向量的减法

C
b
ab
ab
a
发现：
以不共线向量a, b为邻边的平行四边形中， 一条对角线表示两个向量的和向量， 另一条对角线表示两个向量的差向量.
例3、不共线向量a, b, 满足什么条件时下列结论成立？
1 a b a b ； a b
b
ab
C
2a b a b ；a b
ab
3
ab
平分a与b之间的夹角； a
CD AE c BC AC AB b a BE AE AB c a CE AE AC c b BD AD AB AC AE AB b c a 或BD BC CD b a c
练习
1．梯形 ABCD 中，AB∥DC，AC 与 BD 交于点 O，则A→D－B→D＋
∴D→E＝E→A，B→F＝F→C. ∴E→F＋E→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F ＝D→E＋A→O＋O→B＋F→C＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F ＝(A→O＋O→B)＋(D→A＋A→O＋O→B＋B→C) ＝A→B＋(D→O＋O→C)＝A→B＋D→C. [规律方法] (1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是 平面图形还是空间图形，体现了向量的优点． (2)本结论可以看作梯形中位线定理的推广．
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
4 AC BO OA DC DO OB ___0___；
ห้องสมุดไป่ตู้
2、在 ABCD中，若 AB AD AB AD ,则必有(B )
A. ABCD是菱形 C. ABCD是正方形
B. ABCD是矩形 D.以上结论都不对
类型 用已知向量表示其他向量 【例 1】 如图，解答下列各题：
(1)用 a，d，e 表示D→B； d e a (2)用 b，c 表示D→B； c b (3)用 a，b，e 表示E→C； e a b (4)用 d，c 表示E→C. d c
[规律方法]：用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为： ①观察待表示的向量位置；②沿已知向量方向寻找相应的平行 四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．
【例 2】 如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行 四边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用 a，b，c 表示向量C→D， B→C，B→E，C→E及B→D.
[思路探索] 明确路程和位移的区别和联系是解题的关键， 两次位移之和即为A→C，故需求|A→C|及方向．
解 设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km， 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)，
(3)口诀：同起点，后指前
互动探究
探究点1 若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？ 提示 成立．移项法则对向量等式适用．
探究点2 类比于向量的加法，我们有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|吗？ 提示 当向量a和b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|； 当向量a和b共线且方向相同时，||a|－|b||＝|a－b|； 当向量a和b共线且方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|； 综上所述：一般地，我们有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(我们称之 为三角形不等式).
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
B→C－A→O＋C→O＝____0____.
解析 原式＝A→D＋D→B＋B→C＋O→A－O→C＝0.
2．如图，在四边形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝
b，B→C＝c，则D→C用 a，b，c 表示为__a___c___b．
解析 D→C＝A→C－A→D＝A→B＋B→C－A→D＝a＋c－b.
类型 向量加法的实际应用 【例 3】 如图所示，在抗震救灾中，一 架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
例1、化简或计算：
1 BO BA __A_O____； 2 AB AD DC ___C_B___；
3 BA BC ED EC __D__A____； 4 AB CD AC BD _0_____；
5 MN MP NQ PQ ___0____ .
例2、已知AB a, AD b, 求作a+b, a b.
课堂小结 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，
－A→B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量．如 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的 终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝a， A→D＝b，则两条对角线表示的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a，D→B ＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
【课标要求】 1．了解相反向量的概念． 2．理解向量减法法则及其几何意义． 【核心扫描】 1．向量减法的运算．(重点) 2．对向量减法法则的理解．(难点)
新知介绍
1．相反向量
与a长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量是 0 ； (2)－(－a)＝a；
(2)如图所示，设M→A表示水流的速度，M→N表示小船实际过河的 速度． 设 MC⊥MA， |M→A|＝|M→B|＝10，∠CMN＝30°. ∵M→A＋M→B＝M→N，∴四边形 MANB 为菱形． 则∠AMN＝60°， ∴△AMN 为等边三角形． 在△MNB 中，|B→N|＝|M→N|＝|M→B|＝10， ∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°， 所以小船要由 M 直达码头 N，其航向应为北偏西 30°.
又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km) 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
a
b
4 若 a 6，b 8，且 a b a b ，求 a b 10
5 a b,与a b可能是相等向量吗？
不可能，因为方向不同.
复习回顾
1．向量的加法：
法则
平行四边形法则
三角形法则
前提 作法 图形
已知不共线向量a, b
已知非零向量a, b
以同一点O为起点，两个已知 作AB a, BC b,连接 AC 向量a,b为邻边作 OACB
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
(3)口诀：同起点，后指前
4．向量三角形法则的运用
(1)OA1 (2)OA1
A1A2 A1A2
A2A3 A2A3
An 1An An 1An
OAn AnO 0
回顾练习
1、化简或计算：
1 BO AB ___A__O__； 2 PM PN NC ___C_M___； 3 AB BC DC AD ___0_____；
结论
口诀 规定
所夹的对角线OC为 a与b的和向量
同起点，连对角
a+0=0+a=a
AC为a与b的和向量
首尾相连，首尾连
复习回顾
2．相反向量
与a长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
a＋(－a)＝ 0 ；
3．向量的减法(三角形法则) (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 相反向量 ． (2)作法：以 A 为起点，作向量A→B＝a， A→D＝b，则D→B＝a－b.
[规律方法] 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤： 弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示 实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答．
【练习】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h， 问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的 航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流) 解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船 逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止 的．
(3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝ －a ，a＋b＝ 0 .
注意：相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量．
2．向量的减法(三角形法则) (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 相反向量 ． (2)作法：以 A 为起点，作向量A→B＝a， A→D＝b，则D→B＝a－b.