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，侧棱 PA ， PB ， PC 两两垂直，且
PA PB PC 2 ，若以 P 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 P ABC 公共部分的体积为V1 ，球 O